专题09 期中压轴题精选（6大考点55题）（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

专题09 期中压轴题精选 6大高频考点概览 考点01 集合压轴题 考点02 基本不等式压轴题 考点03 一元二次不等式压轴题 考点04 函数的概念与性质压轴题 考点05 指对幂函数压轴题 考点06 函数应用压轴题 地 城 考点01 集合压轴题 一、多选题 1．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 2．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD. 【详解】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：理解新定义的概念是解决本题的关键. 二、填空题 3．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】5 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 方程可整理为， ①当时，即方程组只有一个解，则，即， ②当时，即方程组只有三个解， 显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解， ⑴当方程只有一个实根时，，， ⑵当方程有二个不同实根时，，或， 显然不是的实根，则是方程其中一个实根，则，解得， 综上所述：. ∴. 故答案为：5 【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合是由两个二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根. 三、解答题 4．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 【答案】(1)， (2)不正确，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义即可得到答案； （2）给出，作为充分性的反例即可； （3）将题目条件转化为，再使用反证法证明. 【详解】（1）此时，，故，. （2）不正确，因为当，时，有，故，但. 所以“”不能推出“对任意，都有”. （3）由定义知，故. 若，则，故. 此时，故，所以为奇数； 若，则，故的最大元素和最小元素同号，从而. 而，故，又因为，所以或. 而为正整数，所以，故，这就得到. 假设是偶数，则是奇数. 由于是偶数，所以和中必有一个偶数，再由是奇数，知是偶数. 设，则，，故. 由于，，故，即. 所以，得. 若，则，得，故为奇数，矛盾； 若，则显然为奇数，矛盾. 这表明假设不成立，所以为奇数. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将题目条件适当转化为容易处理的形式，这样便于解决问题. 5．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)充分不必要条件，证明见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）①集合，不符合定义，不具有性质； ②集合具有性质，对应集合，； ③集合不是整数集，所以不具有性质． （2）依题意，集合的元素构成有序数对，共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为. （3）1）当集合具有性质时， ①对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此也是中不同的元素， 所以的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，由定义知：，又集合具有性质，则， 若是中的不同元素，则，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，因此和也是中不同的元素， 即的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②知； 2）集合，则， ，满足，而集合不具有性质， 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 地 城 考点02 基本不等式压轴题 一、单选题 6．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用参变分离法将问题化为求的最值问题，从而得解. 7．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 二、解答题 8．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，化为，再利用基本不等式求最值即可； （2）利用，则化为，再利用配凑法，得到，即可利用基本不等式求最值； （3）先利用利用，则，化为，再利用分离常数法将原式化为，利用换元法得到，分子分母同除以，即可利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当， 即时，取等号，所以的最大值为. （3）因为，即，因为，，所以， 所以，整理得， 原式化为， 令，则，因为，所以， 所以原式化为：， 整理得：，因为，分子分母同时除以， 得：，因为，所以，， 所以， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 此时，所以当时，取得最大值 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于，对分子换元，分子设为一个整体，分子分母同除以新元， 整理后凑出乘积为定值，这样可以算出分母的最小值，也就得到了所求分式的最大值. 地 城 考点03 一元二次不等式压轴题 一、填空题 9．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式解集中有且只有个连续整数，确定解集的区间长度， 得出的取值范围，再由对称轴判断出即可. 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有， 所以，所以三个整数解为， 所以，解得. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键. 10．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知，均为正实数，函数，若的图象过点，则的最小值为 ；若，的图象过点，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 2 【分析】第一空由基本不等式的乘“1”法求解即可；第二空作代换，代入中再分子分母同时除以得到，然后设，再利用基本不等式求解即可； 【详解】由题意可得，即， ， 当且仅当即时取等号； 由恒成立可得恒成立，即， 由题意可得，即， 因为，均为正实数，，当时，无意义， 所以， ， 设，且则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以. 故答案为：2；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于将题中三个变量减少为一个，然后再利用基本不等式求解. 二、解答题 11．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解得，则不等式对任意恒成立，得，解之即可； （2）分类讨论当或、时，结合新定义解出对应的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由解得：， 不等式组解集构成的各区间的长度和等于， 不等式对任意恒成立， 令，， 则， 解得：， 实数的范围为 （2）①当或时，原不等式等价于， 整理得：， 令， ，，设的两根为，， 此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为； ②当时， 同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．   