专题07 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（11大考点96题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题07 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 11大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点10 函数周期性的简单应用 考点11 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(23-24高一上·江苏无锡锡东高级中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(23-24高一上·江苏南京第十三中学·期中)下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·江苏镇江丹阳·期中)下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、单选题 7．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·江苏无锡·期中)函数的单调递减区间为 . 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 一、解答题 9．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)（1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 10．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 11．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数.且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 12．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a、b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 13．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 14．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 15．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求、的值； (2)证明函数在上的单调性； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 16．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设为实数，已知函数为上的偶函数. (1)求的值； (2)设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 17．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知函数是定义域为上的奇函数． (1)求，的值； (2)证明：在定义域内是单调递减函数； (3)解关于的不等式． 18．(24-25高一上·江苏扬州邗江区·期中)已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总，使成立，求实数的取值范围. 19．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 20．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数，函数， (1)讨论函数的奇偶性，并证明； (2)当时，用定义证明函数在上单调性； (3)当时，对于任意，都有恒成立，求的取值范围． 21．(24-25高一上·江苏南京中华中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求函数的值域. 22．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)已知定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明函数在上是增函数． (3)若存在使成立，求实数的取值范围． 23．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 24．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数. (1)若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 一、解答题 25．(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知函数解集为． (1)求的解析式； (2)用定义法证明函数在上为单调增函数； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围． 26．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， (1)求函数在R上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)解不等式. 27．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)8．“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数，对任意，则实数的取位范围是（    ） A． B． C．或 D． 31．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 32．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为 . 33．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 三、解答题 34．(24-25高一上·江苏常州前黄高级中学国际分校·期中)已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 35．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 36．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 37．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数. (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数的图象恒在的上方，求的取值范围； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 地 城 考点06 最值问题 一、单选题 38．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 39．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 40．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数，，，已知的最小值为1，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 41．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数. 当时，在区间上的最小值为 ； 当时，在区间上的最小值为2，则实数的值为 . 42．(24-25高一上·江苏泰州中学·期中)是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为 . 43．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 四、解答题 44．(24-25高一上·湖北武汉第六中学·月考)已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)设，记的最小值为，求的最小值． 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 45．(23-24高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 46．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设函数，若是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D． 47．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数，其中a、b为常数，若，则（   ） A． B．7 C． D．4 48．