专题06 反比例函数章末49道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题06 反比例函数章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性 题型二 已知点求K，或已知K求点的坐标 题型三 反比例函数系数k的几何意义 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 结合图像解决实际问题 题型六 反比例函数规律问题 题型七 反比例函数与一次函数的综合 【经典例题一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性】 1．（24-25九年级上·湖南怀化期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）． （1）求k的值； （2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ 【答案】（1）k＝9；（2）图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 【分析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得k值； （2）根据确定的k的值，判断其所在的象限和增减性． 【详解】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）， ∴1﹣k=2×（﹣4）=﹣8； 解得：k＝9； （2）∵1﹣k=﹣8＜0， ∴图象位于二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，确定反比例函数的解析式并理解反比例函数解析式中k的意义是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知反比例函数，且当时，随的增大而减小． (1)若该函数图像经过点，求实数的值； (2)求实数的取值范围及该函数图像经过的象限． 【答案】(1) (2)，该函数图像经过第一、三象限 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的增减性得出，进而得出经过的象限，即可求解． 【详解】（1）解：∵该函数图像经过点， ∴， 解得：． （2）解：∵当时，随的增大而减小， ∴． ∴的取值范围是． ∴该函数图像经过第一、三象限． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 【答案】(1)k=6； (2)一、三；减小 (3)点B（﹣1，6）不在这个函数的图象上，理由见解析 (4)﹣6＜y＜﹣2 【分析】（1）利用待定系数法求出k的值即可； （2）利用反比例函数的性质进而得出答案； （3）利用函数图象上点的坐标特点得出即可； （4）利用x的取值范围，得出y得取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点A（2，3）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×3=6； （2）解：∵k=6＞0， ∴此函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 故答案为：一、三；减小； （3）解：∵k=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵当x=-1时，y==-6， ∴点B（-1，6）不在这个函数的图象上； （4）解：当-3＜x＜-1时，x=-3时，y=-2；x=-1时，y=-6， 则y的取值范围为：-6＜y＜-2． 故答案为：-6＜y＜-2． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的性质等知识，熟练应用相关性质是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.5 2 3 6 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)则k的值是 　； (2)函数y＝的图象在第 象限，当x 时，y随x的增大而增大． 【答案】(1)6 (2)一、二；＜0 【分析】（1）把x＝1，y＝6代入函数y＝中，即可求解； （2）根据题意可得当时，，图象位于第一象限，此时y随x的增大而减小；当时，，图象位于第二象限，此时y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：把x＝1，y＝6代入函数y＝中得：， 解得：k＝6； （2）解：根据题意得：当时，，图象位于第一象限，此时y随x的增大而减小； 当时，，图象位于第二象限，此时y随x的增大而增大； ∴函数y＝的图象在第一、二象限，当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可； （2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案． 【详解】（1）解法一： ∵点在双曲线上，轴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 解法二： 设点的坐标为 ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）∵． ∴双曲线的表达式为． 当时，． 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． x … 2 3 4 5 6 7 8 … y … 9 a 3 2 b … (1)①列表，表中________，________； ②描点：根据表中数值，描出①中的点； ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象； (2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ； (3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到． 【答案】(1)①5；；②见解析；③见解析 (2)见解析 (3)函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数值，反比例函数图象的性质等等： （1）①先把，代入解析式求出函数解析式，再分别求出当时，当时y的值即可得到答案；②在坐标系中描点即可；③根据所描的点连线即可； （2）根据所画函数图象进行求解即可； （3）观察函数图象可得函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴， ∴对应的函数解析式为， ∴当时，，当时，， 故答案为：①5；； ②如图所示，即为所求； ③如图所示，即为所求； （2）解：由函数图象可知，当时，y随x增大而减小；当，函数有最小值； （3）解：观察函数图象，可知函数的图象可由函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）初中阶段关于函数性质的研究都是建立在图象基础之上的．学习了反比例函数的图象与性质后，小强带领数学兴趣小组进步研究形如y＝（k是常数，k≠0）的函数图象与性质． (1)k取某一个有理数时，如表列举出满足函数y＝的多组x，y的对应值： x …… ﹣2 ﹣1 ﹣ 0 2 3 4 …… y＝ …… ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …… ①有理数k＝　 　； ②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象（如图所示）．请你把没画完的图象补充完整； (2)在（1）的条件下，请结合图象，总结函数y＝的相关性质； ①该函数图象的对称中心是点 　 　（填点的坐标）； ②具体描述y的值随x值的变化情况：　 　； ③该函数的图象可以看作反比例函数的图象向 　 　平移 　 　个单位长度得到的． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)①（1，0）；②当，y值随x值的增大而减小；当，y值随x值的增大而减小；③右，1 【分析】（1）①把代入再解方程即可；②先描点，再利用平滑的曲线连接即可； （2）①由图象上两个分支无限靠近直线 结合图象上对应点的连线的交点可得对称中心的坐标；②结合函数图象直接得到函数的增减性；③由函数图象在坐标系内的位置可得平移的答案. 【详解】（1）解：①把代入 解得： 故答案为： ②如图所示：描点并连线： （2）解：①由图象可得：该函数图象的对称中心是点（1，0）； ②由图象可得：当，y值随x值的增大而减小；当，y值随x值的增大而减小； ③该函数的图象可以看作反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到的， 故答案为： 当，y值随x值的增大而减小；当，y值随x值的增大而减小；右，1 【点睛】本题考查的是画反比例函数的图象，利用待定系数法求解函数解析式，反比例函数的性质，掌握“数形结合解决问题”是解本题的关键. 【经典例题二 已知点求K，或已知K求点的坐标】 8．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点， 由可得，， 解得，（舍去）， ． 9．（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 【答案】(1)直线的解析式为：；反比例函数的解析式为 (2) (3)当时， 【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可得； （2）联立，进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ， ∴直线的解析式为：， ∵点在反比例函数上， ∴， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， 解得， ∴； （3）解：根据函数图象得，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，正切的定义． （1）先根据正切的定义求得，则，进而得，即可求出k的值； （2）根据反比例函数解析式求出，进而得，，设，分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴， 把代入得； （2） 解：把代入得， ∴， ∴，， 设， 当在右侧时，， 解得； 当在左侧时， ， 解得． ∴点的坐标为或． 11．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标； (2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，解题的关键是求出反比例函数和一次函数解析式． （1）将，代入表示出，，然后代入求出，得到直线，反比例函数，，，设，然后根据勾股定理求解即可； （2）如图所示，设与交于点M，设所占直线表达式为，两种直线联立求出，设，然后根据中点坐标公式得到，然后代入和求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，将，代入得 ∴， 将，代入得 解得 ∴直线，反比例函数 ∴， ∴， ∵点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，如图所示， ∴设 ∴，， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； （2）解：如图所示，设与交于点M ∵四边形是垂美四边形且被平分时 ∴ ∵直线 ∴设所占直线表达式为 联立得， 解得 ∴ ∵M是中点，设 ∴ ∴将代入和得， 解得 ∴，． 12．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)填空：_______，_______； (2)求点B的坐标； (3)连接并延长，交双曲线的另一支于点D，点E在x轴的负半轴上．若以O，E，D为顶点的三角形与相似，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，得，，解答即可． （2）解方程组，解答即可． （3）分和两种情况解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，三角形相似的判定和性质，交点坐标的求解，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，得，， 解得，， 故答案为：． （2）解：根据题意，一次函数的解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 而， 故． （3）解：一次函数的解析式为， 故， 故， 由， 故， 连接并延长，交双曲线的另一支于点D， 故， 故， 故， 当时， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故； 当时， ∴， ∵，， ∴， 故； 综上所述，点E的坐标为或． 13．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求A、B两点坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，经过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为m，连接．当的面积与的面积相等，_____．    (3)点在反比例函数的图象上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)A、B两点坐标为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）将，代入一次函数解析式，求出值，再求出反比例函数的解析式，代入，求出点坐标； （2）由的面积与的面积相等得到两点到的距离相等，列方程求解即可． （3）由可知点M在左侧，用解直角三角形的方法求出T点坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点， 将，代入， 得：， ∴， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴； ∴A、B两点坐标为，反比例函数的表达式为； （2）解：由题意可知 ∵的面积与的面积相等，且有公共边， ∴与的高相等， 即两点到的距离相等． ∴ ； （3）解：如图：由得M点在y轴左侧， 设直线交y轴于点R，直线交y轴于点T，过T点作于点N． ∴R点坐标为， ∴， ， ， 设， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得直线的表达式为 （舍去）或 当M点在上方时，同理可得， 综上所述，点的坐标为或    14．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【经典例题三 反比例函数系数k的几何意义】 15．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积相等．作轴，垂足为点，连接，利用相似得到三角形面积，根据线段之比得到三角形的面积，两个面积之和为绝对值的一半即可求出值． 【详解】解：作轴，垂足为点，连接， ，轴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， 反比例函数图象在第一象限， ． 16．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，已知一次函数的图象分别于x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点P和点，连接OP、OQ． 求m和b的值；求的面积． 【答案】（1）m的值为4，b的值为，（2）的面积为． 【分析】把点分别代入反比例函数和一次函数的解析式中，分别得到关于m和b的一元一次方程，解之即可， 结合，得到反比例函数和一次函数的解析式，二者联立，即可得到点P的坐标，根据一次函数的解析式，可以得到点A的坐标，即线段OA的长，根据，结合点P和点Q的坐标，计算求值即可． 