综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为， 又由韦达定理可知：， 原不等式的解集的区间长度之和为2. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 12．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得（等号不能同时成立）.根据新定义可得，解之即可求解； （2）首先解出第一个不等式范围为，再根据各区间长度和为6，得到不等式在恒成立，再构建新函数，转换主元即可得到范围； （3）分类讨论对称轴与区间的位置关系，求出函数对应的最值，建立方程组，解之即可求解. 【详解】（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. （2），解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则，解得， ∴实数t的范围为． （3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且，即为方程的两根， 得，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 地 城 考点04 函数的概念与性质压轴题 一、单选题 13．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 14．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于构造函数后，对实数分类讨论，尤其在处理二次函数在区间上单调性时，要注意对称轴不能在定义域内，另外要分根据图象确定二次函数的开口方向. 15．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 16．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可. 【详解】由函数为上的奇函数， 则， 又在上单调递增， 则在上单调递增， 则， 则，使得，，使得， 即，在有解， 则，， 令，则， 又，则，， 即，则， 故选：B. 【点睛】方法点睛： 分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下： （1）分离参数(注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等号的方向)． （2）转化：①若对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需； ③若，使得有解，则只需； ④若，使得有解，则只需. （3）求最值． 二、多选题 17．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 画出的图象如下图所示， A选项，由图可知，不是的对称轴，A选项错误. B选项，若函数在上单调递减，由图可知， ，B选项正确. C选项，对， ，所以总成立， 所以C选项正确. D选项，当时，, 此时关于直线对称，所以， 成立. 当时，，成立. 当时，， ，成立. 综上所述，当时，，D选项正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛: 函数图象的辅助分析：通过画出函数的图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常有效的辅助手段. 单调性与对称性结合分析：通过结合单调性和对称性，确保对函数的所有性质都有准确的理解，这是判断选项的关键步骤. 18．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式可直接得出为奇函数，即A正确，画出函数图象可知B错误，结合图象可得方程有2个解，即C正确，根据不等式中整数解的个数可得，即可得正实数的范围是，即D正确. 【详解】易知函数的定义域为，即定义域为关于原点对称； 且满足，即可得为奇函数，即A正确； 当时，可得， 可得函数在上单调递减，即B错误； 画出函数图象如下图所示： 易知代表函数图象与和交点个数，由图可知方程有2个解，即C正确； 关于的不等式可得， 结合图象可知，当时，可知不等式有无数个整数解； 当时，区间上无整数解， 因此只需在上包含一个即可，当时，, 当时，， 因此若不等式恰有1个整数解，只需，解得； 又为正实数，所以正实数的范围是，可得D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式判断得出其奇偶性并利用对称性画出函数图象，再由函数与方程的思想即可得出方程根与不等式的解. 19．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知函数的定义域为R，，且对任意实数m，n，有，当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．是R上的单调递增函数 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【分析】令，求得，令，即可判断A；由时和即可判断B；举例说明即可判断C；根据即可判断D. 【详解】A：函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，得，有，又， 令，得，解得，故A正确； B：当时，， 设，则，，由， 得，即， 所以，则在R上递增，故B正确； C：若为偶函数，则，与、矛盾，故C错误； D：令，则，即， 所以函数为奇函数，故D正确； 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等. 20．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用配方法求出函数值域可判断A；利用的解集为可判断B；利用韦达定理可判断CD. 【详解】函数， 因为函数的值域为， 所以，即，故A正确； 对于B，由得， 因为的解集为，即的两根为， 所以，故B错误； 对于C，由，得，即，故C正确； 对于D，由得， 因为的解集为，所以， 得， 所以，整理得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：将关于的不等式的解集为，转化为方程的两根为. 21．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 【答案】BCD 【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出. 【详解】对于选项A，当时，，，所以在R上不是减函数，故选项A错误， 对于选项B，当时，在上是减函数，无最小值， 又在上是减函数，也无最小值，即时，无最小值， 当时，在上是增函数，所在在上的最小值为， 又在上是减函数，且，所以当时，无最小值， 综上，当时，无最小值，所以选项B正确． 对于选项C，当时，， 当时，由，得是增函数， 所以，所以的值域是，故选项C正确． 对于选项D，当时，由，得，所， 而当时，，， 因此，，使得，即，所以选项D正确， 故选：BCD． 【点睛】求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （4）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 22．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 【答案】ACD 【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项. 【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且， 则，有， 由，得，， ，为偶函数，A选项正确； ，B选项错误； 对，， 所以不等式总成立，C选项正确； 对，且，则，， 所以， D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可. 23．