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 二、填空题 49．(23-24高一上·江苏宿迁泗阳县泗阳中学·期中)已知函数，若，则 ． 50．(23-24高一上·江苏盐城亭湖高级中学·期中)已知函数为上的奇函数，，则 . 51．(23-24高一上·江苏南京协同体九校·期中)已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则 . 三、解答题 52．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数；求的零点； (3)求当时，函数的值域. 53．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是奇函数．（是自然对数的底） (1)求实数的值； (2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、单选题 54．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 55．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数是偶函数，当时，，则当时， 56．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 三、解答题 57．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． (1)求函数，的解析式； (2)若在区间上的最大值为，求实数的值． 58．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求函数在上的解析式； (3)在坐标系中画由函数的图象并解关于的不等式． 地 城 考点09 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 59．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，单调递增，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 60．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（    ） A． B． C． D． 61．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 63．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)定义在上的奇函数满足在上，单调递增，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 64．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（    ） A．（0，2） B． C． D． 65．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B．. C． D． 67．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 68．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 69．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知偶函数在递减，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 70．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 71．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知是奇函数，对于任意（），均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 72．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，都有，，则不等式解集是（   ） A． B． C． D． 73．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 74．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知奇函数满足，且在上单调递增，则是解集是（   ） A． B． C． D． 75．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 76．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 77．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，则不等式的解集为 . 78．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知定义在上的函数是奇函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是 . 79．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 80．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数为上的偶函数，对任意、，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 . 81．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 三、解答题 82．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 83．(24-25高一上·广西部分名校·)已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 84．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知为定义在上的偶函数，当时，且. (1)求实数的值及在上的解析式： (2)判断并证明在上的单调性； (3)解关于的不等式：. 85．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. (1)若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; (2)求不等式的解集. 地 城 考点10 函数周期性的简单应用 一、单选题 86．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 二、多选题 87．(23-24高一上·江苏启东中学·期中)已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点11 函数对称性的应用 一、单选题 88．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 89．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 二、填空题 90．(24-25高一上·江苏无锡梅村高级中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 91．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则 . 92．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 三、多选题 93．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)下列说法中正确的有（   ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是减函数 B．若定义在上的函数满足，则函数是增函数 C．若定义在上的函数关于直线对称，则函数是偶函数 D．若定义在上的函数关于点对称，则函数是奇函数 94．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 四、解答题 95．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 96．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 11大高频考点概览 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 考点02 复合函数的单调性 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 考点05 根据单调性求参数值 考点06 最值问题 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 考点08 由函数的奇偶性求解析式 考点09 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 考点10 函数周期性的简单应用 考点11 函数对称性的应用 地 城 考点01 根据解析式直接判断函数的单调性 一、单选题 1．