精品解析：2024-2025学年人教版七年级下册数学期末质量检测模拟试题（一）

七年级下期末质量检测题（一） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在试卷的相应位置． 3．考生须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 4．按照题号顺序在相应区域内作答，超出答案区域书写的答案无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 实数中无理数（ ） A. B. 0 C. D. 1.732 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 对某批次手机的防水功能的调查 D. 对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 【答案】D 【解析】 【详解】A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误； B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误； C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误； D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确； 故选D． 3. 若，下列不等式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质分别判断得出答案． 【详解】解：A．， ，故此选项不合题意； B．， ，故此选项不合题意； C．， ，故此选项符合题意； D．， ，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题关键． 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，点射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质，角度的计算方法是解题的关键． 5. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A. 18 B. 9 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】小长方形的高度比等于各组的人数比，即可求得分数在70.5到80.5之间的人数所占的比例，乘以总数48即可得出答案． 【详解】解：分数在70.5到80.5之间的人数是：， 故答案为：A． 【点睛】此题考查了频率分布直方图，了解频数分布直方图中小长方形的高度比与各组人数比的关系是解答问题的关键． 6. 下列说法：①任意一个数都有两个平方根；②是3的平方根；③的立方根是；④是一个分数；⑤负数没有立方根．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根，平方根和分数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①任意一个正数都有两个平方根，原说法错误； ②是3的一个平方根，原说法正确； ③的立方根是，原说法错误； ④不是一个分数，原说法错误； ⑤负数有立方根，原说法错误； ∴正确的只有1个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了立方根，平方根和实数的分类，熟知相关知识是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞2 C. ﹣1＜m＜2 D. m＞﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点P（m-2，m+1）在第二象限， ∴， 解得-1＜m＜2． 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 8. 已知方程组，则的值是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】两式相减，得 ，所以，即 ． 【详解】解：两式相减，得 ， ∴ ， 即， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键 9. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据，即可判断A选项；由，得到即可判断C选项；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平角，即可判断B选项；由即可判断D选项． 【详解】解：， ，故A选项不符合题意； ， ，故C选项符合题意； 过点F作，如图， ， ， ， ， ， ；故B选项不符合题意； ， ， ，故D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 11. 如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】D 【解析】 【分析】先求小正方形的边长，再求出大正方形的边长，估算无理数的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵面积为2的正方形的边长为， ∴向外等距扩0.5后边长为， ∵1<2<2.25， ∴1<<1.5， ∴2<<2.5， ∴落在段④， 故选D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，正确求出大正方形的边长是解题的关键． 12. 如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为(　　) A. (﹣6，4) B. (，) C. (﹣6，5) D. (，4) 【答案】B 【解析】 【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可. 【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴﹣2x=﹣，x+y=， ∴点B的坐标为(﹣，). 故选：B. 【点睛】此题考查几何图形类二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中线段的大小关系列得方程组是解题的关键. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内，则 ， 解得， 整数， 故答案为：． 14. 已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握确定点的坐标的方法是解题关键．先求出在这个平面直角坐标系中，1个单位长度等于50米，再根据方向位置求解即可得． 【详解】解：由题意可知，在这个平面直角坐标系中，1个单位长度等于米， 所以公园的横坐标为，纵坐标为， 所以公园的坐标为， 故答案为：． 15. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点作，可得，即得，，根据求出即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为， 故答案为：． 16. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与大小． 【答案】 【解析】 【分析】根据作差法即可比较大小． 【详解】解：， 因为，所以， 所以，  所以， 所以． 【点睛】考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法． 18. 解二元一次方程组． （1）小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； （2）请你用另一种方法解该二元一次方程组． 【答案】（1）加减，一元一次方程； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）由解方程组的过程即可判断为加减消元法，当消去未知数时，则转化为解一元一次方程； （2）由代入消元法即可求解． 【小问1详解】 解：该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程， 故答案为：加减，一元一次方程； 【小问2详解】 解：由①，得③ 将③代入②，得，即． 解得． 将代入③， 得． 所以方程组的解为 19. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成，请你解不等式组； （2）王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 【答案】（1） （2）“□”的取值范围为大于等于 【解析】 【分析】（1）根据题意求不等式的解集即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集是 【小问2详解】 设常数“□”为a， 解不等式，得 又因为不等式的解集为， 不等式组的解集为， 所以， 解得，． ∴“□”的取值范围为大于等于． 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣3)，C(4，0)，D(0，4)． （1）在图中描出上述各点； （2）有一直线l通过点P(﹣3，4)且与y轴垂直，则l也会通过点 （填“A”“B”“C”或“D”）； （3）连接AB，将线段AB平移得到，若点(﹣1，3)，在图中画出，并写出点的坐标； （4）若Q(﹣5，﹣2)，求三角形ACQ的面积． 【答案】（1）见解析 （2）D （3）见解析，(2，0) （4）7 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系即可描出各点A（﹣3，0），B（0，﹣3），C（4，0），D（0，4）； （2）根据直线l通过点P（﹣3，4）且与y轴垂直，进而可以解决问题； （3）根据平移的性质即可将线段AB平移得到A'B'，进而可以写出点B'的坐标； （4）根据Q（﹣5，﹣2），即可求三角形ACQ的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，点A，B，C，D即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线l即为所求，则l会通过点D； 故答案为：D； 【小问3详解】 解：如图，A'B'即为所求，B'的坐标为（2，0）； 【小问4详解】 解：∵Q（﹣5，﹣2）， ∴三角形ACQ的面积＝． 