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【详解】令，则，A对； 令，则，即， 所以为奇函数，C对； 由时，则时， 令，则，故， 所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：令判断的奇偶性，进而得时是判断C、D的关键. 三、填空题 24．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 25．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为 ． 【答案】 【分析】根据条件得到中元素个数的情况，再根据一个集合对应函数的个数得到结果. 【详解】首先，因为函数f：的值域是，所以中至少有两个元素， 又因为，，对任意x，，，都有， 当中元素个数为2个时，如,共21个，根据可得每个集合对应1个函数，所以此时共有21种情况， 当中元素个数为3个时，如,共35个，根据或可得到每个集合对应两个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为4个时，如,共35个，根据或或得到每个集合对应3个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为5个时，如,共21个，根据或或或得到每个集合对应4个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为6个时，如,共7个，根据或或或或得到每个集合对应5个函数，所以此时共有种情况； 当中元素个数为7个时，如,共1个，根据或或或或得到每个集合对应6个函数，所以此时共有种情况； 所以共有：种情况， 故答案为：. 26．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 【答案】 【分析】首先，对不等式进行变形，转化为，再根据定义法以及给定条件分析的单调性，求解不等式即可. 【详解】由题设，其中，可变形为； 令，则，即函数在实数上单调递增； 不等式移项变形可得， 进一步化简得到， 因此原不等式可化简为，即 由于在实数上单调递增， 不等式成立的条件是，解得， 因此，不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用函数的单调性简化原不等式，从而直接得到解集。通过引入辅助函数，可以将问题转化为更易于分析的形式，利用函数单调性的性质求解，这是解决此类问题的一种有效策略。 四、解答题 27．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知函数，． (1)是否存在，使得？请说明理由； (2)设函数，判断并证明在区间上的单调性； (3)设函数证明：，且，． 注：函数在上单调递增． 【答案】(1)存在，理由见解析； (2)单调递减，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，求出方程的解即可. （2）求出函数，判断单调性并利用函数单调性定义推理得证. （3）求出分段函数，再按分段推理论证不等式即可. 【详解】（1）函数，，由，得，解得， 所以存在，使得，. （2）依题意，函数的定义域为，在上单调递减， ， ，由，得， 则，即，因此， 所以在区间上的单调递减. （3）依题意，函数， ①，， 由，得，则， 于是； ②，， 由，得，于是； ③，，， ， 当时，，，， 则，，因此； 当时，， ，函数在上单调递减，则， 则，，因此， 即，， 所以，且，. 【点睛】思路点睛：本题第3问，由分段函数的特征，按变量在同一表达式对应的区间内和各自在两个表达式对应的两个区间内分段推理论证. 28．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)讨论单调性； (3)若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接解绝对值不等式即可得解； （2）分三种情况讨论即可； （3）首先得，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以当时，不等式的解集为； （2）， 情形一：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 情形二：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，无单调递减区间； 情形三：当，即时，由二次函数性质可知， 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）若为奇函数，首先，即， 其次恒成立， 即恒成立或者恒成立， 而不可能恒成立，从而只可能恒成立， 所以， 所以，显然的定义域是全体实数，它关于原点对称，且， 所以是奇函数，且当时，单调递增， 所以在整个定义域上单调递增， 若正数a，b，c满足， 则当且仅当， 而， 同理可证，，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到，进一步得在整个定义域上单调递增，从而得到，根据作差法即可顺利得解. 29．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 30．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 则， 所以不是在上的“美好函数”； （2）因为，， 则在上单调递减，所以，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以，解得. （3）函数的定义域为， ，所以为奇函数， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递减的证明如下： 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得或（舍去），所以， 即在上为“美好函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意； 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得（舍去）或，所以， 即在上为“美好函数”； 当时，即时，在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值. 31．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间. (1)下列函数①；②；③；④中，哪些存在“保值”区间，在答题纸上直接写出序号； (2)若一次函数存在“保值”区间，求实数的取值范围； (3)若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围. 【答案】(1)①不存在“保值”区间，②③④存在“保值”区间. (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合函数单调性逐项分析求解即可； （2）分和两种情况，根据题意结合一次函数单调性分析求解； （3）由二次函数的性质可得函数单调区间，分类讨论结合二次函数根的分布分别求解，最后再求并集即得答案． 【详解】（1）对于①：因为在区间上单调递增， 则，方程组无解， 所以不存在“保值”区间； 对于②：因为在区间上单调递减， 则，可得， 所以存在“保值”区间； 对于③：因为的值域为， 则，可知在上单调递增， 可得，解得， 所以存在“保值”区间； 对于④：因为在内单调递增， 若，则，无解； 若，则，解得， 所以存在“保值”区间； 综上所述：①不存在“保值”区间，②③④存在“保值”区间. （2）若一次函数存在“保值”区间， 当时，可知在上单调递增， 则，可得，解得； 当时，可知在上单调递减， 则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围. （3）函数在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 由，即函数在有两个不等的实数根； 设， 所以，解得； 若，则， 由， 两式相减可得，所以， 从而，即， 同理可得， 设， 所以，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性和应用，其中正确理解新定义的含义，并根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键． 