(23-24高一上·江苏无锡锡东高级中学·期中)下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定即可. 【详解】对于A，易知，即不是偶函数，排除； 对于B，易知，且由二次函数的性质可知其在上单调递增，故B正确； 对于C，易知，即不是偶函数，排除； 对于D，易知，即不是偶函数，排除. 故选：B 2．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 二、多选题 3．(23-24高一上·江苏南京第十三中学·期中)下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】的对称轴是，则在上为增函数，故A正确； 在上为减函数，则在上为增函数，故B正确； ，则在上为增函数，在上为减函数，故C错误； 由幂函数的性质可知，在上为增函数，故D正确. 故选：ABD. 4．(23-24高一上·江苏镇江丹阳·期中)下列四个函数中，在定义域上是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由偶函数的定义和在上单调递增判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，为偶函数，对称轴，开口向上，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，不是偶函数，故B错误； 对于C，在时，为反比例函数的一支，在单调递减，故C错误； 对于D，的定义域为，且，为偶函数；且由指数函数的性质可知在单调递增，故D正确； 故选：AD 5．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：当时，；当时，； 可知不为偶函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 由二次函数性质可知：在区间上为增函数，故B正确； 对于选项C：当时，；当时，； 可知在区间上不为增函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 当时，， 由一次函数性质可知：在区间上为增函数，故D正确； 故选：BD. 6．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】选项A：根据基本不等式判断； 选项B：，根据一次函数以及反比例函数判断； 选项C：定义域判断； 选项D：分段函数结合每段与整体三方面判断； 【详解】选项A：根据基本不等式，，当且仅当，时等号成立，在区间上不单调，选项错误； 选项B：，根据一次函数以及反比例函数在区间上是增函数，选项正确； 选项C：定义域选项错误； 选项D：当时，函数单调递增，当时，单调递增，且，故函数在区间上是增函数，选项正确； 故选：. 地 城 考点02 复合函数的单调性 一、单选题 7．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又， 所以在在上递增函数，在上是递减函数， 又函数在是递增函数， 所以在是递减函数. 故选：D. 8．(24-25高一上·江苏无锡·期中)函数的单调递减区间为 . 【答案】(端点开闭都正确) 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外层函数的单调性，再确定内层函数的单调性即可得到答案. 【详解】由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 设，， 外层函数为上的增函数，则复合函数的减区间即为内层函数的减区间， 函数的对称轴为，其开口向下， 故其减区间为. 故答案为：. 地 城 考点03 用定义法证明具体函数的单调性 一、解答题 9．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)（1）函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明． 【答案】（1）或；（2）函数在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）设，得到，从而对照系数，得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据求出，得到，定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或； （2），即，故，故， 函数在区间上单调递增，理由如下： ，且， 有， 由于， 即， 所以函数在区间上单调递增． 10．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 11．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数.且. (1)求实数，的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及的值求得； （2）利用函数单调性的定义证得的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数． 所以，解得， 则． 又因为，则，解得， 经检验时，， 则是奇函数． 所以． （2），函数在上单调递增， 证明：任取． ， 因为，所以， 则， 所以，即， 故函数在上单调递增． （3）函数是定义在上的奇函数，且． 则， 因为函数在上单调递增． 所以，解得，所以的取值范围是． 12．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a、b的值； (2)判断的单调性并证明； (3)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解， （2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断， （3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）由于是上的奇函数， ，即，所以，， 又，所以，解得， 经检验符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由于，可得， 设 则， 由于，故因此 ， 故在上单调递增， （3）由于为奇函数，故由可得， 又在上单调递增，因此对任意实数恒成立， 故， 由于对勾函数在单调递减，故当取最小值， 因此，故 13．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用赋值思想来求，利用定义法来证明函数单调性； （2）利用奇函数恒等式来证明奇函数； （3）利用恒等式变形，把原不等式化为两个函数值的大小比较，再结合单调性转化为自变量的大小比较，从而求解不等式. 【详解】（1）因为对任意实数x，y都成立， 所以当时，上式可化为：，可得， 任取则上式又可化为：， 则有：， 当假设则根据当时，.，有， 即，所以有， 则可以证明函数为上的增函数； （2）要证明函数为奇函数，只需要证明， 即证明， 由于，假设， 则有，又因为， 所以，即原问题得证； （3）由可得：， 即， 再由，，可得： ， ， ， 所以不等式可变为， 再由函数为上的增函数， 所以，解得： 14．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)已知函数，函数的定义域为，对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的定义可求解； （2）利用单调性的定义可证明函数在区间上单调递增； （3）对任意的使得成立，可得，进而计算可得结论. 【详解】（1）函数是奇函数，定义域为． ，即，即； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设且， ， 即， ，∴函数在区间上单调递增； （3）由题可知：，定义域为， 因为对任意的使得成立， ， 令，由（2）知函数在上单调递增， 同理可得在递增，在递减，在递减， ，， ， . 15．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求、的值； (2)证明函数在上的单调性； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，再由可求得的值； （2）任取、，且，然后作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析可知，当时，恒成立，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为为奇函数，故， 即，故，解得， 又，解得，故，. （2）由（1）知，，任取、，且， 故 ， 因为、且，所以，， 又，， 故，故， 函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则， 问题转化为，当时，恒成立. 所以，只需，解得. 综上可知：，即实数的取值范围是. 16．