专题04 基本不等式（3大考点47题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题04 基本不等式 3大高频考点概览 考点01 利用基本不等式求最值 考点02 利用基本不等式求参数范围 考点03 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，则的最小值为（   ）. A．10 B．9 C．26 D．11 2．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)若，且，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 5．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知，，，则的最小值为（   ） A．36 B．25 C．16 D．9 6．(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·江苏江阴一中、青阳高中·期中)下列命题中的真命题是（    ） A．， B．若，则的最小值是 C．“”的充要条件是“” D．“，”是“”的充分条件 8．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 11．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 12．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 13．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 16．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 17．(24-25高一上·江苏江阴一中、青阳高中·期中)已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、多选题 19．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最大值为2 D．的最小值为8 21．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)两个正数，，满足，则的值可以是（    ） A．8 B．6 C．4 D． 23．(24-25高一上·江苏淮安七校联盟·期中)下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 24．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 25．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 26．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值4 27．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知a，，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．最小值为12 D．的最大值为 28．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)若且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 29．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 30．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则下列正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 31．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)关于的方程的两实根为，，且，，则（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 32．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是（   ） A．的最大值是. B．的最小值为1 C．有最大值 D．有最小值 33．(24-25高一上·江苏横林高级中学·期中)下列说法正确的是（      ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，且，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是 34．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)设正数，满足，则有（    ） A． B． C． D． 三、解答题 35．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 36．(24-25高一上·江苏扬州第一中学·期中)（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且.求ab的最大值. 37．(24-25高一上·江苏苏大附中·期中)已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 38．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 地 城 考点02 利用基本不等式求参数范围 一、单选题 39．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 40．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)命题“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 41．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 42．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知，均为正实数，函数，若的图象过点，则的最小值为 ；若，的图象过点，且恒成立，则实数的取值范围为 . 地 城 考点03 基本不等式的实际应用 一、单选题 43．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 二、解答题 44．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且.    (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 45．(24-25高一上·江苏苏州·期中)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 46．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 47．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式 3大高频考点概览 考点01 利用基本不等式求最值 考点02 利用基本不等式求参数范围 考点03 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 利用基本不等式求最值 一、单选题 1．(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知，则的最小值为（   ）. A．10 B．9 C．26 D．11 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为11. 故选：D 2．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 3．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 4．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)若，且，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】利用1的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】.. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 5．(24-25高一上·江苏镇江丹阳·期中)已知，，，则的最小值为（   ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】C 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】由两边除以得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 6．(24-25高一上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由已知，满足， 即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 7．(24-25高一上·江苏江阴一中、青阳高中·期中)下列命题中的真命题是（    ） A．， B．若，则的最小值是 C．“”的充要条件是“” D．“，”是“”的充分条件 【答案】D 【分析】由特称命题的真假判断可得A错误；由均值不等式的计算可得B错误；由特殊值举例可得C错误；由充分条件的判断可得D正确. 【详解】A选项，因为，，即，，故A错误； B选项，， 因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，无最小值，故B错误； C选项，当时，满足，但不满足， 充分性不成立，故C错误； D选项，由，，可以推出， 所以“，”是“”的充分条件，故D正确. 故选：D. 8．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合不等式的性质求解． 【详解】，则，当且仅当时取等号，，当且仅当取等号， 所以，当且仅当时取等号，因此所求最小值是4. 故选：B． 9．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 10．(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再利用的代换将转化为，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，是正数且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 11．