第三讲高中必会的各类方程的解法讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三讲 高中必会的各类方程的解法 题型一、一元二次方程的根与系数的关系=韦达定理 知识储备：一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 例1：若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，由根与系数的关系得：. (1) . (2) . (3) . (4) . 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ， ，， ，等等．韦达定理体现了整体代换思想． 例2.若满足，且，则的值为（ ） A.-11 B.-9 C.9 D.11 解：. 例3.已知，则的值为 . 解：由得 例4.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，当时，方程两实根的积为5． (2) 由得知： ①当时，，所以方程有两相等实数根，故； ②当时，，由于 ，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足． 例5.已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 解：(1) 假设存在实数，使成立． ∵ 一元二次方程的两个实数根 ∴ ， 又是一元二次方程的两个实数根∴ ∴ ，但 ∴不存在实数，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值为整数的实数的整数值为． 题型二、简单的二元一次(or二次)方程组 1.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 2．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． 例6：（1）解方程组（2）解方程组 (3）解方程组（4）解方程组 （5）解方程组 （6）解方程组 解：（1）由(1)得： (3) 将(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程组的解是：． （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：． ∴ 原方程组的解是：． 说明：(1) 对于这种对称性的方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解． （3）分析：注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程． 解：由(1)得： ∴ 或 ∴ 原方程组可化为两个方程组： 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： （4）分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型． 解：(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：． （5）分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组． 解：(1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四个方程组，得原方程组的解是： ． 说明：对称型方程组，如、都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解． （6）分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组． 解：(1) 得： 代入(1)得：． 分别代入(3)得：． ∴ 原方程组的解是：． 题型三：分式方程的解法 例7：解下列分式方程 （1） ． （2） （3） ． 解析：（1）原方程可化为： 方程两边各项都乘以： 即， 整理得：解得：或． 检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是． （2）设，则原方程可化为： 解得或． (1)当时，，去分母，得； (2)当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，，都是原方程的解． （3）设，则 原方程可化为：． (1)当时，； (2)当时，． 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0． 所以，原方程的解是，，． 题型四：无理方程的解法 例8：解下列方程 （1） （2） （3） 解析：（1）移项得：两边平方得： 移项，合并同类项得：解得：或 检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根． 把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． （2）原方程可化为： 两边平方得： 整理得： 两边平方得： 整理得：，解得：或． 检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根． 把代入原方程，左边右边，所以是增根． 所以，原方程的解是． （3）设，则 原方程可化为：， 即，解得：或． (1)当时，； (2)当时，因为，所以方程无解． 检验：把分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是． 课后基础练习 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定 5．若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D． 6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ． 9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ． 10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ． 11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由． 12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为，且满足，求的值． 14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是时，求的值． 课后提升练习 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1) 求的取值范围； (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由． 2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根． 3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1) 求实数的取值范围； (2) 若，求的值． 4．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 5．解下列方程组： (1) (2) 6．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 7．解下列方程： (1) (2) (3) 第三讲： 一元二次方程根与系数的关系习题答案 课后基础练习 1． B 2． A 3．A 4．A 5．A 6． 7． 3 8． 9或 9． 10． 11．正确 12．4 13． 14． 课后提升练习 1． (2) 不存在 2． (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根． 3．(1) ； (2) ． 4. ． 5． 6．(1)．(2) ． 7． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 高中必会的各类方程的解法 题型一、一元二次方程的根与系数的关系=韦达定理 知识储备：一元二次方程的两个根为： 所以：， 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 例1：若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 例2.若满足，且，则的值为（ ） A.-11 B.-9 C.9 D.11 例3.已知，则的值为 . 例4.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 例5.已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 题型二、简单的二元一次(or二次)方程组 1.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 2．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． 例6：（1）解方程组（2）解方程组 (3）解方程组（4）解方程组 （5）解方程组 （6）解方程组 题型三：分式方程的解法 例7：解下列分式方程 （1） ． （2） （3） ． 题型四：无理方程的解法 例8：解下列方程 （1） （2） （3） 课后基础练习 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定 5．若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D． 6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ． 9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ． 10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ． 11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由． 12．若，关于的方程有两个相等的正实数根，求的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为，且满足，求的值． 14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是时，求的值． 课后提升练习 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1) 求的取值范围； (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由． 2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根． 3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1) 求实数的取值范围； (2) 若，求的值． 4．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 5．解下列方程组： (1) (2) 6．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 7．解下列方程： (1) (2) (3) 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$