专题02 有理数的运算5考点（期中真题汇编，吉林专用）七年级数学上学期人教版2024

专题02 有理数的运算 5大高频考点概览 考点01 有理数的混合运算 考点02 科学计数法与近似数 考点03 有理数混合计算的实际应用 考点04 规律探索 考点05 阅读理解与新定义题 地 城 考点01 有理数的混合运算 1．(24-25七上·吉林四平铁西区·期中)不改变原式的值，将中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)下列选项中两数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)若，那么□中填入正确的数是 ． 4．(24-25七上·吉林长春力旺实验初级中学·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4) 5．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．(24-25七上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)计算： (1) (2) 7．(24-25七上·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·期中)计算： (1)； (2)． 地 城 考点02 科学计数法与近似数 1．(24-25七上·吉林长春力旺实验初级中学·期中)2024年11月4日，神十八载人飞船成功着陆，飞行任务取得圆满成功．中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)2023年5月10日“大连1号——连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为17000g．数据17000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)年月日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空成功落月，月球距离地球约千米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七上·吉林吉林松花江中学·期中)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为亿千米，将亿千米用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24七上·安徽阜阳临泉县第五中学·期中)由四舍五入法得到的近似数20.23，是精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．十位 D．百位 6．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)用四舍五入法把43.676精确到十分位得到的近似数是 ． 7．(24-25七上·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·期中)用四舍五入法将精确到百分位： ． 8．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)用四舍五入法将精确到个位，所得的近似数是 ． 9．(24-25七上·吉林长春榆树·期中)根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 解：原式（ ）【①依据：减去一个数，等于_______】 =____________【②将步骤①化为代数和形式填在横线上】 【③此步骤运用了加法______律】 =______． 10．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)计算： (1)． (2) (3)． (4)． 11．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4) (5) (6) 12．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)计算 (1)； (2)． 地 城 考点03 有理数混合计算的实际应用 1．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)袋小麦称后记录(单位：千克)如图所示． (1)任取两袋小麦，质量最多相差 千克； (2)袋小麦一共多少千克？ (3)如果每袋小麦以千克为质量标准，袋小麦总计超过或不足 千克． 2．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)某自行车厂计划一周生产自行车辆，平均每天生产辆．由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．规定当天超过辆的部分记为“”，不足300辆的部分记为“”，下表是这一周的生产情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产____辆； (2)求这一周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元．每天以辆为基准，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成，则每少生产一辆扣元，求这一周工人的工资总额． 3．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为，水速为． (1)船在顺水中的速度为__________；船在逆水中的速度为__________； (2)求A港和B港的距离是多少？ 4．(24-25七上·吉林长春南关区·期中)某出租车驾驶员从人民广场出发，在南北向的人民大街上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：） 上午 下午 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在人民广场的什么方向，距离人民广场多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.08升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米2.2元收费，在下午接送客人的过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 5．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 (1)求此时飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这4个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 地 城 考点04 规律探索 1．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)观察下面三行数： ， ， ， ， ， ， (1)根据你发现的规律，分别写出每行数中的第个数． (2)第②行中的数与第①行中的数有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． (4)取每行中的第个数，则这三个数的和等于 ． 2．