32．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. (1)若为函数的特别区间，求实数的值； (2)证明：函数存在“3倍区间”； (3)设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“特别区间”的定义可得值域，即可求解； （2）根据“倍区间”的定义，结合二次函数的单调性，即可求解； （3）根据题意可将问题转化为，方程在区间上有两不相等的实数根求解. 【详解】（1）因为为函数的特别区间，所以函数的定义域和值域都是， 因为在区间为增函数，故其值域为， ，， 解得或1（舍），所以的值为2. （2）假设函数存在“3倍特别区间”为，则其值域为， 当时，易得在区间上单调递增， 则，即 此时易得a，b为方程的两根， 求解得或，故定义域，则值域为， 所以函数存在“3倍特别区间”，得证. （3）若函数存在跟随区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 33．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. (1)求证：函数是函数； (2)若函数是函数，求实数； (3)若函数是函数，求实数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用函数为函数的定义求解. （2）法一：根据函数是函数，先由不成立，得到或；再根据函数的新定义，由，转化为，令，根据在单调递减，由求解；法二：根据函数是函数及在是增函数，由求解； （3）法一：由，得到，从而，再由函数是函数，化简得到，由求解；法二：同上，由求解. 【详解】（1）解：任取，总存在， 使得， 所以是函数. （2）法一：因为函数是函数， 若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 所以，化简得， 令， 因为在单调递减， 所以 当时，得， 当时，得， 综上所述. 法二：因为函数是函数，若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 只需满足即可，因为在是增函数， 故有，即， 解得. （3）法一：因为，所以， 所以， 又 所以函数为增函数； 函数是函数， 所以任取，存在，使得， 化简得， ，得，所以. 法二：因为，所以，所以， 又 所以函数为上的增函数； 又函数是函数， 所以任取，存在，使得， 等价于， 即，即， 解得. 【点睛】方法点睛：对任意，存在，使得，由而得解. 34．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）（Ⅱ） 【分析】（1）利用，即可求解； （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，根据题意得到为奇函数，得到，解得答案； （Ⅱ）首先通过平移变化得到的图象的对称中心也为，从而确定函数与图象个公共点也关于对称. 【详解】（1）由， 则， 又，则. （2）（Ⅰ）设对称中心坐标为，由题意可知，为奇函数， 对任意恒成立， 即， 所以恒成立， 则，解得. 故函数图象的对称中心为. （Ⅱ）由， 又的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的图象， 则的图象的对称中心也为. 则函数与图象个公共点也关于对称，所以. 【点睛】关键点点睛：函数的图象关于点对称，等价于，也等价于. 35．(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知二次函数. (1)设，，证明：； (2)已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，使得对任意实数，有恒成立.判断函数是否属于集合，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由子集的定义证明； （2）根据新定义用反证法证明； （3）由不等式恒成立，结合判别式有，于是有，把不等式右边化为的形式，并换元：，再利用对勾函数性质及不等式的性质求得结论． 【详解】（1）若，显然有； 若，设，则有；从而， 故有； 综上可知：. （2）假设，则，，， 即，因为该式对于任意的实数均成立，从而有 解之得， 而这与矛盾，故. （3）恒成立， ，故； ， 令，则，， .  当时，； 当时，， 当且仅当时，取等号， 所以，的最大值为. 【点睛】方法点睛：在出现新定义的问题中，有时解决问题给出的条件较少，可以应用反证法，假设结论的反面成立，这样结论的反面可以作为一个条件参与推理，从而有助于问题的解决． 36．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知二次函数满足，，且在上的最小值为. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式； （2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数在区间上的单调性，可得的表达式； （3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得. 【详解】（1）由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设， 由可得，； 所以函数的解析式为； （2）由（1）可知 ①当时，， 此时在区间上单调递减，可得， ②当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得， ③当时， 此时在区间上单调递增，； 综上可得； （3）由题知，当时，； 即求对任意，存在，使得， 令，当时， 即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立， 可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，； 因此可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将双变量不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，再利用换元法求得函数单调性即可得出结论. 37．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数. (1)若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①证明见详解；② (2) 【分析】（1）根据奇函数定义可得.①根据单调性的定义分析证明；②分析可知为偶函数，函数在上是增函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分析可知原题意等价于在上恒成立，构建，结合单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 若函数是奇函数，则，即， 且，即是奇函数， 所以符合题意，. ①若，则， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在上是增函数； ②因为， 可知的定义域为，且， 可知为偶函数， 当时，则， 因为在上是增函数，则在上是增函数， 且函数在上是增函数，可知函数在上是增函数， 若，即， 可得，即， 整理可得且，解得且， 所以不等式解集为. （2）因为，可得， 原题意等价于在上恒成立， 构建， 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 且在内连续不断，则在内单调递增， 则，可得，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常常结合参变分离的思想处理问题，这样可以避免含参问题，简化分析. 38．