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 21. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． （1）求证：； （2）若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 22. 新课程改革十分关注学生的社会实践活动，小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区500户居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了40户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（如图）. 分组 频数 占比 3 7.5% 5 12.5% a 30% 8 20% b c 4 10% 合计 40 100% （1）频数分布表中，______，______，______，请根据题中已有信息补全频数分布直方图． （2）观察已绘制的频数分布直方图，可以看出组距是______，这个组距选择得______（填“好”或“不好”），并请说明理由：__________________． （3）如果家庭人均月收入“大于等于3000元不足6000元”的为中等收入家庭，则用样本估计总体中的中等收入家庭大约有______户． 【答案】（1）、，；补全频数分布直方图见解析 （2）1000、好，这个组距选择得比较合理，确保了数据不重不漏且没有数据为空白的组，比较好地展示了数据的分布情况 （3）350 【解析】 【分析】（1）由频数之和等于总数及频率＝频数÷总数求解可得； （2）根据频数分布直方图可得组距，结合数据分布情况解答即可； （3）用总户数乘以大于3000元不足6000元的百分比之和可得． 【小问1详解】 解：（1）a＝40×30%＝12、b＝40﹣（3+5+12+8+4）＝8， 则c＝8÷40＝0.2＝20%， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：观察已绘制的频数分布直方图，可以看出组距是1000，这个组距选择的好， 理由是：这个组距选择得比较合理，确保了数据不重不漏且没有数据为空白的组，比较好地展示了数据的分布情况； 故答案为：1000，好，比较好地展示了数据的分布情况． 【小问3详解】 用样本估计总体中的中等收入家庭大约有500×（30%+20%+20%）＝350（户）， 故答案为：350． 【点睛】此题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 24. 综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； （1）根据同位角相等两直线平行和平行公理证明即可； （2）根据平行公理可证，再根据平行线的性质证明即可； （3）过点O作，则，根据平行线的性质可证，再根据平分线的定义可证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ； （3）解：，理由如下： 过点O作， ， ， ，， ， ， ，分别平分，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下期末质量检测题（一） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在试卷的相应位置． 3．考生须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 4．按照题号顺序在相应区域内作答，超出答案区域书写的答案无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 实数中无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.732 2. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 对某批次手机防水功能的调查 D. 对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 3. 若，下列不等式不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某班有48位同学，在一次数学检测中，分数只取整数，统计其成绩，绘制出频数直方图．如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1∶3∶6∶4∶2，则由图可知，其中分数在70.5～80.5之间的人数是(　　) A. 18 B. 9 C. 6 D. 12 6. 下列说法：①任意一个数都有两个平方根；②是3的平方根；③的立方根是；④是一个分数；⑤负数没有立方根．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m取值范围是（　　） A. m＜﹣1 B. m＞2 C. ﹣1＜m＜2 D. m＞﹣1 8. 已知方程组，则的值是（　　） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 9. 将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对 11. 如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 12. 如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为(　　) A. (﹣6，4) B. (，) C. (﹣6，5) D. (，4) 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 14. 已知嘉淇家的正西方向100米处为车站，家的正北方向200米处为学校，且从学校往正东方向走100米，再往正南方向走400米可到达公园．若嘉淇将家、车站、学校分别标示在如图所示的平面直角坐标系上的，，三点，则公园的坐标为________． 15. 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为________ 16. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 课堂上，老师出了一道题：比较与的大小． 小明的解法如下： 解：． 因为，所以，所以， 所以，所以． 我们把这种比较大小的方法称为作差法． 请利用上述方法比较实数与的大小． 18. 解二元一次方程组． （1）小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； （2）请你用另一种方法解该二元一次方程组． 19. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成，请你解不等式组； （2）王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(﹣3，0)，B(0，﹣3)，C(4，0)，D(0，4)． （1）在图中描出上述各点； （2）有一直线l通过点P(﹣3，4)且与y轴垂直，则l也会通过点 （填“A”“B”“C”或“D”）； （3）连接AB，将线段AB平移得到，若点(﹣1，3)，在图中画出，并写出点的坐标； （4）若Q(﹣5，﹣2)，求三角形ACQ的面积． 21. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． （1）求证：； （2）若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 22. 新课程改革十分关注学生的社会实践活动，小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区500户居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了40户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（如图）. 分组 频数 占比 3 7.5% 5 12.5% a 30% 8 20% b c 4 10% 合计 40 100% （1）频数分布表中，______，______，______，请根据题中已有信息补全频数分布直方图． （2）观察已绘制的频数分布直方图，可以看出组距是______，这个组距选择得______（填“好”或“不好”），并请说明理由：__________________． （3）如果家庭人均月收入“大于等于3000元不足6000元”的为中等收入家庭，则用样本估计总体中的中等收入家庭大约有______户． 23. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递件数最多? 24. 综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与三角板”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点H，边与相交于点D．当时，发现．请说明理由； 【深入探究】 （2）如图所示，将图（1）中三角板的直角顶点B放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点P和Q，得到和，试探究和的数量关系并说明理由．以下是小刚同学的解题思路：过点B作和其中一条直线的平行线，再利用平行线的有关知识就能解决问题． 请你帮助小刚同学书写完整的解题过程，或用其它方法解决； 【拓展运用】 （3）受小刚同学的启发，同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点O，如图所示，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$