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)设为实数，已知函数为上的偶函数. (1)求的值； (2)设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数即可； （2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）， 由偶函数的定义得， 解得； （2）由（1）得， ①任取，且， 所以 因为，且，所以且， 所以，即， 因此在上单调递增； ②因为，所以为奇函数，由①可知在单调递增， 因此由，可得，进而有， 所以得，即，此外由定义域得，解得， 综上不等式的解集为. 17．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知函数是定义域为上的奇函数． (1)求，的值； (2)证明：在定义域内是单调递减函数； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由和奇函数的性质可得； （2）利用立方差公式结合函数单调性的定义证明即可； （3）由奇函数和递减函数解抽象函数不等式即可； 【详解】（1）由题意可得，即， 又时，是奇函数，所以 即，可得， 所以，. （2）由（1）可得， 设， ，① 因为， 所以， 所以①，即在定义域内是单调递减函数. （3）因为是奇函数， 所以原不等式可化为， 又在定义域内是单调递减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18．(24-25高一上·江苏扬州邗江区·期中)已知函数. (1)求函数的值域； (2)试判断在区间的单调性，并证明； (3)对，总，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）求出函数的解析式，再借助二次函数求出值域. （2）由（1）求出，再利用函数单调性定义推理得证. （3）求出函数在上的值域，函数在上的值域，再结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）函数， 因此，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （2）由（1）知，，函数在区间上单调递增， ，则 ，由，得，， 则，即， 所以在区间上是增函数. （3）当时，，因此， 由（2）知在区间上单调递增，则 由对，总，使成立，得， 则，又，则，即，则， 所以实数的取值范围是. 19．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)定义在的函数满足，且当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【详解】（1）证明：函数的定义域为， 令，得：，， 再令，则， 即， 所以函数在上是奇函数. （2）在上是单调递减函数， 证明如下： 任取，，且，则， 则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 20．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数，函数， (1)讨论函数的奇偶性，并证明； (2)当时，用定义证明函数在上单调性； (3)当时，对于任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)若，为奇函数；若，既不是奇函数，也不是偶函数； (2)在上单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的定义域，分和两种情况，判断的奇偶性； （2）定义法判断函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）变形得到在上恒成立，在（2）的基础上，得到，所以，解得. 【详解】（1）若，为奇函数；若，既不是奇函数，也不是偶函数，证明如下： 的定义域为， ， 若，则，故为奇函数， 若，则且，所以既不是奇函数，也不是偶函数； （2）在上单调递增，理由如下： 时，， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，，故， ，故， 所以，故在上单调递增； （3）对于任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 由（2）知，当时，在上单调递增， 故，所以，解得. 故的取值范围是. 21．(24-25高一上·江苏南京中华中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）奇函数在0处有定义则，结合，建立方程组，求出解析式； （2）由取值定大小、作差、判断差正负的顺序证明函数的单调性； （3）对分类，，当时，分子分母同除，借助基本不等式求得值域，由奇函数得到当时的值域，从而得到函数值域. 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴，即，又∵，∴， ∴，经检验，为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增. （3）当时，， 当时，， 令， 当时，，当且仅当，即时，取等号， ∴当时，, 又∵函数是定义在上的奇函数， ∴当时，， 综上所述：，即函数的值域为. 22．(24-25高一上·江苏响水中学，清源高中·期中)已知定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明函数在上是增函数． (3)若存在使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据奇函数性质有恒成立，即可求参数值； （2）利用函数单调性定义证明的单调性； （3）依据单调性及有解问题，将问题化为在时有解，结合二次函数性质求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）是定义域为的奇函数， ，即， ，即恒成立，解得 （2）由（1）知，，任取，且， 则， 由，可知，则，，， ，即 函数在R上是增函数． （3）由（2）结论，，整理得在时有解． 令，由，得， 设，则函数的对称轴为， 当时，函数取得最小值 ，即k的取值范围为 23．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. （2）是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3）令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 24．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数. (1)若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①证明见详解；② (2) 【分析】（1）根据奇函数定义可得.①根据单调性的定义分析证明；②分析可知为偶函数，函数在上是增函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，结合单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 若函数是奇函数，则，即， 且，即是奇函数， 所以符合题意，. ①若，则， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在上是增函数； ②因为， 可知的定义域为，且， 可知为偶函数， 当时，则， 因为在上是增函数，则在上是增函数， 且函数在上是增函数，可知函数在上是增函数， 若，即， 可得，即， 整理可得且，解得且， 所以不等式解集为. （2）因为，可得， 原题意等价于在上恒成立， 构建， 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 且在内连续不断，则在内单调递增， 则，可得，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常常结合参变分离的思想处理问题，这样可以避免含参问题，简化分析. 地 城 考点04 用定义法证明抽象函数的单调性 一、解答题 25．(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知函数解集为． (1)求的解析式； (2)用定义法证明函数在上为单调增函数； (3)若在区间上恒成立，求实数的范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集、根与系数关系求得. （2）利用函数单调性的定义，求得，从而证得的单调性. （3）利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数解集为， 可知方程的两根为，， 由，解得， 所以. （2）设， 由， ∵， ∴， ∴即， ∴函数在上为增函数. （3）由题意得：， 即对于任意的，有恒成立， 则， 当时，由二次函数性质得取得最小值，则. 26．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，， (1)求函数在R上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，再利用函数的奇偶性求解析式即可； （2）由（1）得当时，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）由（2）知在上也单调递增，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论t的取值，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以，， 又，所以.