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是奇函数．（是自然对数的底） (1)求实数的值； (2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性. （2）若，将关于的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得. （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为，所以， 即，解得．经检验，此时是奇函数 所以． （2）由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以． （3）由题意得： 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形， 则恒成立，得恒成立 即时，恒成立， 又，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是的最大值为． 地 城 考点05 指对幂函数压轴题 一、单选题 39．(23-24高一上·江苏泰州中学·期中)已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以    故， 故选：B 【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果. 二、填空题 40．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，的解析式，然后对的范围进行分类讨论，将不等式问题转化为函数最值问题，从而求解. 【详解】由①可得， 又函数分别为上的偶函数和奇函数， 则，， 则②， ①②可得，则， ①②可得，则， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，， 其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ，即， 由任意，使得成立， 当时，则，此时满足对于任意，任意， 使得成立， 当时，可得，即，解得，即， 综上，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于将的范围分类讨论，转化为函数最值问题. 三、解答题 41．(23-24高一上·江苏南通中学·期中)设函数是定义域为的奇函数. (1)求实数值； (2)若，试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由求得的值. （2）由求得的取值范围，利用函数单调性的定义证得在上单调递减. （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】（1）由于是定义域为的奇函数， 所以， 此时，，满足是奇函数， 所以. （2）由（1）得， 若，则， 所以是减函数，证明如下： 任取，则 ， 由于，，所以， 所以， 所以在上单调递减. （3）由（1）得，是定义在上的奇函数， 依题意，不等式恒成立， 即恒成立， 由（2）得在上单调递减， 所以， 恒成立， 令，则对于函数， 函数在上单调递增，最小值为， 所以的最大值为， 所以. 【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在处有定义时，必有，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解. 42．(23-24高一上·江苏连云港灌云高级中学、灌南惠泽高级中学·期中)已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3个 (2) (3) 【分析】（1）由翻折变换作图可得交点个数； （2）换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解，由函数图象开口向上，按轴与区间端点距离的远近分类讨论求最大值； （3）两函数图象交点的个数转化为复合方程的根的问题，再结合图象，转化为二次方程的根的情况分类讨论. 【详解】（1） 如图，由翻折变换分别作出函数与函数的图象， 因为两函数图象有个不同的交点， 所以方程的解的个数为； （2） ， 令， 化为 则函数的图象开口向上，且对称轴为， 当即时，； 当即时，， ； （3）， 令， ， ， 令， 即①， 函数的图象如图， 因为函数的图象与函数的图象有3个不同的交点， 所以①式有2个不等的实根，且一根在内，另一根为0或在内； 当一根为时，即是方程①的根，代入①式可得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 所以方程①的两根一根在内，另一根在内. 设， 当一根在内，另一根在内时， 由，即，解得； 当一根为时，由解得， 验证：此时方程①为，解得或， 故不合题意，舍去； 综上所述，的取值范围是. 【点睛】求解复合函数零点问题的技巧： （1）数形结合法.分别作出的图象； （2）若已知零点个数求参数的范围，则先分析关于的方程的解的个数，再根据个数与的图象特点，分配每个函数值被几个对应，从而确定每个函数值的取值范围，即方程的根的情况，进而求解参数的范围. 43．(23-24高一上·江苏南通崇川区·期中)已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质求定义域； （2）由对数函数性质不等式化为关于的一元二次不等式在上有解，再转化在上有解，利用根的分布知识求解可得； （3）确定与的图象关于轴对称，由对称性得矩形的中心在轴上，得，设点坐标（），由对称性表示出的坐标，由此由对称性求得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得：，得， 定义域为． 当时，， ，， 值域为． （2） 又因为，所以可得 要证明：即证明在上有解 存在，使得成立 ，即为， 不等式在上有解， 设，因此在上有解， 所以，解得， 在上有解 即可证明： （3）与关于轴对称 由题意可知，矩形关于轴对称，所以，． 所以设点坐标（） 因为矩形且轴，轴 点坐标 又矩形关于轴对称 点横坐标为，同理可得点坐标 ，且该矩形的中心为点 所以可得：，消去 得： 所以，展开可得： 因式分解可得： 所以． 【点睛】方法点睛：本题第（2）小题的解法是利用对数函数性质把问题转化为不等式有解问题，然后再转化为一元二次方程在区间内有解，从而利用二次方程根的分布知识求解．第（3）小题关键是确定函数图象的对称性，得出矩形中心在轴，然后设矩形顶点坐标，利用对称性把矩形中心坐标与顶点坐标建立关系，从而求得参数值． 44．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)4 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据所给函数的性质，赋值即可得解； （1）（ⅰ）由题意由为奇函数即可得解； （ⅱ）证明的单调性，求出值域，由题意转化为，再由 的对称性转化为，分类讨论求的值域，满足上述条件建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为定义在上函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， ∴，得， 则令，得. （2）（ⅰ）因为函数的图象关于点对称， 所以为奇函数， 所以 为奇函数， 所以，解得. （ⅱ）先证明在上单调递增， 设任意的，且， 则 ， 由可知，，， 所以，即在上单调递增； ∴在区间上的值域为，记在区间上的值域为， 对任意，总存在，使得成立知， 由的图象关于点对称，所以只需 ①当时，在上单调递增，由对称性知， 在上单调递增，∴在上单调递增， 只需即可，得，∴满足题意； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性知，在上单调递增，在上单调递减， ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴或， 当时，，， 即，， ∴满足题意； ③当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减， ∴在上单调递减， 只需即可，得，∴满足题意. 