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 12．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据，化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，， 所以，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值是. 故选：B 13．(24-25高一上·江苏扬州中学·期中)已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立； 故选：B. 14．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件等式再利用基本不等式中“1”的应用即可计算的出结果. 【详解】由可得，可得； 所以； 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时. 故选：A 15．(24-25高一上·江苏徐州铜山区·期中)已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最大值为 【答案】D 【分析】A选项，由基本不等式直接求解，得到；B选项，根据x，y是正实数，且推出，B错误；C选项，变形后，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先根据条件求出，从而，得到D正确. 【详解】A选项，x，y是正实数，由基本不等式得，即， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A错误； B选项，由x，y是正实数，且， 故，而， 故的最小值不可能为，B错误； C选项，因为，所以， 其中， 当且仅当，即时，等号取到， 则，C错误； D选项，因为x，y是正实数，，所以，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D正确. 故选：D 16．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（   ） A．的最大值是2 B．的最小值是2 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】B 【分析】首先分析出的正负，再根据条件，利用基本不等式转化为关于的不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，， 则， 所以，则，且， 所以，即，所以的最小值为2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据基本不等式转化为，并建立关于的不等式. 17．(24-25高一上·江苏江阴一中、青阳高中·期中)已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立得出是的根，从而得出关系，代入后用基本不等式得最小值． 【详解】由题意，时，，时，， 所以，，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故选：C． 18．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 二、多选题 19．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意给的条件，结合基本不等式的应用，依次判断选项即可. 【详解】对于A，由题可得，即，故A正确； 对于B，为正数，为正数，， 所以，当且仅当时，等号成立，故B不正确； 对于C，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，为正数，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 20．(24-25高一上·江苏苏州·期中)已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为10 C．的最大值为2 D．的最小值为8 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，结合二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 21．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误. 【详解】对于A，，所以，化简得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，根据基本不等式， ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 又因为，， 所以，，，，， 所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，， 同理，，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选ABD. 22．(24-25高一上·江苏马坝高级中学·期中)两个正数，，满足，则的值可以是（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】ABC 【分析】由得，展开化简之后利用基本不等式可求最小值，即可确定选项. 【详解】由得， ， 当且仅当，即时等号成立，故， 所以的值可以是8，6，4. 故选：ABC. 23．(24-25高一上·江苏淮安七校联盟·期中)下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】根据充要条件的定义判断A，根据对勾函数的性质判断B，解一元二次不等式判断C、D. 【详解】对于A：，均表示同正同负， “”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：设，则，令，， 因为在上单调递增， 故函数最小值为，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：对于不等式，因为， 所以的解集是，故C正确； 对于D：不等式，即，解得或， 所以不等式的解集是或，故D正确. 故选：ACD 24．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断选项A；基本不等式结合乘“1”法判断选项B；利用二次函数的性质判断选项C；算式平方后利用基本不等式求积的最大值判断选项D. 【详解】A，已知，且， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，A选项成立； B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项错误； C，由，有，则， ， 所以当，时，的最小值为，C选项正确； D，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，D选项错误. 故选：AC. 25．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求解最值逐个判断各项 【详解】因为正实数，满足， 由， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故A对； 由， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故B错； 由 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C对 由，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D对； 故选：ACD 26．(24-25高一上·江苏无锡江阴六校·期中)若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值4 【答案】ABD 【分析】由基本不等式和乘“1”法逐项分析即可； 【详解】对于A，，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，所以有最大值，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：ABD. 27．(24-25高一上·江苏宜兴·期中)已知a，，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．最小值为12 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，取等号，故B错误； 对于C，， 当时，最小值为12，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故D正确 故选：ACD． 28．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)若且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，且， A选项，，当且仅当时等号成立， ，解得， 所以，所以A选项正确. B选项，由A选项的分析可知，当且仅当时， 取得最小值为， 而，但此时，所以取不到最小值， 所以B选项错误. C选项，（则①），， ， 当且仅当时，等号成立， 所以C选项正确. D选项， ， 但，与①矛盾，故等号不成立，所以D选项错误. 故选：AC 29．(24-25高一上·江苏南通如东、通州区·期中)已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 【答案】BD 【分析】利用基本不等式求出，即可判断A、D；依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式判断B、C. 【详解】因为， 所以，解得（负值已舍去），所以， 当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误； 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 30．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，则下列正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值是 D．若，则 【答案】BD 【分析】赋值法可判断A；利用不等式性质可判断B；利用均值不等式可判断C，利用1的代换可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，又，所以，故B正确； 对于C，由，得，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 故等号不成立，故C错误； 对于D，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD. 31．