【详解】解：点Q在反比例函数和一次函数的图象上， ，， ，， 即m的值为4，b的值为， 由得，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：， 解方程组得：，， 点P的坐标为， 点A的坐标为， ，， 即的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：正确掌握代入法，正确掌握解二元一次方程组和三角形的面积公式． 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，点B的坐标为(-4，-2)，C为第一象限内双曲线上一点，且点C在直线的上方． (1)求双曲线的函数解析式；(2)若△AOC的面积为6，求点C的坐标． 【答案】（1）（2）（2，4） 【详解】试题分析：（1）把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值， （2）再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），然后根据列出方程求解即可得到a的值，从而得解． 试题解析：(1)∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线上， ∴，∴k=8， ∴双曲线的函数解析式为 （2）过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F， ∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称， ∴A（4，2），∴OE＝4，AE＝2， 设点C的坐标为（，），则OF＝，CF＝， 则 ∵△AOC的面积为6，∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为（2，4）． 考点：反比例函数的图像与性质2 18．（2025·湖南岳阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）分别交x，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于第三象限的C点，已知，的面积为．    (1)求k的值； (2)若，根据函数图象，写出在y轴左侧一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过C作轴于点D，连接，则，证明，则，由的面积等于得到，即可得到答案； （2）由，的面积等于得到，则，，得到点C的坐标为，根据图象即可得到答案． 【详解】（1）过C作轴于点D，连接，则，    在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴； （2）∵，的面积等于， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为， 由图象得：一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合题，数形结合和准确计算是解题的关键． 19．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义； （1）根据题意得出，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）先求得，根据，即可求解； （3）根据题意设，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，则，，同（3）的方法，即可求解． 【详解】解：（1）∵的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵在上， ∴， ∴； （2）∵的坐标是，，在上， ∴的纵坐标为， ∵在上， ∴的横坐标， ∴， ∴， ∵的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 20．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ． (3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值． 【答案】(1) (2)；或 (3)； 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形，的几何意义； （1）根据的几何意义，即可求解； （2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围； （3）设，则，过点作交于点，设交轴于点，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，平行于轴， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：． （2）∵ ∴ 解得：或 ∴，； 根据函数图象，可得当 时，的取值范围为或 故答案为：；或． （3）解：设，则， 如图所示，过点作交于点，设交轴于点， 又， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】(1)见解析 (2)对角线所在直线经过原点，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3）解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 22．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在直角坐标系中，函数和函数（，k，b为常数）的图象交于点和点B． (1)求函数，的表达式． (2)求点B的坐标，并直接写出当时，自变量x的取值范围． (3)设坐标原点为O，求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)，或 (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由图象得到当反比例函数图象在直线下方时x的范围即可； （3）设直线与y轴的交点为点C，首先求出，然后根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）∵函数和函数（，k，b为常数）的图象交于点和点B， ∴将代入得， 解得 ∴反比例函数解析式为， 将代入得， 解得 ∴一次函数解析式为； （2）联立方程组得， 解得或， ∴； 如图所示， ∵ ∵当或时，函数在函数下面 ∴当时，自变量x的取值范围为或； （3）设直线与y轴的交点为点C， ∴当时， ∴ ∴ ∴． 23．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，面积为4的正方形的顶点C、A分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过点B．把正方形沿翻折得到正方形交反比例函数的图象于点E．    (1)求k的值； (2)求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，k的几何意义求解； （2）由折叠的性质，知，得，把代入得，，于是． 【详解】（1）解：根据反比例函数系数k的几何意义可知，， 又∵， ∴． （2）∵， ∴， 由翻折变换可知，， ∴， 把代入得，， ∴点． 【点睛】本题考查反比例函数解析式；理解反比例函数解析式k的几何意义是解题的关键． 24．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，与反比例函数交于点D，点D为的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，若． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，再利用待定系数法求出反比例函数解析式为，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， ∵直线分别与轴、轴交于，两点， ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：点为的中点，，， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数解析式为， 过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点， 点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ， ， ． 