综上所述，的取值范围为. 45．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 【答案】(1)指数函数在上不具有性质，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（1）根据指数函数值域可得对于，不存在满足，可得结论； （2）利用一次函数性质以及性质，由集合间的包含关系解不等式即可得实数的取值范围； （3）对的取值分类讨论，得出函数在上的值域，再根据性质的定义得出集合间的包含关系，得出不等式的解集，再由存在唯一的实数得出等量关系即可求得实数的值. 【详解】（1）指数函数在上不具有性质. 理由如下：指数函数的定义域为， 对于，易知不存在满足题意， 因此对于，不存在满足， 即函数在上不具有性质. （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对任意，都存在使得，即， 可得， 因为，所以，又，所以, 即，解得， 因此实数的取值范围为. （3）若函数在上具有性质， 则对任意，都存在使得，即； 因为，所以； 若，易知函数关于对称， 当时，即，此时在上单调递减，此时； 因此可得，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得，符合题意； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得（舍）或（舍）； 当时，可得，此时在的最小值为， 最大值为，即； 所以，即， 解得，若存在唯一的实数可得， 解得或（舍），即符合题意； 综上可知，实数的值为或. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二次函数单调性对的取值分类讨论得出其在上的值域，再由性质定义得出集合间的包含关系解不等式可得结论. 46．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得， 若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 47．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)3，1， (2)30，，31 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）由新定义得解； （2）利用对数化简，把表示，根据新定义得解； （3）猜想，利用新定义证明即可. 【详解】（1），， 由题意，当时，整数部分的位数为， 当时，的非有效数字的位数为， 所以 （2）由，则， 所以， 故，，. （3）猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 所以存在，使得，此时， 而，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：理解所给新的定义，运用所给定义是此类拓展型题目的解题关键，对能力要求较高. 地 城 考点06 函数应用压轴题 一、单选题 48．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D    【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 二、多选题 49．(23-24高一下·江苏句容高级中学·期中)已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 【答案】BCD 【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解． 【详解】记，作出函数的图象如图所示， 令，则由图可知， 当时，方程只有一个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程有三个根； 显然不是方程的根， 若是方程的根，则，此时另一个根为， 结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意； 所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根， 等价于方程的一个根在，一个根在， 令，则，解得， 结合选项可知，的值可以是. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 50．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)对于函数，如果实数满足，则称为函数的不动点；如果实数满足，则称为函数的稳定点.如果的不动点为，1，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一个稳定点 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不动点、稳定点的定义一一判断即可. 【详解】因为的不动点为，所以是方程的根， 所以，解得，所以， 由，解得， 所以，故A错误； 因为， ， 所以，所以是函数的一个稳定点，故B正确； 令，则，所以是函数的不动点，由已知可得或， 由，得，解得或， 由，得，解得或， 所以，故C正确； 设是不动点，则，故，即是稳定点， 所以，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：对函数不动点与稳定点的正确理解是解决本题的关徤，对分析问题与解决问题的能力要求较高. 51．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在上只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以是奇函数，故对恒成立，故A正确； 对于B，当时，，因为在上递减， 所以在上递增， 因为是奇函数，所以在上也是增函数， 而，的图象连续，所以在上为单调递增函数， 所以，则一定有成立，故B正确； 对于C，易知的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，， 因为在上为单调递增函数，所以在上为单调递增函数， 则在上单调递减， 当时，， 因为，所以，所以，则， 因为，为偶函数，所以， 所以当时，有两个不相等的实数根， 当时，不可能有两个不等的实数根，故C错误； 对于D，因为，易得的定义域为， 又，所以为奇函数， 当时，， 因为为奇函数，所以当时，， 又，所以函数在上只有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是对函数奇偶性和单调性的正确判断，然后利用奇偶性和单调性的性质求解. 52．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【答案】ACD 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围. 【详解】当时，，由题意可知，A选项正确； 由题意可知：，B选项错误； ∵，令，则或；令，则或； ∴，即或，即或，C选项正确； 令，即 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题. 三、填空题 53．(23-24高一下·江苏扬州江都区·期中)已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 【答案】 / 2 【分析】由结合正弦函数性质即可求解，将函数的所有零点转化成函数与图象上所有交点的横坐标，树形结合作出与图象，借助函数图象求得两函数所有交点的横坐标之和即可得解. 