又当时，， 得，解得. 经检验，符合题意. 所以当时，， 若，则，得，所以， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）知，当时，， 设，则， 所以， 即， 所以在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增，所以在上也单调递增. 而，， 由，得， 当时，，所以成立； 当时，，即，解得； 当时，，即，无解. 综上，原不等式的解集为. 27．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 地 城 考点05 根据单调性求参数值 一、单选题 28．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)8．“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数单调性求得，利用包含关系分析充分、必要条件. 【详解】因为函数的图像开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，则，解得， 且是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 29．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 30．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数，对任意，则实数的取位范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先由函数单调性的定义判断得的单调性，从而利用分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意， 所以函数在上单调递增， 又， 所以，解得. 故选：A. 31．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于构造函数后，对实数分类讨论，尤其在处理二次函数在区间上单调性时，要注意对称轴不能在定义域内，另外要分根据图象确定二次函数的开口方向. 二、填空题 32．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用对勾函数得到函数的递增区间，又由函数在上是增函数，则为递增区间的子集，建立关于参数m的不等式，解出即可求得结论. 【详解】解：， 当时， 当时，， 由对勾函数性质结合函数定义域， 函数在和单调递增，又在上，在上， 函数的递增区间为 在上单调递增， 解得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 33．(24-25高一上·江苏连云港灌南县·期中)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 34．(24-25高一上·江苏常州前黄高级中学国际分校·期中)已知幂函数在单调增，. (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式解集(其中). 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在单调增，，， 所以. （2）由（1）知，函数在区间上是增函数， ，，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 35．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数且． (1)若在区间上的最大值是2，求实数的值； (2)若函数且在上是增函数，求实数的取值范围： 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程，解得即可； （2）根据函数在各段单调递增且断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）当时在上单调递增， 则，即，解得或（舍去）； 当时在上单调递减， 则，即，解得或（舍去）； 综上可得或； （2）因为且在上是增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 36．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意计算可得，进而，解之即可求解； （2）由题意可得，解之即可求解. 【详解】（1）， ，所以. （2）因为图象为抛物线，开口向上且对称轴为，在上不单调， 所以， 即实数的取值范围为. 37．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数. (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数的图象恒在的上方，求的取值范围； (3)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集确定参数值，进而求不等式的解集； （2）由题设恒成立，讨论的符号，结合二次函数性质求参数范围； （3）讨论的符号，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1）由题意得，解得，，则不等式的解集为. （2）由，即恒成立， 当时，不合题意， 当时，满足题意， 当时，，解得， 综上，. （3）当时，对称轴为，又， 此时在上单调递增，满足题意； 当时，在上单调递增，满足题意； 当时，对称轴为，此时需，即， 此时，则在上单调递增. 综上，或. 地 城 考点06 最值问题 一、单选题 38．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)函数的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用函数的单调性可求最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，函数对称轴为直线，函数在上为减函数， ∴当时，. 故选：A. 39．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域. 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 二、多选题 40．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数，，，已知的最小值为1，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出的图象，分，和三种情况，画出的图象，数形结合得到取得最小值的点，进而求出该点坐标，得到答案. 【详解】若，则，画出的图象如下， 的最小值为1，符合题意，故C正确； 若，则则，，画出的图象如下： 的最小值为，故D错误； 若，则的图象如下： ， 所以的图象如下： 的最小值为1，符合题意，故AB正确； 故选：ABC. 三、填空题 41．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数. 当时，在区间上的最小值为 ； 当时，在区间上的最小值为2，则实数的值为 . 【答案】 /1.45 /0.25 【分析】当时，，求出在区间上单调性，即可求出在区间上的最小值；当当时，，由基本不等式求出在区间上的最小值，解方程即可得出答案. 【详解】当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上的单调递减，所以； 当时，， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等， 所以，解得：. 故答案为：；. 42．(24-25高一上·江苏泰州中学·期中)是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∴，得， 若，则，则， 所以 作出函数的图象，如图所示． 当时，， 由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围为． 43．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 四、解答题 44．(24-25高一上·湖北武汉第六中学·月考)已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的分段函数，求出的单调区间，求出在上的值域； （2）求出，分、和三种情况求出，求出的最小值. 【详解】（1）， 当， 在单调递减，在单调递增， ，函数在上值域为， 当在单调递增， ，函数在上值域为， 综上所述，函数在上值域为； （2）由题意可知，， ①当时，根据二次函数的性质， 可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ②当时，根据二次函数的性质， 可知函数在单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为； ③当时，根据二次函数的性质， 可知函数在单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值为， 综上所述，， 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时； 当时，函数的最小值为，此时． 综上所述，的最小值为． 地 城 考点07 由函数的奇偶性求值及参数值 一、单选题 45．(23-24高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数是偶函数，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于为偶函数，所以，化简可求出实数k的值. 【详解】解：定义域为， ∵是偶函数， ∴， 即， ∴，即， 即， ∵，∴，得． 故选：C 46．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设函数，若是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式及奇函数的性质得解. 【详解】因为， 所以， 又因为是奇函数，所以， 即，所以， 故选：D 47．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数，其中a、b为常数，若，则（   ） A． B．7 C． D．4 【答案】A 【分析】构造函数，判断奇偶性并求出函数值. 【详解】函数的定义域为R，令， 则，函数是奇函数， 因此，而， 所以. 故选：A 48．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，分别对和的情况进行分析，从而求出和的值. 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 二、填空题 49．(23-24高一上·江苏宿迁泗阳县泗阳中学·期中)已知函数，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意求出，则，令，结合即可求解. 【详解】因为, 所以， 则， 令，得，又， 所以. 故答案为：3. 50．(23-24高一上·江苏盐城亭湖高级中学·期中)已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【分析】根据函数的奇偶性结合，列式求值，即得答案. 【详解】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 51．(23-24高一上·江苏南京协同体九校·期中)已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，可推得，，代入得出解析式，求出，即可得出的值. 【详解】根据奇函数的性质，可得，即， 所以，当时，. 所以，. 根据奇函数的性质，可得， 所以，. 故答案为：. 三、解答题 52．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数；求的零点； (3)求当时，函数的值域. 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）根据函数零点，对数运算求解； （3）将函数转化为二次函数求解值域； 【详解】（1）由题意知，代入得； 解得： 经检验，时为奇函数. （2）， 令得：， 综上的零点为. （3）, 设，， 结合二次函数性质，对称轴， 当， 当时， 综上函数值域为. 53．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是奇函数．（是自然对数的底） (1)求实数的值； (2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性. （2）若，将关于的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得. （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得．经检验，此时是奇函数 所以． （2）由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以． （3）由题意得： 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形， 则恒成立，得恒成立 即时，恒成立， 又，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是的最大值为． 地 城 考点08 由函数的奇偶性求解析式 一、单选题 54．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求出时，再分段解不等式即得. 【详解】函数是定义在上的奇函数，由当时，， 得当时，，， 当时，，即，解得， 当时，，解得， 当时，无解，所以不等式的解集为. 故选：A 二、填空题 55．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数是偶函数，当时，，则当时， 【答案】 【分析】设，则，把代入已知解析式后利用偶函数的概念求解即可. 【详解】设，则， 所以， 又因为为偶函数， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 56．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 三、解答题 57．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足． (1)求函数，的解析式； (2)若在区间上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，解方程组即可； （2）首先求出解析式，再令，则，令，，问题转化为在上的最大值为，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足， 所以，即， 解得， （2）因为，所以， ， 则 ， 令，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 所以，， 所以， 令，， 依题意可得在上的最大值为， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 综上可得. 58．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求函数在上的解析式； (3)在坐标系中画由函数的图象并解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析， 【分析】（1）根据奇函数定义计算即可； （2）根据奇函数的定义求出当的解析式，且即可得出的解析式； （3）根据解析式作出图像，由图可得不等式的解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， （2）①因为函数是定义域为的奇函数，所以； ②当时，，由得 综上： （3）图象如下： 由题意， 当得 当，； 所以不等式的解集为. 地 城 考点09 由单调性、奇偶性解不等式及比大小 一、单选题 59．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，单调递增，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，可得，再根据函数在时单调递增的性质，比较、、的大小，进而得出函数值的大小关系. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 因为，，，且，所以. 当时，单调递增，所以， 又因为，所以. 故选：A. 60．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先取消绝对值，即，进而利用单调性求解即可. 【详解】由，得， 又，，得， 因为函数是上的增函数， 所以，即，解得. 故的解集的补集是. 故选：D. 61．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的定义化简函数式，结合单调性求解． 【详解】， ，则，解得， 故选：C． 62．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，对函数值比较大小即可. 【详解】∵在单调递减，∴，故B错误； 又是偶函数，所以在上单调递增， ∴，故C错误； 而由是偶函数以及其单调性可得， ∴，故A正确，D错误； 故选：A． 63．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)定义在上的奇函数满足在上，单调递增，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数与单调性的性质，得出的正负取值情况，进而解不等式即可. 【详解】∵定义在上的奇函数满足在上，单调递增，， ∴在上单调递增，，， ∴当或时，；当或时，， 不等式可化为或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴不等式的解集为. 