25．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； （2）先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ， ， ， ∴双曲线对应的函数表达式为； （2）解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交于点， 在直线中，当时，， ∴， ∴ ∴． 26．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线过点且与反比例函数在第二象限交于点，已知点横坐标为 (1)求和的值； (2)过点作//轴交于点，求出的面积 【答案】(1)， (2)12 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）把点代入直线，可得，进一步求解的坐标即可得到答案； （2）先求解的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得， 直线的解析式为， 点横坐标为． ， ， ． （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 当时，， ， ． 27．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为C，求的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据一次函数确定，，结合图形，计算三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵点）在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∴ ∴， ∵点、在的图像上， ∴， 解得： ∴一次函数的解析式为：； （2）∵一次函数的解析式为：， 当时，， ∴点，， ∵轴，， ∴，， ∴， 以为底，则边上的高为， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 28．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【答案】(1)，8 (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线解析式得到值，将点坐标代入求出的直线解析式得到值，将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）根据两个函数图象，直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，根据列出方程，求出值即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ． 把代入得：． 的值为，的值为8． （2）由图象可知：当时，的图象在的上方， 当时，的取值范围是：． 故答案为：． （3）当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 【经典例题五 结合图像解决实际问题】 29．（2025九年级上·湖南永州·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1)； (2)0.3； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中求解即可； （3）先求出当A时，，再由I随R的增大而减小，可知要使电流不能超过10A，则电阻要不低于． 【详解】（1）解：设反比例函数式， ∵把代入反比例函数式， ∴， ∴； （2）解：当，； （3）解：将代入，得，解得． 根据反比例函数的性质，， ∴在第一象限内，I随着R的增大而减小． 所以用电器的可变电阻至少是． 30．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强． 体积 压强 (1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式． (2)当压力表读出的压强为时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？ 【答案】(1) (2)当压力表中读出压强为时，汽缸内气体的体积约为 【分析】（1）先把表格中的数据在坐标系中描点，可以发现这些点近似在一个反比例函数图象上，求出近似的反比例函数解析式即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：根据表中的数据，可画出p关于V的函数图象．根据图象的形状，选择反代例函数模型进行尝试．设它的函数关系式为，选点的坐标代入，得． ∴， ∴． 将点的坐标一一代入验证： ． 可见相当精确地反映了在温度不变时气体体积和所产生的压强之间的关系，也就是所求的函数关系式． （2）解：当从压力表中读出气体的压强为时，有， 解得． 答：当压力表中读出压强为时，汽缸内气体的体积约为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 31．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）在坐标系中描点连线即可； （2）根据图象猜测是反比例函数，利用待定系数法求解； （3）将代入（2）中结论，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可画出图象如下： （2）解：猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，设函数关系式为， ∵当时，， ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：当时， 解得， 即活动托盘B与点O的距离是． 32．（2025·湖南常德·模拟预测）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】(1)① (2)①小明不能安全地站在这块冰面上；②这块薄木板的面积至少为． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； （2）解：把，代入， 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 33．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与的函数关系式； (2)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (3)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应有什么限制？ 【答案】(1) (2)面条的总长度是米 (3)面条的粗细应不小于 【分析】本题考查反比例函数解实际应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、已知自自变量求函数值、解不等式等知识，读懂题意，求出反比例函数解析式，掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由题意，设与的函数关系式，将代入即可得到答案； （2）由（1）中与的函数关系式，将代入表达式求解即可得到答案； （3）由（1）中与的函数关系式，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与的函数关系式， 由图可知，反比例函数图象过，将代入得， 与的函数关系式为； （2）解：由（1）知与的函数关系式为， 当时，， 当面条粗时，面条的总长度是米； （3）解：由（1）知与的函数关系式为， 当面条的总长度要求不大于时，，解得， 若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应不小于． 34．（2025·湖南常德·模拟预测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 35．