等式与不等式的性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第九讲：等式与不等式的性质 知识储备 1．两个实数大小的比较 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么.反过来也对．这个基本事实可以表示为：⇔，⇔，⇔. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么； 性质5　如果，，那么. 3．不等式的性质 (1)如果，那么；如果，那么.即⇔. (2)如果，，那么.即，⇒ (3)如果，那么. (4)如果，，那么；如果，，那么. (5)如果，，那么. 不等式的同向可加性 (6)如果，，那么. 不等式的同向可乘性 (7)如果，那么． 题型一：不等式性质的辨析 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)是成立的充要条件．(　　) (2)若，则一定成立．(　　) (3)若，则，.(　　) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 例2.如果，那么（ ） A． B． C． D． 解析：由已知可取，则，A错， ，B错，，，D错， 因为，所以，所以，故，C对，故选：C. 例3.下列命题中，正确的是（ ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 解析：对于A：当，，，，满足，， 但是，故A错误；对于B：当时，故B错误； 对于C：由，所以，因为，所以，故C正确； 对于D：当，满足，但是，故D错误；故选：C 例4.（多选）若，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 解析：对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误. 题型二 作差（商）法大小比较 例5.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)已知均为正数，且a≠b，比较与的大小． 解析：　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0，∴x2＋3>3x. (2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2. 例6．已知x，y均为正数，设，，比较和的大小． 　解析：∵m－n＝＋－＝－＝＝. 又x，y均为正数，∴x>0，y>0，，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)． 例7．设，比较与的大小． 解析：∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1 ＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号. 题型三 ：证明不等式 例8.（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 解析：证明：（1）因为，，所以，。 所以，故得证； （2）由不等式的性质知，， 所以， 又因为根据（1）的结论可知，， 所以. 所以. 例9.证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 解析：（1）因为 ， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为 ，所以. 题型四 利用不等式的性质求取值范围 例10.（1）已知，.试求与，的取值范围． (2)已知，，求的范围． 解析：(1)∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a＋3b<32. ∵2<b<8，∴－8<－b<－2.又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)， 即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2. ∵2<b<8，∴<<，又1<a<4，∴<<2. (2)设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝，b＝， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.又≤x≤，－≤y≤， ∴－2≤x＋y≤10.即－2≤≤10. 例11．已知，求，的取值范围． 解析：∵，∴－≤<，－<≤. 两式相加得－<<. ∵－≤<， －≤－<， 两式相加得－≤<. 又∵α<β，∴<0，∴－≤<0. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲：等式与不等式的性质 知识储备 1．两个实数大小的比较 如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么.反过来也对．这个基本事实可以表示为：⇔，⇔，⇔. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质 性质1　如果，那么； 性质2　如果，，那么； 性质3　如果，那么； 性质4　如果，那么； 性质5　如果，，那么. 3．不等式的性质 (1)如果，那么；如果，那么.即⇔. (2)如果，，那么.即，⇒ (3)如果，那么. (4)如果，，那么；如果，，那么. (5)如果，，那么. 不等式的同向可加性 (6)如果，，那么. 不等式的同向可乘性 (7)如果，那么． 题型一：不等式性质的辨析 例1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)是成立的充要条件．(　　) (2)若，则一定成立．(　　) (3)若，则，.(　　) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) 例2.如果，那么（ ） A． B． C． D． 例3.下列命题中，正确的是（ ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 例4.（多选）若，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 题型二 作差（商）法大小比较 例5.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)已知均为正数，且a≠b，比较与的大小． 例6．已知x，y均为正数，设，，比较和的大小． 　 例7．设，比较与的大小． 题型三 ：证明不等式 例8.（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 例9.证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 题型四 利用不等式的性质求取值范围 例10.（1）已知，.试求与，的取值范围． (2)已知，，求的范围． 例11．已知，求，的取值范围． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$