(24-25七上·吉林逐梦芳华系列·期中)观察以下一系列等式∶ ①； ②； ③； …… (1)请按照这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式∶ ． (2)若字母 n 代表第 n 个等式，请用字母 n 表示上面所发现的规律∶ ． (3)请利用上述规律计算的值．（ 结果用幂的形式表示） 3．(24-25七上·吉林长春南关区·期中)观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 4．(24-25七上·吉林四平铁西区·期中)阅读并解答后面的问题：，，，． (1)第10个算式是____________； (2)第n个算式为____________； (3)根据以上规律计算：； (4)请直接写出的结果． 地 城 考点05 阅读理解与新定义题 1．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)我们平常用的数是十进制数，如：，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如：二进制数101等于十进制的数，二进制数1011等于十进制的数．那么二进制数10111等于十进制的数为 （直接写出结果即可）． 2．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)用“⊙”定义一种新运算：规定，例如：． (1)求的值； (2)化简：． 3．(24-25七上·吉林长春德惠·期中)阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 4．(24-25七上·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·期中)概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 5．(24-25七上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 6．(24-25七上·吉林逐梦芳华系列·期中)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 7．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 8．(24-25七上·吉林长春朝阳区吉林实验中学·期中)历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把 “某数”时的多项式的值用f（某数）来表示． 例如：当时，多项式的值记为，已知． (1)直接写出的值为______； (2)若，求的值． 9．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)阅读材料，并回答问题． 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，小时以后是几时?虽然，但在表盘上看到的是时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法，则．（注：用时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)____，____； (2)①在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是____，的相反数是____（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立?____（填“是”或“否”）； (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的运算 5大高频考点概览 考点01 有理数的混合运算 考点02 科学计数法与近似数 考点03 有理数混合计算的实际应用 考点04 规律探索 考点05 阅读理解与新定义题 地 城 考点01 有理数的混合运算 1．(24-25七上·吉林四平铁西区·期中)不改变原式的值，将中的减法改成加法，并写成省略加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)下列选项中两数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查乘方，绝对值，相反数，根据乘方，绝对值，相反数对各个选项中的数进行化简，即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，本选项不合题意； B、∵，， ∴，本选项符合题意； C、∵，， ∴，本选项不合题意； D、∵，， ∴，本选项不合题意． 故选：B 3．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)若，那么□中填入正确的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和除法运算，根据乘法是除法的逆运算，列出算式求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴么□中填入正确的数是． 故答案为：． 4．(24-25七上·吉林长春力旺实验初级中学·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)6 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算定律以及运算顺序为解题关键． （1）先去括号再从左往右以此计算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）利用乘方分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．(24-25七上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可； （2）根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 7．(24-25七上·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先变除为乘，然后运用有理数乘法运算律计算即可； （2）先算乘方和绝对值，然后按照有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解∶ ． （2）解： ． 地 城 考点02 科学计数法与近似数 1．(24-25七上·吉林长春力旺实验初级中学·期中)2024年11月4日，神十八载人飞船成功着陆，飞行任务取得圆满成功．中国的太空空间站离地球大约米，则近似数用科学记数法表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数是n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 2．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)2023年5月10日“大连1号——连理卫星”搭乘天舟六号货运飞船飞向太空，它的质量为17000g．数据17000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：B． 3．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)年月日，我国嫦娥六号顺利发射飞向太空成功落月，月球距离地球约千米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4．