故选：A. 64．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知是定义在上的函数，，且的图象关于对称，当，且时，成立，则的解集为（    ） A．（0，2） B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，函数为奇偶性及其单调性，结合，即可解不等式. 【详解】因为的图象关于对称， 所以的图象关于对称，即为偶函数， 因为，所以， 因为，且时，， 所以在上单调递减， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增， 故当时，，当时，， 不等式等价为或， 所以不等式的解集为：. 故选：D 65．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质，解抽象不等式. 【详解】令，有，得 令，，所以函数是奇函数， 由可知，当，，即，所以单调递减， 不等式， 所以，解得：. 故选：A 66．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B．. C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性与奇偶性分析得的性质，从而将不等式转化为，再分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】依题意，不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则在上单调递增， 又，所以， 又， 所以不等式可化为，即， 当，即时，， 则，解得，故； 当，即时，， 则，解得，故； 综上，或，即所求不等式的解集为. 故选：C. 67．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式判断在上的单调性，再由奇函数对称性确定上的单调性，进而得到定义域R上的单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】由题设，结合二次函数性质，知在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上也单调递减，又， 故在R上递减， 由，即， 所以. 故选：A 68．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可. 【详解】函数定义域为关于原点对称， ，所以为奇函数， 在定义域为内任意选取两个自变量，且， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 因为，即，即， 结合单调性知，即，解得， 所以的范围是， 故选：A. 69．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知偶函数在递减，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质特点，先确定函数的单调性，结合不等式，得出或，解出不等式的解集即可. 【详解】因为函数为偶函数，且在递减， 所以在递增，且， 因为，所以或， 若，则，，解得， 若，则，，解得， 所以不等式的解集为：. 故选：D 70．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性求解出解集. 【详解】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 71．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知是奇函数，对于任意（），均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得在上单调递增，再结合奇函数的性质求解不等式. 【详解】由任意（），均有成立， 得函数在上单调递增，而是奇函数，则在上单调递增， 不等式中，令，则，又， 于是或，当时，，无解； 当时，或，解得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 72．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知是定义在上的偶函数，当时，都有，，则不等式解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到函数的单调性，根据性质，得到函数和图象即可求得. 【详解】因为， 则当，为减函数，又为偶函数，则，为增函数， 且，函数图象如图（1），函数图象如图（2） 则不等式 等价于或， 解的：或， 故选：. 73．(24-25高一上·江苏泰州第三高级中学、田家炳中学·期中)已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解． 【详解】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称， 所以为奇函数，， 因为，即，所以， 构造函数，则有，所以在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 变形， 则有，即， 所以，解得：或， 故选：B． 74．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知奇函数满足，且在上单调递增，则是解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因是奇函数，将转化为，分析函数的单调性，以及在各区间符号即可求解. 【详解】因是奇函数，所以， 所以，可转化为， 又因，且在上单调递增， 所以在上，，在上，， 根据奇函数的图象关于原点对称， 所以在上，，在上，，, 所以，可知与异号， 所以的解集为. 故选：A 75．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 76．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可. 【详解】由函数为上的奇函数， 则， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 则， 则，使得，，使得， 即，在有解， 则，， 令，则， 又，则，， 即，则， 故选：B. 【点睛】方法点睛： 分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下： （1）分离参数(注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等号的方向)． （2）转化：①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需； ③若，使得有解，则只需； ④若，使得有解，则只需. （3）求最值． 二、填空题 77．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】确定给定函数的单调性，再借助单调性脱去法则，进而求解不等式得答案. 【详解】当时，函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递增，， 因此函数在R上是增函数，不等式， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 78．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知定义在上的函数是奇函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据的奇偶性和单调性分析出的取值正负，然后分析不等式求解出解集. 【详解】因为定义在上的函数是奇函数， 所以，在上单调递增， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为， 所以或，解得， 故答案为：. 79．(24-25高一上·江苏南通海门中学·期中)定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为： 80．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知函数为上的偶函数，对任意、，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析函数的单调性，结合偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数和对数函数的单调性可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的、，当时，均有成立， 不妨设，则，所以，函数在上为减函数， 又因为函数为上的偶函数，所以，在上为增函数，且， 由得， 可得，所以，，可得或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 81．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 【答案】 【分析】首先，对不等式进行变形，转化为，再根据定义法以及给定条件分析的单调性，求解不等式即可. 