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)关于的方程的两实根为，，且，，则（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于A，，A正确， 对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C，由可得， 故， 当且仅当，即取等号，故C错误， 对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：ABD 32．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)已知，为正实数，满足，则下列判断中正确的是（   ） A．的最大值是. B．的最小值为1 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【分析】根据条件等式利用基本不等式计算可得A正确，由对勾函数性质可得B错误，将平方可得C正确，利用指数运算计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，易知，所以可得，其中， 利用对勾函数性质可得，可知B错误； 对于C，易知， 当且仅当时，等号成立，即有最大值，C正确； 对于D，易知， 当且仅当时，等号成立，即有最小值，D正确； 故选：ACD 33．(24-25高一上·江苏横林高级中学·期中)下列说法正确的是（      ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，且，则的最小值为 D．若正数，满足，则的最小值是 【答案】ACD 【分析】对A变形得，再利用基本不等式即可；对B变形为，再利用基本不等式即可；对C直接利用基本不等式即可；对D，减少变量后再利用基本不等式即可. 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为，故B错误； 对于C，因为，，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ACD. 34．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)设正数，满足，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误. 【详解】因为正数，满足， 对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以， ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由B知，，则，故C错误； 对于D，因为，则， 所以 ， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 35．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的性质直接求解即可； （2）由，结合基本不等式可求得结果. 【详解】（1），， ，， ，即的取值范围为. （2），，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 36．(24-25高一上·江苏扬州第一中学·期中)（1）已知，求的最小值； （2）已知，，且.求ab的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）函数变化为，再利用基本不等式即可. （2）把化为，利用基本不等式即可； 【详解】（1）因为，所以， 则 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. （2）因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的最大值为. 37．(24-25高一上·江苏苏大附中·期中)已知． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)12 【分析】（1）利用基本不等式即可求出最小值； （2）根据已知化简求出得，再变形化简应用基本不等式计算. 【详解】（1）当时，由，则， 即，可得， 当且仅当，即，时取最小值8. （2）当时， 由， 由得， 则，   故可知当时，取得最小值为． 38．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，化为，再利用基本不等式求最值即可； （2）利用，则化为，再利用配凑法，得到，即可利用基本不等式求最值； （3）先利用利用，则，化为，再利用分离常数法将原式化为，利用换元法得到，分子分母同除以，即可利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当， 即时，取等号，所以的最大值为. （3）因为，即，因为，，所以， 所以，整理得， 原式化为， 令，则，因为，所以， 所以原式化为：， 整理得：，因为，分子分母同时除以， 得：，因为，所以，， 所以， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 此时，所以当时，取得最大值 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于，对分子换元，分子设为一个整体，分子分母同除以新元， 整理后凑出乘积为定值，这样可以算出分母的最小值，也就得到了所求分式的最大值. 地 城 考点02 利用基本不等式求参数范围 一、单选题 39．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 40．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)命题“”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把问题转化为命题成立为真命题，再结合基本不等式求得最小值，从而可得，求解即可. 【详解】依题意，命题成立为真命题， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 二、填空题 41．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】利用配凑法，结合基本不等式计算可得，解分式不等式即可. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立 ∵恒成立，∴， ∴，∴或. 故答案为：或. 42．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知，均为正实数，函数，若的图象过点，则的最小值为 ；若，的图象过点，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 2 【分析】第一空由基本不等式的乘“1”法求解即可；第二空作代换，代入中再分子分母同时除以得到，然后设，再利用基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，即， ， 当且仅当即时取等号； 由恒成立可得恒成立，即， 由题意可得，即， 因为，均为正实数，，当时，无意义， 所以， ， 设，且则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以. 故答案为：2；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于将题中三个变量减少为一个，然后再利用基本不等式求解. 地 城 考点03 基本不等式的实际应用 一、单选题 43．(24-25高一上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求得的解析式，然后利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】设，则； 设，则， 所以总费用， 当且仅当时等号成立. 故选：C 二、解答题 44．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且.    (1)若，求关于的解析式； (2)求面积的最大值及相应的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）由已知得，易得和全等，所以， 由勾股定理得，即，其中； （2）， 当且仅当时取等，面积最大值为. 45．(24-25高一上·江苏苏州·期中)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 【答案】(1)答案见解析 (2)能，理由见解析 【分析】（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论； （2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知，水池的容积为，可得， 甲工程队的造价为 （元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元. （2）解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、， 不等式恒成立， 即对任意的、，恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 令，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，， 所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则， 又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功. 46．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)如图，长方形的周长为10. (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少? (2)沿折叠使点到点位置，交于点，请解决下面两个问题. （i）求的周长； （ii）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）5（ii）的面积存在最大值，此时 【分析】（1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. 【详解】（1）当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值，此时. 47．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出图形，计算出、的长，结合题意可计算出此人从海岛到达地的时间； （2）求出、的长，根据题意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$