(24-25七上·吉林吉林松花江中学·期中)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为亿千米，将亿千米用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法表示数的方法进行解答即可． 【详解】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故亿千米用科学记数法表示为， 故选A． 5．(23-24七上·安徽阜阳临泉县第五中学·期中)由四舍五入法得到的近似数20.23，是精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．十位 D．百位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，即可得出答案． 【详解】解：近似数20.23精确到百分位． 故选：B． 6．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)用四舍五入法把43.676精确到十分位得到的近似数是 ． 【答案】43.7 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握求一个数的近似数是解题的关键．看百分位上的数字，根据四舍五入法进行求解近似数即可． 【详解】解：用四舍五入法把43.676精确到十分位得到的近似数是43.7， 故答案为：43.7． 7．(24-25七上·吉林长春东北师范大学附属实验学校经开初中部·期中)用四舍五入法将精确到百分位： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似数，掌握精确到第几位就是对下一位进行四舍五入成为解题的关键． 把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法将精确到百分位：． 故答案为：． 8．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)用四舍五入法将精确到个位，所得的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了按照四舍五入的方法取近似数，根据精确到个位，把十分位上的数按照四舍五入的要求取舍即可，掌握精确度的定义是解题的关键． 【详解】解：用四舍五入法将精确到个位，所得的近似数是， 故答案为：． 9．(24-25七上·吉林长春榆树·期中)根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据． 解：原式（ ）【①依据：减去一个数，等于_______】 =____________【②将步骤①化为代数和形式填在横线上】 【③此步骤运用了加法______律】 =______． 【答案】；加上这个数的相反数：；交换； 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据有理数加减运算的法则计算即可. 【详解】原式【①依据：减去一个数，等于加上这个数的相反数】 【②将步骤①化为代数和形式填在横线上】 【③此步骤运用了加法交换律】 ． 10．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)24 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）省略式子中的“＋”号和括号，运用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）运用分配律进行简便计算； （4）先计算乘方、乘法，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)计算： (1)； (2) (3)； (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3) (4)1 (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则，先算加法，再算减法运算即可； （2）根据有理数的加减法运算法则，先算减法，再算加法运算即可； （3）根据有理数的乘除法运算法则，先算除法，再算乘法运算即可； （4）根据有理数的乘除法运算法则，先算除法，再算乘法运算即可； （5）根据有理数的混合运算，先算乘除，后算加减运算即可； （6）根据有理数的混合运算，先算乘方，再算括号内除法，再算括号内减法，最后算括号外减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． （5） （6） 12．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点03 有理数混合计算的实际应用 1．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)袋小麦称后记录(单位：千克)如图所示． (1)任取两袋小麦，质量最多相差 千克； (2)袋小麦一共多少千克？ (3)如果每袋小麦以千克为质量标准，袋小麦总计超过或不足 千克． 【答案】(1) (2)千克 (3) 【分析】（）用最大的数减去最小的数即可； （）把袋小麦的重量相加即可； （）用袋小麦的重量减去即可求解； 本题考查了有理数加法、减法及混合运算的实际应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：质量最多相差千克， 故答案为：； （2）解：千克， 答：袋小麦一共千克； （3）解：总计超过千克， 故答案为：． 2．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)某自行车厂计划一周生产自行车辆，平均每天生产辆．由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．规定当天超过辆的部分记为“”，不足300辆的部分记为“”，下表是这一周的生产情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 记录 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产____辆； (2)求这一周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行计件工资，每生产一辆车可得元．每天以辆为基准，若当天超额完成，则超过部分每辆奖励元；若当天没有完成，则每少生产一辆扣元，求这一周工人的工资总额． 【答案】(1) (2)辆 (3)元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的运用，理解当天超过辆的部分记为“”，不足300辆的部分记为“”，确定实际每天的生产量，运用正负数，有理数的混合运算即可，解题的关键是理解正负数，相反意义的量的含义，张哦我有理数的混合运算法则求解． （1）根据当天超过辆的部分记为“”，不足300辆的部分记为“”，可得生产最多的一天是星期六，生产最少的一天是星期日，运用有理数减法运算法则计算即可； （2）平均每天生产辆，运用有理数加减运算计算出一周实际生产量即可求解； （3）计划一周生产自行车辆的费用加上超额的费用减去扣除的费用即可． 【详解】（1）解：根据题意，生产最多的一天是星期六，生产最少的一天是星期日， ∴（辆）， 故答案为：； （2）解：（辆）， ∴一周实际生产自行车的数量为辆； （3）解：（元）， ∴这一周工人的工资总额元． 