【详解】由题得， 所以即， 又，所以； 所以， 所以令，则有， 则函数的所有零点即为函数与图象上所有交点的横坐标， 作与图象如图所示， 由图可知与图象共有9个交点， 因为，所以点是图象的一个对称中心， 又点在直线上，所以点也是图象的对称中心， 所以两函数除点外的其余8个交点都关于点对称， 所以所有交点的横坐标的和为， 所以函数的所有零点之和为2. 故答案为：；2. 【点睛】思路点睛：求函数多个零点之和的问题常借助函数对称性解决，在图象能作出情况下还常结合图象去解决，故求函数的所有零点之和，可将问题转化成求两个已知函数与图象上的所有交点的横坐标之和，进而借助图象和函数对称性即可求解. 四、解答题 54．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知定义在上的函数在上是增函数.为偶函数，且当时，. (1)当时，求在上的解析式； (2)是否存在实数，使函数与的值域相同，若存在，求出所有实数的值，若不存在，说明理由； (3)令，讨论关于的方程的实数根的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用为偶函数即可求解析式； （2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求的值； （3）分类讨论确定的零点情况即可. 【详解】（1）当时，时，， 当时，则，而为偶函数，有， 所以． （2）∵函数在上单调递增， ∴，且的值域为， 当时，，且为偶函数， ∴的值域为， 由题意知：． 令，易知在上单调递增，且； ∴． （3）由（2）有，令， ①当时， ，此时仅有一个零点． ②当时，，此时仅有一个零点． ③当时，在中，故无零点； 在中单调递增，而，， ∴故此时，使，即仅有一个有，． ④当时，在中，零点有，故有两个零点； 在中单调递增，而，即无零点； 综上所述，当时，方程有两个实数根； 当时，方程仅一个实数根． 【点睛】关键点点睛：将方程的实数根转化为的零点问题. 55．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求得，然后求得，最后结合对数概念根据零点的定义求解即可. （2）由函数的解析式可得，再由换元法将函数零点问题转化为二次函数在某区间上与轴有交点，即可得到结果； （3）先根据基本不等式求得，再结合二次函数的单调性得为方程的两个根，结合复合函数的单调性，奇偶性即可得解. 【详解】（1）是偶函数， 则，即， ， 由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点为. （2）由（1）可知，则， 令可得， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 即，即方程有实根， 即，，令，， 由对勾函数的单调性可知，单调递减，单调递增， 所以时，，所以. 则实数的取值集合为. （3）设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 期中压轴题精选 6大高频考点概览 考点01 集合压轴题 考点02 基本不等式压轴题 考点03 一元二次不等式压轴题 考点04 函数的概念与性质压轴题 考点05 指对幂函数压轴题 考点06 函数应用压轴题 地 城 考点01 集合压轴题 一、多选题 1．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 二、填空题 3．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 . 三、解答题 4．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记，． (1)已知，求和； (2)已知，小明同学认为“”是“对任意，都有”的充要条件．你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由； (3)已知，为正整数，，若，求证：为奇数． 5．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 地 城 考点02 基本不等式压轴题 一、单选题 6．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 7．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 二、解答题 8．(24-25高一上·江苏宿迁中学·期中)已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)求的最大值. 地 城 考点03 一元二次不等式压轴题 一、填空题 9．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ． 10．(24-25高一上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知，均为正实数，函数，若的图象过点，则的最小值为 ；若，的图象过点，且恒成立，则实数的取值范围为 . 二、解答题 11．(24-25高一上·江苏常州北郊高级中学·期中)定义区间、、、的长度均为，其中. (1)不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的取值范围； (2)已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和. 12．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 地 城 考点04 函数的概念与性质压轴题 一、单选题 13．(24-25高一上·江苏连云港赣榆区·期中)已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·江苏盐城五校联盟·期中)已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·江苏南京师范大学附属中学·期中)已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 16．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 17．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，则（    ） A．直线是曲线的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 18．(24-25高一上·江苏苏州常熟·期中)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．关于的方程有2个解 D．若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是 19．(24-25高一上·江苏常州金坛区·期中)已知函数的定义域为R，，且对任意实数m，n，有，当时，.则下列结论正确的是（    ） A． B．是R上的单调递增函数 C．为偶函数 D．为奇函数 20．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的为（   ） A． B． C． D． 21．(24-25高一上·江苏西交大附中·期中)已知 （常数），则（   ） A．当时，在上是减函数 B．当时，没有最小值 C．当时，的值域为 D．当时，，有 22．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为偶函数 B． C．对，不等式总成立 D．对，且，总有 23．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．为上的增函数 C．为奇函数 D．若，则的取值范围为 三、填空题 24．(24-25高一上·江苏苏州·期中)设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 25．(24-25高一上·江苏苏州中学·期中)已知，，，若函数f：的值域是B且对任意x，，，都有，则满足如上条件的函数的个数为 ． 26．