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 【经典例题六 反比例函数规律问题】 36．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）请做一个实验：移动一只夹在铅笔芯上的鳄鱼夹（如图），观察小灯泡的亮度怎样变化（对于这个小灯泡，通过的电流越大，就越亮）．找出变化规律，并用反比例函数的性质解释这个规律． 【答案】滑动变阻器的向右移动时，灯泡越来越暗，向左移动时，灯泡越来越亮，原理是：当滑动变阻器的向右移动时，R增大，则I减小，即灯泡越来越暗，滑动变阻器的向左移动时，R减小，I增大，即灯泡越来越亮 【分析】根据欧姆定律，结合反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设通过小灯泡的电流为I，接入电路中的电阻为R（包含灯泡内阻），电源电压为U， 由欧姆定律得， ∵电源电压不变， ∴通过灯泡的电流与电路中的电阻成反比例， ∴滑动变阻器向右移动时，灯泡越来越暗，向左移动时，灯泡越来越亮，原理是：当滑动变阻器的向右移动时，R增大，则I减小，即灯泡越来越暗，滑动变阻器的向左移动时，R减小，I增大，即灯泡越来越． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确得到电阻，电流与电压之间的关系式解题的关键． 37．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去． (1)完成下表 (2)观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求反比例函数值： （1）根据规律计算，依次求出即可； （2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ， ， ∴， 填表如下： 2 2 （2）解：由（1）的计算结果可知这一列数，每3个数为一个循环，，2，依次出现， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如表： 镜片焦距 50 25 12.5 10 8 … 眼镜度数y（度） 200 400 800 1000 1250 … (1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y（度）与镜片焦距之间的函数关系式； (2)若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用． （1）观察表格中的数据可知，由此即可解决问题； （2）把代入，函数关系式中求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴； （2）解：当时，． 答：若小惠所戴眼镜度数为500度，则该镜片的焦距为． 39．（2025·湖南常德·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 40．（2025·湖南益阳·模拟预测）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 41．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为，行驶全程所需的时间为． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度 200 240 b 300 350 行驶时间 a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：______，______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象．    (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：_________________________________________________________． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)行驶时间随速度的增加而减少； (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程，列车行驶的平均速度是大于等于315km/h，小于或等于350km/h． 【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系求解即可； （2）描点，连线，即可画出函数图象； （3）观察函数图象，根据函数的增减性即可写出函数的一条性质； （4）求得最低速度，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，图象如图所示：   ； （3）解：观察函数图象，函数的性质有：行驶时间随速度的增加而减少； 故答案为：行驶时间随速度的增加而减少； （4）解：就是， 当时，(km/h)，在正常速度范围内， 答：列车能在80min内（含80min）行驶完全程，列车行驶的平均速度是大于等于315km/h，小于或等于350km/h． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，读懂题意，数形结合是解题的关键． 42．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度y（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 m 80 64 40 20 … m的值为 ； （2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象： （3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min． 【答案】（1）50；（2）①y=15x+20，y=；②图象见解析；（3）56. 【分析】（1）观察表格，可得每分钟上升多少温度，由此即可解决问题． （2）①关系表格，可知函数是一次函数，由此利用待定系数法解决问题． ②关系表格可知，函数反比例函数，利用待定系数法即可解决问题． （3）根据表格，利用描点法画出图象即可解决问题． （4）利用图象寻找规律即可解决． 【详解】（1）由题意可知2分钟温度上升30℃，所以m=50， 故答案为50． （2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数，y=15x+20． ②当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y=． 故答案为y=15x+20，y=． （3）函数图象如图所示， （4）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min． 故答案为56． 【点睛】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象解决实际问题 【经典例题七 反比例函数与一次函数的综合】 43．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过上一点B作x轴的垂线，垂足为C，交反比例函数图象于点D．将直线向上平移n个单位长度经过点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积为3时，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的平移问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键。 （1）先把点A坐标代入正比例函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）根据，可得，得出点C的横坐标为．则点D，B的横坐标都为．据此可得，，则． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴点C的横坐标为． 