第一次月考试卷（上海专用，沪教版五四制相似三角形、 锐角的三角比）-2025-2026学年九年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制）

2025-2026学年度沪教数学九年级上册第一次月考试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （相似三角形、 锐角的三角比） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 2．（本题4分）如图，已知，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 3．（本题4分）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 4．（本题4分）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【知识点】重心的有关性质 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 5．（本题4分）在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】解：过点作的垂线，作的垂线，作的垂线共三条直线， 故选：C． 6．（本题4分）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（本题4分）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比的性质，代换思想是解答此题的关键；将代入所求式子中，整理后通过约分即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（本题4分）计算： ． 【答案】 【知识点】实数与向量相乘 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9．（本题4分）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 10．（本题4分）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 11．（本题4分）已知，在中，，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了黄金三角形，等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，能够作出合适的辅助线是解题的关键． 作于，在上截取一点，使得．利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作于，在上截取一点，使得． ，， ， ， ， 设， 又， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 12．（本题4分）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 13．（本题4分）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、正切的概念辨析 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 14．（本题4分）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查向量的计算，熟练掌握三角形法则，是解题的关键，根据向量的三角形法则可知，根据平行线的性质和相似三角形的性质可知，．根据向量的三角形法则可知，代入即可求解． 【详解】解：∵，． ，， ∴， ∴， ∴． ． 故答案为：． 15．（本题4分）如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题关键是作辅助线，连接并延长，交于点，由三角形的重心的性质可知，由 ，根据相似三角形的判定可知，得出，最后由，得出，从而求出． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 为的重心， ， ， 过点且， 在和中， ， ， ． 又， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】求解本题要掌握相似三角形的判定，两个三角形，有两个内角对应相等则两个三角形相似；重心的性质，三角形重心在中线远离顶点的三等分点处． 16．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先求出，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（本题4分）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】11 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据平面内点使得与相似，即可得到不与点重合的点的个数． 【详解】解：如图所示，当时，（当点在另一侧时，也符合题意，下同）； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，（点与点重合时不合题意）． 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 综上所述，符合题意的点的位置有11个． 故答案为：11． 18．（本题4分）如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，点B、C、D的对应点分别是点．如果点恰好在边的延长线上，那么线段的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，过点作于点，由等腰三角形三线合一得到，证明，则，再由矩形的性质证明，设，则，在中，由勾股定理得：，求出，由，求出，，再对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点 ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∵旋转， ∴，，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于正确添加辅助线． 三.解答题（本大题共7题，满分78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算，即可得到答案． 【详解】解： ． 20．（本题10分）已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则可根据已知条件式列出方程求出k，进而求出与k的关系，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（本题10分）已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 22．（本题10分）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 23．（本题12分）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． （1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 24．（本题12分）某个小组在探究等分线段的方法的过程中发现：可以用折纸的方法将一条线段三等分． 具体方法如下：如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点分别是边的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于．那么就是线段的一个三等分点． (1)试求的正弦值； (2)求证：点线段的一个三等分点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、求角的正弦值、已知正弦值求边长 【分析】（）设相交于点，正方形的边长为，由折叠可得，，，，，进而可得四边形是矩形，即得，，可得到，即得到，设，则，在中，由勾股定理可得，即得，最后根据正弦的定义解答即可； （）由平行线的性质可得，即得，得到，进而可得，得到，即得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图，设相交于点，正方形的边长为， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点线段的一个三等分点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角形函数等，掌握折叠的性质是解题的关键． 25．（本题14分）如图，正方形的边长为8厘米，动点P从点A出发沿边由A向B以1厘米秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线以2厘米秒的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接，交于点E．设点P运动时间为秒． (1)当点Q在线段上运动时，点P出发多少时间后，和相等； (2)当点Q在线段上运动时，求证：的面积是的面积的2倍； (3)设的面积为，试求出关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)秒； (2)见解析； (3)；；． 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）当和相等时，三角形和全等，那么，可以根据P，Q的速度，用时间表示出，的长，进而求出x的值； （2）因为Q的速度是P的2倍，因此．过点E作，垂足为M，交于点N，作，垂足为H．由于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出，因此根据三角形的面积公式即可得出三角形的面积是三角形面积的2倍； （3）要分三种情况进行讨论 当Q在上时，求三角形的面积关键是求边上的高，也就是的长，由于，可通过求得出的值，根据相似三角形和可得出关于，，，的比例关系，可用表示出，进而根据比例关系式得出即的长，也就能得出关于，的函数关系式了； 当Q与C重合时，可直接求出三角形的面积，根据（2）的结果求出三角形的面积； 当Q在上时，关键还是求边上的高，过点E作，垂足为H，可知，设垂足为M，那么可参照求的方法求出，然后根据三角形的面积公式即可得出，的函数关系式． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，又， ∴当时，， ， 则， 解得， 即点出发秒后，； （2）当点在线段上运动时，如图1，过点作，垂足为，交于点，作，垂足为， ，，， ， ，， ， ， ∴， 即． （3）当时，点Q在边上运动， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 解得， 即， ， 即； 当时，点与点重合．此时； 当时，点在边上运动．如图2，过点作，垂足为，可知．设垂足为， ， ，， ， ， ， 解得， ， 即， 综上所述，关于的函数解析式为；；． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的性质，函数解析式和定义域等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年度沪教数学九年级上册第一次月考试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （相似三角形、 锐角的三角比） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 2．（本题4分）如图，已知，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 5．（本题4分）在中，，是边上一点（不与点，重合），过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．（本题4分）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（本题4分）已知，那么 ． 8．（本题4分）计算： ． 9．（本题4分）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 10．（本题4分）已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 11．（本题4分）已知，在中，，，则的面积是 ． 12．（本题4分）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 13．（本题4分）如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 14．（本题4分）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 15．（本题4分）如图，为的重心，若过点且，交、于、，则的值为 ． 16．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，已知，，，，那么 ． 17．（本题4分）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 18．（本题4分）如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，点B、C、D的对应点分别是点．如果点恰好在边的延长线上，那么线段的长为 ． 三.解答题（本大题共7题，满分78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）已知，且，求的值． 21．（本题10分）已知：在和中， ．求证：． 22．（本题10分）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 23．（本题12分）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 24．（本题12分）某个小组在探究等分线段的方法的过程中发现：可以用折纸的方法将一条线段三等分． 具体方法如下：如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点分别是边的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于．那么就是线段的一个三等分点． (1)试求的正弦值； (2)求证：点线段的一个三等分点． 25．（本题14分）如图，正方形的边长为8厘米，动点P从点A出发沿边由A向B以1厘米秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线以2厘米秒的速度匀速移动，点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止．连接，交于点E．设点P运动时间为秒． (1)当点Q在线段上运动时，点P出发多少时间后，和相等； (2)当点Q在线段上运动时，求证：的面积是的面积的2倍； (3)设的面积为，试求出关于的函数解析式，并写出函数的定义域. 学科网（北京）股份有限公司 $$