【详解】由题设，其中，可变形为； 令，则，即函数在实数上单调递增； 不等式移项变形可得， 进一步化简得到， 因此原不等式可化简为，即 由于在实数上单调递增， 不等式成立的条件是，解得， 因此，不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用函数的单调性简化原不等式，从而直接得到解集。通过引入辅助函数，可以将问题转化为更易于分析的形式，利用函数单调性的性质求解，这是解决此类问题的一种有效策略。 三、解答题 82．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值； (2)判断并证明函数在定义域内的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，，列出方程组，能求出，，由此能求出. （2）在上单调递增，利用定义法能进行证明. （3）由，得，利用函数的定义域和单调性列出不等式组，能求出实数的取值范围. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，且， ，解得，， 经检验，，满足题意，. （2）在上单调递增，证明如下： 在上任取，，令， 则， ，，，，， ， 在上单调递增. （3），， ，解得. 实数的取值范围是. 83．(24-25高一上·广西部分名校·)已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可知：，利用赋值法求函数值； （2）根据题意结合奇函数和单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得，结合单调性可得，解不等式即可. 【详解】（1）由，可得. 令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）由（1）知， 令，得，所以， 则是奇函数. 任取，，且，则， 则. 因为当时，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）由（2）可知，， 即，所以. 因为在上为增函数， 则，即， 因式分解得. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式变为，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 84．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知为定义在上的偶函数，当时，且. (1)求实数的值及在上的解析式： (2)判断并证明在上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)，； (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用偶函数的性质求出，进而求出指定区间上的解析式. （2）借助对勾函数单调性判断，再利用减函数的定义推理论证. （3）利用偶函数的性质及函数单调性求解不等式. 【详解】（1）由为定义在上的偶函数，，得， 而当时，则，解得； 当时，，， 所以在上的解析式为. （2）由（1）知，，函数在上单调递减. ，， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知，不等式， 又函数在上单调递减，则， 即或，解得或， 所以原不等式的解集为. 85．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. (1)若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; (2)求不等式的解集. 【答案】(1)①证明见解析； ②单调减区间是；单调增区间是. (2) 【分析】（1）①由，根据偶函数的定义判断为偶函数； ②根据及，利用单调性的定义证明在上是减函数；再根据为偶函数，得到在上是增函数. （2）由，故可转化为或，再根据的单调性，可得不等式的解集. 【详解】（1）①∵是定义在上的奇函数，∴. ∴， ∴函数是偶函数. ②设且，则， 由，得， ∴，即， 所以函数在上是减函数； 又∵函数是偶函数，∴在上是增函数； 所以的单调减区间是；单调增区间是. （2）∵，是偶函数 ∴， 由，故可转化为或， 当时，由得，即， 因为在上是减函数，∴； 当时，由得，即， 因为在上是增函数，∴. 即不等式的解集为. 地 城 考点10 函数周期性的简单应用 一、单选题 86．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可； 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得， 即，为偶函数， 由得，即是以4为周期的偶函数， 所以， 由,令可得， 所以. 故选：D. 二、多选题 87．(23-24高一上·江苏启东中学·期中)已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 地 城 考点11 函数对称性的应用 一、单选题 88．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 89．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 二、填空题 90．(24-25高一上·江苏无锡梅村高级中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 【答案】 【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【详解】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为： 91．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则 . 【答案】 【分析】由函数奇偶性，对称性通过赋值计算即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，则， 则 又函数图象关于直线对称，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 92．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 【答案】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 三、多选题 93．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)下列说法中正确的有（   ） A．若定义在上的函数满足，则函数不是减函数 B．若定义在上的函数满足，则函数是增函数 C．若定义在上的函数关于直线对称，则函数是偶函数 D．若定义在上的函数关于点对称，则函数是奇函数 【答案】ACD 【分析】对于AB：根据单调性的定义分析判断；对于CD：根据对称性结合奇偶性的定义分析判断. 【详解】对于选项A：若，不满足单调递减的定义，所以函数不是减函数，故A正确； 对于选项B：若，但不满足任意性，不能确定的单调性，故B错误； 对于选项C：若关于直线对称，则， 所以函数是偶函数，故C正确； 对于选项D：若关于点对称，则， 即，所以函数是奇函数，故D正确； 故选：ACD. 94．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．若是奇函数，则 C．是上的减函数 D．不等式的解集 【答案】BCD 【分析】利用函数单调性的定义可判断C选项；利用函数的对称性可判断AB选项；将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域为， 则， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为函数是奇函数，即函数的图象关于原点对称， 由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，B对； 对于C选项，任取、，且，则， 则 ，所以，， 所以，函数是上的减函数，C对； 对于D选项，由，可得， 因为函数是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 四、解答题 95．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 96．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）利用，即可求解； （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案； （Ⅱ）首先通过平移变化得到的图象的对称中心也为，从而确定函数与图象个公共点也关于对称. 【详解】（1）由， 则， 又，则. （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由， 又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象， 则的图象的对称中心也为. 则函数与图象个公共点也关于对称，所以. 【点睛】关键点点睛：函数的图象关于点对称，等价于，也等价于. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$