1．3 集合的基本运算（9大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．3 集合的基本运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：并集的概念与常用的运算性质 2 题型二：交集的概念与常用的运算性质 2 题型三：补集运算 3 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 4 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 5 题型六：容斥原理 6 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 7 题型八：新定义题 8 题型九：图的应用 10 02 重难点拓展 11 题型一：并集的概念与常用的运算性质 1．（2025·高一·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以. 故选：B. 2．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由并集的定义可知集合由集合和集合的所有元素组成. 所以，. 故选：D. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 题型二：交集的概念与常用的运算性质 4．（2025·高一·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 则， 则. 故选：B. 5．已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得到中的元素为2的倍数，中的元素为3的倍数，中的元素为6的倍数， 所以，，， 所以，，所以；，， 故选项A，C，D正确；，例如，但，故选项B错误. 故选：B. 6．（2025·高一·湖北孝感·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，所以， 又，所以， 故选：C. 题型三：补集运算 7．（2025·高一·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，则. 故选：D 8．（2025·高一·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 9．设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有题意可得，则. 故选：C. 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 10．已知：设，求： (1) (2)； (3) 【解析】（1）由集合，，根据集合交集的运算，可得； （2）由集合，，可得； （3）由集合，且，可得， 所以. 11．（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【解析】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， ． 12．已知全集. (1)求； (2)求. 【解析】（1）由于 所以或或. （2）方法一  ，所以或. 方法二  利用德摩根定律结合（1）得或. 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知可求得，集合与集合有公共元素，即可求出实数a的取值范围.由集合，可得， ，可得集合与集合有公共元素，. 故答案为：. 14．若集合，且，则实数a的取值集合是 ． 【答案】{-2} 【解析】集合， 因为， 所以， 解得， 所以实数a的取值集合. 故答案为： 15．设全集U＝R，已知集合，且，则实数a的取值集合为 . 【答案】 【解析】∵ ∴ ∵，且 ∴ ∴实数的取值集合为 故答案为：. 题型六：容斥原理 16．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 17．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的有27名学生， 参加田赛的有14人，参加径赛的有21人， 则田赛和径赛都参加的学生人数为人, 故选：B 18．（2025·高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【解析】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 19．（2025·高一·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 20．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【解析】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 21．（2025·高一·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 题型八：新定义题 22．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【解析】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 23．设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B 24．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 题型九：图的应用 25．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 26．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，阴影部分为， 故选：A 27．（2025·高一·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由图可知，，不是空集， 故选：C 1．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 2．（2025·高二·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 3．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 4．（2025·高一·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 5．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 7．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，当是偶数，令，，此时， 当是奇数，令，，此时， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为集合表示非负偶数的集合，集合表示能被4整除的非负整数， 表示自然数中除去被4整除的数，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为不含偶数，不含被4整除的数，所以不含被4整除的数，故D错误. 故选：C. 9．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 10．（多选题）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 11．（多选题）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 12．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 【答案】 【解析】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 13．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. 14．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 【答案】44 【解析】由条件可知，，， 当，时，不成立； 当，时，则，， 所以，，符合条件的有1对； 当，时，则，， 集合中另一个元素从剩下的6个数中再选1个，所以有6对； 当，时，则5，， 集合中另外的元素从剩下的6个数中再选2个，所以有15对； 当，时，，，矛盾； 剩下几种情况，由对称性和前面类似， 所以共有对， 故答案为：44. 15．（2025·高一·全国·课前预习）设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 【解析】因为全集，集合， 所以，所以有， 因为集合中所有元素之和为10，所以集合中除了1和4以外剩余元素之和为5．所以集合中最多有4个元素. 若中有3个元素，则，集合的真子集为，共7个，符合题意. 若中有4个元素，则, 此时集合的真子集有15个，不符合题意. 故． 16．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 17．（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【解析】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 18．已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 【解析】（1） 由和的定义，得 （2）当时，因为，所以． 所以由题中新定义知，，，这与矛盾； 当时，对任意，此时，所以，． 所以满足． 综上可得，满足题意的n的最小值是． （3）证明：因为 所以，且． 显然中不包含负数，且一定包含0， 因为，所以． 再由知，即． 由，知，即． 由，知，即． 所以， 综上，原命题得证． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．3 集合的基本运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：并集的概念与常用的运算性质 2 题型二：交集的概念与常用的运算性质 2 题型三：补集运算 2 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 3 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 3 题型六：容斥原理 3 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 4 题型八：新定义题 4 题型九：图的应用 4 02 重难点拓展 6 题型一：并集的概念与常用的运算性质 1．（2025·高一·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型二：交集的概念与常用的运算性质 4．（2025·高一·河南南阳·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·湖北孝感·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型三：补集运算 7．（2025·高一·河南驻马店·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高一·江西南昌·期末）已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 9．设全集，则（    ） A． B． C． D． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 10．已知：设，求： (1) (2)； (3) 11．（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 12．已知全集. (1)求； (2)求. 题型五：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ． 14．若集合，且，则实数a的取值集合是 ． 15．设全集U＝R，已知集合，且，则实数a的取值集合为 . 题型六：容斥原理 16．二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 17．高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．12 18．（2025·高一·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 题型七：根据并、交、补集性质求参数（解答题） 19．（2025·高一·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 20．已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 21．（2025·高一·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 题型八：新定义题 22．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 23．设设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 24．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型九：图的应用 25．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 26．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·高一·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·高二·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高一·全国·单元测试）设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选题）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 13．（2025·高一·全国·课前预习）已知集合，若，则 ． 14．设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有 对． 15．（2025·高一·全国·课前预习）设全集，集合，已知集合有7个真子集，且集合中所有元素之和为10，求集合． 16．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 17．（2025·高一·全国·单元测试）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 18．已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$