由题意知轴，垂足为C， ∴点D，B的横坐标都为． ∴点B在直线上， ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 44．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：． （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为． 45．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 46．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 【答案】(1)，一次函数的解析式为： (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及的考点有：求函数解析式、观察函数图象解决不等式问题、点的平移问题等；解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式以及图象交点的坐标即可解决问题． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，最后把，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）根据函数图象，以及，两点坐标，即可解决问题； （3）设出点的坐标，再根据所给平移方式表示出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数的解析式为：， 将点代入反比例函数解析式得：， ∴， ∴点的坐标， ∴将，两点坐标代入一次函数解析式得：， ∴解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）∵当时，从图象来看为：反比例函数的图象在一次函数图象的上方， 又∵，， ∴当时，的取值范围是：或； （3）∵点在函数的图象上， ∴令点的坐标为， ∴点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后点的坐标为， ∴得点D的坐标为， ∵D落在函数的图象上， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 47．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为，边所在直线与轴交于点，与双曲线交于点． (1)求直线对应的函数表达式及的值； (2)当时，使的自变量的取值范围为______． (3)将一次函数图象平移，使其经过坐标原点，直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点． 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的性质，一次函数与几何图形，反比例函数图象的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据勾股定理得到，由菱形的性质得到的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）根据函数图象交点求不等式解集即可求解； （3）根据题意得到平移后的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数函数图象经过第一、三象限即可，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 把点代入直线中， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入双曲线， ， ∴双曲线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，的函数图象在的函数图象下面，即， ∴， 故答案为：； （3）解：直线的解析式为， 当将一次函数图象平移，使其经过坐标原点，即将一次函数图象向上平移个单位，得到的解析式为， ∴平移后的函数图象经过第二、四象限， ∴当反比例函数图形经过第一、三象限时，反比例函数图象与无交点， ∴反比例函数解析式为（答案不唯一）． 48．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； (3)观察图象，回答下列问题： ①当一次函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围； ②对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）①图象法求出x的取值范围即可；②图象法，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为，， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵，，在第四象限， ∴， ∴， 当时，， ∴； （3）①由图象可知：当一次函数值大于反比例函数值时，或； ②∵反比例函数过点， ∴当时，或． 49．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的面积是定值，定值为 【分析】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． （1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②延长交轴于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得，由①可求，根据即可求解； （2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴． 把、的坐标都代入中，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为：； ②延长交轴于点，延长交轴于点， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B，点C在反比例函数的图象上，点M在反比例函数的图象上， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的面积是定值． 延长与轴交于点， 设，则，，， ∴，，，，， ∴ ． ∴的面积是定值，定值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性 题型二 已知点求K，或已知K求点的坐标 题型三 反比例函数系数k的几何意义 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 结合图像解决实际问题 题型六 反比例函数规律问题 题型七 反比例函数与一次函数的综合 【经典例题一 根据K的正负判断图像所在象限及增减性】 1．（24-25九年级上·湖南怀化期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）． （1）求k的值； （2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ 2．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）已知反比例函数，且当时，随的增大而减小． (1)若该函数图像经过点，求实数的值； (2)求实数的取值范围及该函数图像经过的象限． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3） (1)求k的值； (2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B（﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x＜﹣1时，则y的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）函数y＝（k为常数，k≠0，x≠0）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.5 2 3 6 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)则k的值是 　； (2)函数y＝的图象在第 象限，当x 时，y随x的增大而增大． 