3．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为，水速为． (1)船在顺水中的速度为__________；船在逆水中的速度为__________； (2)求A港和B港的距离是多少？ 【答案】(1)， (2)A港和B港相距． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握船在顺水中的速度为静水速加上水速，船在逆水中的速度为静水速减去水速是解题的关键． （1）根据船在顺水中的速度为静水速加上水速，船在逆水中的速度为为静水速减去水速求解即可． （2）设A港和B港相距，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：船在顺水中的速度为：， 船在逆水中的速度为： （2）解：设A港和B港相距，依据题意得： ， 解得：． 答：A港和B港相距． 4．(24-25七上·吉林长春南关区·期中)某出租车驾驶员从人民广场出发，在南北向的人民大街上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：） 上午 下午 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在人民广场的什么方向，距离人民广场多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.08升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米2.2元收费，在下午接送客人的过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)在人民广场以南距离人民广场8千米 (2)1.6升 (3)25.9元 【分析】本题考查有理数的应用，熟练掌握正负数的意义、绝对值的意义是解题关键． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出接送完第5批客人后，该驾驶员在起始人民广场的什么方向，距离人民广场多少千米； （2）根据题意，将题目中的数据的绝对值相加，然后再乘以0.08即可解答本题； （3）根据题意，可以列出相应的算式，然后计算，即可得到在这过程中该驾驶员共收到车费多少元． 【详解】（1）解：， ∴在人民广场以南距离人民广场8千米． （2）解：， ∴这一过程中共耗油1.6升． （3）解：， ∴该驾驶员共收到车费25.9元． 5．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 (1)求此时飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这4个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)此时飞机比起飞点高了千米 (2)一共消耗升燃油 【分析】本题考查了正数与负数的应用及有理数的混合运算的应用： （1）根据相反意义的量即可求解； （2）利用有理数的混合运算法则即可求解； 掌握相反意义的量及有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：（千米）． 答：此时飞机比起飞点高了千米． （2）解： （升）． 答：一共消耗升燃油． 地 城 考点04 规律探索 1．(24-25七上·吉林吉林第七中学校·期中)观察下面三行数： ， ， ， ， ， ， (1)根据你发现的规律，分别写出每行数中的第个数． (2)第②行中的数与第①行中的数有什么关系？ (3)取每行中的第个数，计算这三个数的和． (4)取每行中的第个数，则这三个数的和等于 ． 【答案】(1) (2)，第②行数等于第①行相应数减去 (3) (4) 【分析】（）根据各数之间的关系找出规律即可； （）找出①②行之间对应数的规律即可； （）根据（）、（）中的规律求出各行的第个数，再求出其和即可； （）根据（）、（）中的规律求出各行的第个数，再求出其和即可； 本题考查了数字规律变化，根据题意找出各行之间数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第个数， 第个数， 第个数， 第个数， 第个数， 第个数， ∴第个数为， 由数列可知，第②行数等于第①行相应数减去， ∴第②行第个数为， 由数列可知，第③行数等于第①行相应数乘以， ∴第③行第个数为， 故答案为：，，； （2）解：由数列可知，第②行数等于第①行相应数减去， 故答案为：第②行数等于第①行相应数减去； （3）解：由数列可知，第③行数等于第①行相应数乘以， 由（）可知，第①行的第个数为， ∴第②行第个数为，第③行数的第个数为， ∴取每行中的第个数，这三个数的和为 （4）解：由（）可知，第①行的第个数为，第②行的第个数为，第③行数的第个数为， ∴取每行中的第个数，这三个数的和为 ， 故答案为：． 2．(24-25七上·吉林逐梦芳华系列·期中)观察以下一系列等式∶ ①； ②； ③； …… (1)请按照这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式∶ ． (2)若字母 n 代表第 n 个等式，请用字母 n 表示上面所发现的规律∶ ． (3)请利用上述规律计算的值．（ 结果用幂的形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是理解题意，得出一般规律． （1）根据已知等式的指数与序数的关系即可得； （2）观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即（n为正整数）； （3）将原式变形为，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ∴第④个等式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式为：； （3）解：                                                             ． 3．(24-25七上·吉林长春南关区·期中)观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 4．(24-25七上·吉林四平铁西区·期中)阅读并解答后面的问题：，，，． (1)第10个算式是____________； (2)第n个算式为____________； (3)根据以上规律计算：； (4)请直接写出的结果． 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的算式总结出规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）观察所给等式分子分母的规律，即可得出答案； （3）根据（2）中的规律进行求解即可； （4）结合前面的规律易得，，，根据此规律对原式进行变形，再提取，对括号内的式子加减相消，再计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个算式为：， 第2个算式为：， 第3个算式为：， 第4个算式为：， ∴第10个算式为：， 故答案为：；； （2）解：由（1）得， 第n个算式为：； 故答案为：；； （3）解： ； （4）解： ． 地 城 考点05 阅读理解与新定义题 1．