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)若函数是定义域为，且对，，且，有，不等式的解集为 四、解答题 27．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)已知函数，． (1)是否存在，使得？请说明理由； (2)设函数，判断并证明在区间上的单调性； (3)设函数证明：，且，． 注：函数在上单调递增． 28．(24-25高一上·江苏泰州泰兴、兴化两校·期中)已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)讨论单调性； (3)若为奇函数，且，试探究正数a，b，c的大小关系． 29．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 30．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. (1)函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； (2)已知函数是在上的“美好函数”，求的值； (3)已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 31．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)若函数在区间上同时满足：①在区间上是单调函数，②当，函数的值域为，则称区间为函数的“保值”区间. (1)下列函数①；②；③；④中，哪些存在“保值”区间，在答题纸上直接写出序号； (2)若一次函数存在“保值”区间，求实数的取值范围； (3)若函数存在“保值”区间，求实数的取值范围. 32．(24-25高一上·江苏宿迁泗阳县·期中)若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. (1)若为函数的特别区间，求实数的值； (2)证明：函数存在“3倍区间”； (3)设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 33．(24-25高一上·江苏连云港东海县·期中)设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. (1)求证：函数是函数； (2)若函数是函数，求实数； (3)若函数是函数，求实数. 34．(24-25高一上·江苏天一中学·期中)我们知道，函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于坐标原点成中心对称，有同学发现该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数，且，求的值. (2)已知函数. （Ⅰ）求的图象的对称中心； （Ⅱ）若与的图象有四个公共点，，，，求的值. 35．(24-25高一上·江苏徐州·期中)已知二次函数. (1)设，，证明：； (2)已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，使得对任意实数，有恒成立.判断函数是否属于集合，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 36．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)已知二次函数满足，，且在上的最小值为. (1)求的解析式； (2)求在上的最小值； (3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 37．(24-25高一上·江苏南京外国语学校·期中)已知函数. (1)若函数是奇函数. ①用定义证明：函数在上是增函数； ②若函数，求不等式解集. (2)若在上恒成立，求的取值范围. 38．(24-25高一上·江苏无锡第一中学·期中)已知函数是奇函数．（是自然对数的底） (1)求实数的值； (2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，对任意，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 地 城 考点05 指对幂函数压轴题 一、单选题 39．(23-24高一上·江苏泰州中学·期中)已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 40．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 三、解答题 41．(23-24高一上·江苏南通中学·期中)设函数是定义域为的奇函数. (1)求实数值； (2)若，试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围. 42．(23-24高一上·江苏连云港灌云高级中学、灌南惠泽高级中学·期中)已知函数． (1)求方程的解的个数（不要求详细过程，有简要理由即可）； (2)求函数在区间上的最大值； (3)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围． 43．(23-24高一上·江苏南通崇川区·期中)已知函数，，其中． (1)当时，求函数的定义域与值域： (2)设集合，证明：； (3)已知矩形的顶点，在的图象上，顶点，在的图象上轴，若，且该矩形的中心为点，求的值． 44．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若定义在上函数的图象关于点对称，且当时，. (1)求的值； (2)设函数. （ⅰ）函数的图像关于点对称，求m的值. （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 45．(24-25高一上·江苏南京东南实验学校·期中)设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求实数的值. 46．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 47．(24-25高一上·江苏徐州鼓楼区徐州第三中学·期中)我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 地 城 考点06 函数应用压轴题 一、单选题 48．(24-25高一上·江苏南京六校·期中)已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 二、多选题 49．(23-24高一下·江苏句容高级中学·期中)已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 50．(24-25高一上·江苏镇江区·期中)对于函数，如果实数满足，则称为函数的不动点；如果实数满足，则称为函数的稳定点.如果的不动点为，1，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一个稳定点 C． D． 51．(24-25高一上·江苏常州第一中学·期中)某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在上只有一个零点. 52．(24-25高一上·江苏盐城东台·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（    ） A．当时， B． C．不等式的解集为 D．函数的图象与轴有4个不同的交点，则 三、填空题 53．(23-24高一下·江苏扬州江都区·期中)已知函数，且为的一个零点，则 .函数的所有零点之和为 . 四、解答题 54．(24-25高一上·江苏锡山高级中学·期中)已知定义在上的函数在上是增函数.为偶函数，且当时，. (1)当时，求在上的解析式； (2)是否存在实数，使函数与的值域相同，若存在，求出所有实数的值，若不存在，说明理由； (3)令，讨论关于的方程的实数根的个数. 55．(24-25高一上·江苏西交大附中纳米班·期中)已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$