5．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．以下是探究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． x … 2 3 4 5 6 7 8 … y … 9 a 3 2 b … (1)①列表，表中________，________； ②描点：根据表中数值，描出①中的点； ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象； (2)观察画出的图象，请写出该函数的两条性质：① ；② ； (3)结合函数图象，写出函数的图象可由函数的图象如何变换得到． 7．（24-25九年级上·湖南常德·期末）初中阶段关于函数性质的研究都是建立在图象基础之上的．学习了反比例函数的图象与性质后，小强带领数学兴趣小组进步研究形如y＝（k是常数，k≠0）的函数图象与性质． (1)k取某一个有理数时，如表列举出满足函数y＝的多组x，y的对应值： x …… ﹣2 ﹣1 ﹣ 0 2 3 4 …… y＝ …… ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …… ①有理数k＝　 　； ②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象（如图所示）．请你把没画完的图象补充完整； (2)在（1）的条件下，请结合图象，总结函数y＝的相关性质； ①该函数图象的对称中心是点 　 　（填点的坐标）； ②具体描述y的值随x值的变化情况：　 　； ③该函数的图象可以看作反比例函数的图象向 　 　平移 　 　个单位长度得到的． 【经典例题二 已知点求K，或已知K求点的坐标】 8．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 9．（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 11．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且，求点C的坐标； (2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形是垂美四边形且被平分时，求P，Q两点的坐标． 12．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)填空：_______，_______； (2)求点B的坐标； (3)连接并延长，交双曲线的另一支于点D，点E在x轴的负半轴上．若以O，E，D为顶点的三角形与相似，求点E的坐标． 13．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图1，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求A、B两点坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，经过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为m，连接．当的面积与的面积相等，_____．    (3) 点在反比例函数的图象上，且，直接写出点的坐标． 14．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题三 反比例函数系数k的几何意义】 15．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值． 16．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，已知一次函数的图象分别于x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点P和点，连接OP、OQ． 求m和b的值；求的面积． 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，点B的坐标为(-4，-2)，C为第一象限内双曲线上一点，且点C在直线的上方． (1)求双曲线的函数解析式；(2)若△AOC的面积为6，求点C的坐标． 18．（2025·湖南岳阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）分别交x，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于第三象限的C点，已知，的面积为．    (1)求k的值； (2)若，根据函数图象，写出在y轴左侧一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围． 19．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）课题学习： 项目主题 反比例函数的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点的坐标是，，求反比例函数的解析式； 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，直接写出的面积； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，求的面积； 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 20．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点． (1)若，则 ． (2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ． (3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值． 21．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． (1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； (2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； (3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 22．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）在直角坐标系中，函数和函数（，k，b为常数）的图象交于点和点B． (1)求函数，的表达式． (2)求点B的坐标，并直接写出当时，自变量x的取值范围． (3)设坐标原点为O，求的面积． 23．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，面积为4的正方形的顶点C、A分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过点B．把正方形沿翻折得到正方形交反比例函数的图象于点E．    (1)求k的值； (2)求点E的坐标． 24．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，直线分别与y轴、x轴交于A，B两点，与反比例函数交于点D，点D为的中点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点C，若． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 25．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，直线与双曲线交于点 (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 26．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线过点且与反比例函数在第二象限交于点，已知点横坐标为 (1)求和的值； (2)过点作//轴交于点，求出的面积 27．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为C，求的面积． 28．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点．    (1)求与的值； (2)当时，的取值范围是___________； (3)若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值． 【经典例题五 结合图像解决实际问题】 29．（2025九年级上·湖南永州·专题练习）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 30．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后汽缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强． 体积 压强 (1)根据表中的数据求出压强关于体积的函数表达式． (2)当压力表读出的压强为时，汽缸内气体的体积压缩到多少毫升？ 31．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘B中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离，观察活动托盘B中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式； (3)当砝码的质量为时，活动托盘B与点O的距离是多少？ 32．（2025·湖南常德·模拟预测）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 33．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（）是面条的粗细（横截面积）（）的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出与的函数关系式； (2)求当面条粗时，面条的总长度是多少米？ (3)若面条的总长度要求不大于，那面条的粗细应有什么限制？ 34．（2025·湖南常德·模拟预测）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 35．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【经典例题六 反比例函数规律问题】 36．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）请做一个实验：移动一只夹在铅笔芯上的鳄鱼夹（如图），观察小灯泡的亮度怎样变化（对于这个小灯泡，通过的电流越大，就越亮）．找出变化规律，并用反比例函数的性质解释这个规律． 37．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，…，如此继续下去． (1)完成下表 (2)观察上表，你发现了什么规律？猜想　　． 38．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如表： 镜片焦距 50 25 12.5 10 8 … 眼镜度数y（度） 200 400 800 1000 1250 … (1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y（度）与镜片焦距之间的函数关系式； (2)若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距． 39．（2025·湖南常德·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 40．（2025·湖南益阳·模拟预测）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 41．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）某高铁线路全长420km，列车行驶的平均速度范围为200～350km/h．设列车行驶的平均速度为，行驶全程所需的时间为． 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量ν的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整． (1)列表：通过列车的试行驶得到下列几组数据： 平均速度 200 240 b 300 350 行驶时间 a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：______，______． (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象．    (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：_________________________________________________________． (4)列车能在80min内（含80min）行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由． 42．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度y（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 m 80 64 40 20 … m的值为 ； （2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象： （3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min． 【经典例题七 反比例函数与一次函数的综合】 43．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过上一点B作x轴的垂线，垂足为C，交反比例函数图象于点D．将直线向上平移n个单位长度经过点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，当的面积为3时，求n的值． 44．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 45．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 46．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）在平面直角坐标系中，设反比例函数(为常数，)的图象与一次函数(，为常数，)的图象交于点，． (1)求m的值和一次函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点C在函数的图象上，点C先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标． 47．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为，边所在直线与轴交于点，与双曲线交于点． (1)求直线对应的函数表达式及的值； (2)当时，使的自变量的取值范围为______． (3)将一次函数图象平移，使其经过坐标原点，直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点． 48．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； (3)观察图象，回答下列问题： ①当一次函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围； ②对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 49．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为． (1)若点的坐标为， ①求直线的函数解析式； ②连接、，求的面积； (2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$