(24-25七上·吉林松原宁江区吉林油田第十二中学·期中)我们平常用的数是十进制数，如：，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如：二进制数101等于十进制的数，二进制数1011等于十进制的数．那么二进制数10111等于十进制的数为 （直接写出结果即可）． 【答案】23 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数10111等于十进制的数为， 故答案为：23． 2．(24-25七上·吉林名校调研系列试卷·调研)用“⊙”定义一种新运算：规定，例如：． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则列出算式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．(24-25七上·吉林长春德惠·期中)阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？ 请分别给出你的判断，并举例验证．（每个运算律举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值 (2) (3)交换律仍然适用，结合律不适用，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，加法运算法，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】（1）解：同号得正、异号得负，并把绝对值相加； 都得这个数的绝对值． （2）解；原式； （3）解：交换律仍然适用， 例如：， 所以， 故交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：， ， 所以结合律不适用． 4．(24-25七上·吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校·期中)概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 【答案】（1）（2）；；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用引例即可求解； （3）利用（2）中给定的解法解答即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； ， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ． 5．(24-25七上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)阅读下列材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，请仿照这种方法计算： (1)﹔ (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握拆项法是解题的关键： （1）利用拆项法进行计算即可； （2）利用拆项法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 6．(24-25七上·吉林逐梦芳华系列·期中)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【分析】本题考查新运算及有理数的混合运算， （1）根据二进制新定义直接列式计算即可得到答案； （2）根据八进制新定义直接列式计算即可得到答案； （3）根据二进制新定义满2进1计算即可得到答案； （4）根据新定义直接列式计算即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：由题意可得， ． 7．(24-25七上·吉林第二实验（高新、远洋）学校·期中)概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：______，______； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，理解新定义中“的圈次方”的定义，是解题的关键． （1）根据“的圈次方”的定义进行计算即可得出答案； （2）根据“的圈次方”的定义得出结论，根据结论即可得出答案； （3）根据（2）中的结论代入计算即可得出答案． 【详解】（1）， ； 故答案为：，； （2）， ；； （3） ． 8．(24-25七上·吉林长春朝阳区吉林实验中学·期中)历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把 “某数”时的多项式的值用f（某数）来表示． 例如：当时，多项式的值记为，已知． (1)直接写出的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据举例过程，把代入，进行计算即可； （2）把代入得出一个关于的方程，求出的值，把的值代入即可． 本题考查了有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． 【详解】（1） 解： ； 故答案为：； （2） 解：， ， 解得：， 即 ∴． 9．(24-25七上·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)阅读材料，并回答问题． 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法．例如现在是时，小时以后是几时?虽然，但在表盘上看到的是时．如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法，则．（注：用时代替时） 根据上述材料解决下列问题： (1)____，____； (2)①在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是____，的相反数是____（用含的代数式表达）； ②判断有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立?____（填“是”或“否”）； (3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，请举出一个反例加以说明． 【答案】(1)， (2)①，；②是 (3)不一定成立，理由见详解 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题目中钟表计算方法，注意用时代替时的含义，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法运算的方法进行计算即可； （2）①根据钟表运算中相反数的定义进行计算即可；②运用钟表中加减运算方法进行验证即可； （3）根据钟表运算的定义，举出反例即可验证． 【详解】（1）解：用时代替时， ∴，即为， ，即为， 故答案为：，； （2）解：①在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用时代替时， ∴在钟表中，相加得的两个数互为相反数， ∴，则的相反数是， 故答案为：，； ②有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”在钟表运算中仍然成立， 举例：设分别表示钟表中的数字， ∵的相反数为， ∴， 如的相反数为，， ∴； 故答案为：是； （3）解：不一定成立，理由如下， 当时，，则， ∴当时，不一定成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$