精品解析：四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高三上学期第一次月考（8月）数学试题

四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年度第一学期第一次月考 高三年级数学试题 考试时间：120分钟，总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式、一元一次不等式求集合，再由集合的交集运算求集合. 【详解】不等式，所以， 又，所以. 故选：D 2. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知函数，则“为幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得. 【详解】令，得，此时， 所以定点P的坐标为，即，，所以. 故选：C 5. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式可得与互为倒数，则可以换元解一元二次方程得到，再代入第二个方程进一步求解即可. 【详解】设，由换底公式可得， 所以，解得或， 由于题干中a、b地位等价，不妨设 ， 则，代入可得， 由于a在对数的底数上，所以且， 由单调可得，解得， 则. 故选：C. 7. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由是偶函数，得关于点成中心对称.再由函数是偶函数，得是函数的一个周期，进而得所求值. 【详解】由是偶函数，得，再对等式两边求导得. 因，所以，即——①. 故函数关于点成中心对称，且定义域为，所以，. 又函数是偶函数，得，即——②. 故函数关于成轴对称，所以. 再由①②得，所以，故， 所以是函数的一个周期，且. 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 10. 若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ） A. 幸福集合个数为8 B. 含的幸福集合个数为4 C. 不含1的幸福集合个数为4 D. 元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正数、、满足，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】令，可得，，， ，故A正确； ，故B正确； ，，所以，得， 又，所以，得，所以，，故C不正确； ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对数运算性质计算 【详解】， 故答案为： 13. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又， ，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度， 当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【小问1详解】 由是偶函数得， 即，解得． 【小问2详解】 由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【小问1详解】 在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 【答案】（1） 由于平面平面故 因为，所以底面为直角梯形，故， 过，且与相交于， 则， 又， 故,所以, 由于平面，， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，根据三角形的边角关系可得，即可结合线面垂直的判定求解， （2）由二面角的平面角和线面角知识结合锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，过作的垂线，垂足为,连接, 由于平面平面故， 平面， 故平面，平面，故， 故为二面角的平面角， 所以从而. 18. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； 【答案】（1） ，由，，所以在上单调递增，在上单调递减，要使有2个零点， 只需，得证； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得函数的单调性，即可求解最值，根据即可求解， （2）构造和，求导，得函数单调性，求解最值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，， 设，由，则， 将代入，则，结合， 所以， 设，则， 设，则，， 由，则，即在上单调递增，， 所以，则在上单调递增，则，所以的最大值； 19. 已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求的数学期望． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意与全概率公式得到，再结合等比数列的定义求解通项公式即可. （2）结合题意得到，，再利用递推式得到，再求出对应事件的概率，得到分布列，最后求解数学期望即可. 【小问1详解】 当时， 因为， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 得到，即． 【小问2详解】 当时，，① ，② 由①－②得，， 而，可得， 结合题意得到，故， 则，递推可得，则， 而的可能取值为， 则，， 则的分布列为： 0 1 2 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年度第一学期第一次月考 高三年级数学试题 考试时间：120分钟，总分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“为幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数（且）的图象经过定点，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 6. 若，，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 10 7. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（ ） A. 幸福集合个数为8 B. 含的幸福集合个数为4 C. 不含1的幸福集合个数为4 D. 元素个数为3的幸福集合有2个 11. 已知正数、、满足，则下列选项正确的是（     ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为______. 14. 已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 16. 已知中，分别为内角的对边，且， （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 17. 如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上（不含端点），，，，. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值. 18. 已知函数有两个不同的零点. （1）证明：； （2）当时，求的最大值； 19. 已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）求的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $