专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训（1个知识点+2大题型+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版）

专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训 （1个知识点+2大题型+自我检测） 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 知识点一： 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义． 直接根据矩形的顶点A在反比例函数的图象上作答即可． 【详解】解：∵矩形的顶点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于6 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，， 【详解】解：如图所示，设与轴交于点， ∵点在函数的图象上，轴， ∴，轴， ∴， ∵点在函数的图象上，轴于点， ∴，则，，即四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为： ． 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，反比例函数的图象过点，垂直于轴，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义即可求解． 【详解】由反比例函数k值的几何意义可得 ∴ 故选：C． 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义和反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于3， ∴， 而图象在第二象限，， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，根据题意得出，再结合反比例函数的图象在第一象限，得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了利用反比例函数的系数求面积设点P的坐标为，可求得，，再根据矩形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， 则，， 把点P的坐标代入函数解析式，得：， 矩形的面积是：， 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，坐标与图形； 根据反比例函数系数k的几何意义可判断A、C；根据正方形的面积为6求出边长，可得点M的坐标，然后判断B；根据正方形的面积等于矩形的面积可知矩形的面积等于矩形的面积，进而判断D选项． 【详解】解：A、∵过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即， ∴正方形的面积等于矩形的面积，等于6，此选项正确； B、∵四边形是正方形，面积等于6， ∴， ∴点M的坐标为，此选项错误； C、矩形的面积为6，此选项正确； D、∵正方形的面积等于矩形的面积，等于6， ∴同时减去四边形的面积仍然相等，即矩形的面积等于矩形的面积，此选项正确； 故选：B． 6．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质；由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为，求出即可． 【详解】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，    由的几何意义得，， ∴， ∵， ∴， ∵点D的坐标是， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为4， ∴， 而， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，则（    ）．    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】连接，由于轴，根据反比例函数系数k的几何意义和三角形面积公式得到． 【详解】解：如图，连接．    ∵轴， ∴轴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于． 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了比例系数k的几何意义∶在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 根据比例系数k的几何意义得到，由得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， 所以． 所以． 故答案为∶B． 9．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论． 【详解】解：如图，与x轴交于点C， 由图可知，， ，， ， 故选B． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，过点O作直线与双曲线交于A、B两点，过点B作轴于点C，作轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为的面积为，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，作轴于点M，轴于点N，根据k的几何意义可得，再证，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点N， 则， 又， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， A、B是图象上的点， ， ， ， 故选B． 11．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A，轴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故答案为：4． 13．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）对于反比例函数，下列结论： ①图象分布在第二，四象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是6； ④若点，都在图象上，且，则； 其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的图象和性质逐项求解判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 该函数的图象分布在第二、四象限，故正确； 当时，随的增大而增大，故正确； ∵ ∴根据的几何意义可知，从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是6，故正确； 若点，都在图象上，且，则点和点都在第二象限或都在第四象限时，点在第二象限，点在第四象限时，故错误； 故答案为：①②③． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．根据反比例函数中的几何意义，可得，再根据，可知，最后再根据反比例函数中的几何意义，即可得到答案． 【详解】解：设经过顶点的反比例函数解析式为 (k为常数，)． 斜边轴交轴于点， 点的纵坐标相等． ． ． ， ． ． ． 则经过顶点的反比例函数解析式为． 故答案为： ． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象交于点、点，连接．若四边形的面积为6，则 ．    【答案】 【分析】本题考查图形面积求值．熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长分别交轴，轴于点，    ∵轴，轴，则：四边形为矩形，为直角三角形， ∵点A在反比例函数的图象上，点B、点C在反比例函数上， ∴，， ∴四边形的面积， ∴； 故答案为：10． 16．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 【详解】解：①，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，，故①错误； ②当、两点关于原点对称时，，则，故②正确； ③若，则．过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是正确； 故答案为：②③． 17．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 18．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，而围成的三角形的面积为． 由于是同一双曲线的点，则围成的三角形虽然形状不同，但是面积均为． 【详解】设双曲线的解析式为, 则，，， ∴． 故答案为：． 20．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 21．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 22．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图：正方形OABC的面积是16，若反比例函数的图象过点B，求该反比例函数解析式．    【答案】y＝ 【分析】根据反比例函数k的几何意义即可解决问题． 【详解】解：∵正方形OABC的面积是16，若反比例函数的图象过点B， ∴k＝16， ∴反比例函数解析式为y＝． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，点D为矩形OABC的边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，求k值. 【答案】4 【分析】设D（, ），利用矩形的性质得到B（2, ），则E（2, ），再利用三角形的面积列出式子即可求解. 【详解】解：D（, ）， ∵点D为矩形OABC的边AB的中点， ∴B（2, ），则E（2, ）， ∵△BDE的面积为1， ∴ 解得k=4 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知矩形的性质及反比例函数的性质. 24．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    【答案】 【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得，；由反比例函数系数的几何意义，根据求得即可． 【详解】解：点、是函数图象上的两点， ， 解得，， 、， 作轴于，轴于，    ∴由反比例函数k的几何意义可知， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键． 25．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，已知双曲线y=（k0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），求△AOC的面积． 【答案】9 【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可． 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴△BOC的面积=|k|=3． 又∵△AOB的面积=×6×4=12， ∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 【点睛】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|． 26．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 【答案】 【分析】利用图形面积关系可得：再利用反比例函数的的几何意义可得：从而可得答案. 【详解】 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系. 27．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 28．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 29．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点是反比例函数图象上的一动点，    (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．用只含m的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个函数解析式，即可求解； （2）由四边形的面积，即可求解； （3）四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数解析式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的解析式分别为：，； （2）解：根据题意得，点， ∵点在反比例函数的图象上； ∴ ， ∵点A，M在反比例函数的图象上， ， 四边形的面积； （3）解：当四边形的面积为8时， ， 解得：， 经检验，是该方程的解． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 30．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可； （2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可； ②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，则, 将代入中，得； （2）解：①根据翻折性质，得， ∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4， ∵点E、F在函数的图象上， ∴当时，，当，， ∴，， 过F作轴于H，则， ∴； ②存在．设， ∴， ， ， ∵为直角三角形， ∴分三种情况： 若，则， ∴，解得， ∴； 若，则， ∴，即， ∵， ∴该方程无解，即P不存在； 若，则， ∴，解得， ∴， 综上，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，若，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，由点P是反比例函数上一点，得，再由得，进而可得m的值． 【详解】解：设， ∵点P是反比例函数上一点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，点A是函数y=图象上一点，AB垂直x轴于点B，若=4，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．－4 D．－8 【答案】D 【分析】根据的几何意义和三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义．熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出的长度是关键．设则纵坐标也为点坐标为则根据三角形的面积公式即可求得的值． 【详解】解：设，则纵坐标也为， 是中点， 的横坐标为， 点坐标为， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D．若，则k的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ， ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（      ） A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可求得S△CDE=|k|=2，解得即可． 【详解】解：∵正方形的面积为8， ∴S△CDE=2， ∵正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，BD∥x轴， ∴S△CDE=|k|， ∴|k|=4， ∵k＜0， ∴k=-4， ∴该反比例函数的解析式为y=-， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数系数k的几何意义，得到关于k的方程是解题的关键． 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上， ∴ ∴， 故选：B. 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数系数的几何意义可得，然后根据计算即可得到答案． 【详解】解：，轴于点，轴于点 ，四边形是矩形， 反比例函数的图象分别与，相交于，两点， ， 四边形的面积为4， ， ， 解得， 故选：C． 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在反比例函数（为常数，）的图象上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在该函数图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点作轴于，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，，则，，即可得到点在双曲线上，再由点也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 故选：A． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定与性质及折叠的性质，设的中垂线与x轴交点为H，连接，易得，再根据点C是的中点，得到，求出，再证明，推出，由，求出，即可求出，得到，再结合折叠的性质可得，求出，进而求出，即得到，最后结合反比例函数位于第二象限，即可求解． 【详解】解：设的中垂线与x轴交点为H，连接， 则， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴，即， ∴， ∵反比例函数位于第二象限， ∴． 故选：D． 11．（2025九年级·湖南湘潭·模拟预测）点是反比例函数的图象上一点，轴于，若的面积为1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即反比例函数图象上的点与坐标轴所围成的三角形的面积为．根据反比例函数系数的几何意义列出关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点，轴于， ， 解得：． 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知点为反比例函数图象上的点，过点分别作轴，轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义建立等式求解即可． 【详解】由题，过点 A 分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积等于， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，理解其几何意义是解题关键． 13．（2025·湖南松江·模拟预测）已知，正比例函数的图象与双曲线交于点A、B．点A与点C关于x轴对称，连接，若的面积为12，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，设则，可得，即可解答． 【详解】解：如图，连接．设， 正比例函数的图象与双曲线交于点A、B．点A与点C关于x轴对称， ． 轴，轴， ， ． ． 故答案为：6． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，连接．若的面积等于2.5，则k的值等于      【答案】 【分析】利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值． 【详解】解：设点P的坐标为 ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】点在函数的图像上，设，过点作轴于点，可求出的长，点在轴上，可知，点到线段的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴设， ∵过点作轴于点，点在轴上， ∴，点到线段的长为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，掌握反比例函数图像的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键． 16．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，四个点在第一象限内，分别过这四个点作x轴的垂线作y轴的垂线，若矩形的面积都是5，则四个点所在的函数解析式为 ．    【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】根据反比例函数的几何意义，可得第一象限内的四个点所在的函数解析式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 17．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，顶点在第二象限，顶点在轴的正半轴上．反比例函数的图象经过的顶点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数图象和性质、平行四边形的性质等知识．根据和顶点的坐标为得到,利用待定系数法即可求出答案． 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴ ∴, ∵反比例函数的图象经过的顶点， ∴， 解得， ∴的值为， 故答案为： 18．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点C，轴于点D，连接OA，BC．已知，，，则k的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 设，，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴设，， 则． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：18． 19．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则 ． 【答案】2 【分析】如图，连接OA，利用得到，再根据平行线得到，继而求出k值即可．本题考查了反比例函数k值的几何意义及三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：如图，连接OA， ， ，， ， ， ， 轴， ， 故答案为： 20．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，已知函数，在第一象限的图象．过函数的图象上的任意一点A作x轴的平行线交函数的图象于点B，交y轴于点C．若的面积，则k的值为 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：熟练掌握反比例函数的意义是解题的关键． 根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：由题意知：轴， ，， ， ， ∴， ∵在第一象限的图象， ∴， ． 故答案为：6． 21．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，的面积为，求k和m的值． 【答案】， 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴； 因为反比例函数的图像经过点， 则． 【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 【答案】k＝﹣4． 【分析】记AB与y轴的交点为C，先据轴对称求得S△AOC的面积，由反比例函数系数的几何意义，即可求出2k的绝对值，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定2k符号．求得2k的值，再除以2可得k值． 【详解】解：如下图，记AB与y轴的交点为C， ∵点A，B关于y轴对称， ∴AB垂直于y轴，且AC＝BC， ∴S△AOC＝S△AOB＝， ∵S△AOC＝|2k|， ∴|2k|＝4， ∴ ∵在第二象限， ∴2k＝﹣8 ∴k＝﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得S△AOC=4和利用反比例函数系数的几何意义求出k值是解题的关键． 23．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|及反比例函数图象位置求出k值，即可得出结论． 【详解】解：∵△OAB的面积为2， ∴OB·AB＝2， 即OB·AB＝4． ∴｜k︱＝4． ∴k＝±4． ∵y＝过一、三象限， ∴k＞0， ∴k＝4． ∴反比例函数解析式为． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 24．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，求解反比例函数的解析式，先求解，结合，再进一步求解可得答案． 【详解】解：连接，    则， 由阴影部分的面积是圆面积的， ， ∴， ， ； 25．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 26．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式． 【答案】 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，利用三角形中位线定理可得 ， ，然后证明△BDM≌△DOE，从而得到，，最后设D()，则B()，利用反比例函数的几何意义可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M， ∵AB⊥OA， ∴ DM∥OA， ∴ ∠BDM＝∠BOA， ， ∵D是斜边OB的中点，DE⊥OA， ∴OD=DB， ， 在△BDM和△EOD中 ∴△BDM≌△DOE(AAS)， ∴，． 设D()，则B()． ∵， ∴． 即，解得：． ∴反比例函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握反比例函数的几何意义，三角形的中位线定理是解题的关键． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）解法一：直接利用的几何意义求解即可；解法二：设点的坐标为，再利用三角形的面积公式列方程求解即可； （2）先求解时的函数值，再利用函数的图象可得答案． 【详解】（1）解法一： ∵点在双曲线上，轴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 解法二： 设点的坐标为 ∵轴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）∵． ∴双曲线的表达式为． 当时，． 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何意义，反比例函数的性质，灵活运用的几何意义求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 28．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，且交轴于点． (1)求，的值 (2)若点为双曲线上的一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入直线，可求出的值，再把求出的点代入曲线，即可求解； （2）如图所示（见详解），直线交轴于点，可求出点的坐标，即的长度，由（1）可知双曲线方程，设的高，即点到轴的距离为，当的面积为时，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴， ∴，把点代入双曲线， ∴，解得，，即双曲线解析式为， ∴，． （2）解：直线交轴于点， ∴， ∴， ∵点为双曲线上的一点， ∴设点，如图所示， ∴点到轴的距离为， 当的面积为时， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，三角形的面积，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的变换是解题的关键． 29．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出； （2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由题意得，点的横坐标为6， 点的纵坐标为：， ， 的面积． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度． 30．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】(1)①4；②； (2)k的值为． 【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【详解】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； （2）解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， 反比例函数图象分布在第二、四象限， 故该选项不符合题意； B、， 反比例函数图象不经过点， 故该选项不符合题意； C、设， ， 过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1， 故该选项符合题意； D、当时，， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）如果点为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后把代入计算． 【详解】解：根据题意得． 故选：D．    【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，B是反比例函数的图像上一点，A、C在坐标轴上，四边形是矩形，则的面积是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设，得到，根据矩形面积公式和矩形的性质求解即可． 【详解】∵B是反比例函数的图像上一点， ∴设，即， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，掌握知识点：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解k的几何含义是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，作轴于点，已知点，关于原点对称，的面积为，则比例系数k为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数值的几何意义，根据题意，设点，根据函数图象可得，，根据点，关于原点对称，的面积为，则，即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积． 【详解】解：∵D是反比例函数 (x＞0)图象上一点， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为×2=1． ∵点B在函数的图象上，四边形OABC为矩形， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为4． ∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=4-1=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，点在双曲线上，轴于,则 ．    【答案】14 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，根据值的几何意义，得到，求解即可. 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：14 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的比例系数的几何意义，根据题意，，再根据函数图象，即可求出的值． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴， ∵函数图象过第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，A、B两点在函数()图象上，垂直轴于点C，垂直轴于点D，面积分别记为，则 ．（填“”，“”，或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵A、B两点在()图象上，垂直轴于点C，垂直轴于点D， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值. 【答案】k=6 【分析】根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|＝6，而k＞0，则k＝6． 【详解】∵y的值随x的增大而减小，∴k＞0． 由于点A在双曲线上，则S＝|k|＝6， 而k＞0，所以k＝6． 【点睛】主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 12．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，等腰直角△POA的直角顶点P在反比例函数(x＞0)的图象上，A点在x轴正半轴上，求A点坐标． 【答案】A点坐标为(4，0)． 【分析】过P点作x轴的垂线，由等腰直角的性质得到点P的横纵坐标相等，进一步得到A点坐标． 【详解】解：如图：过P点作x轴的垂线，D点为垂足． ∵△POA是等腰直角三角形， ∴PD＝OD＝DA， 又∵P点在反比例函数y＝(x＞0)的图象上， ∴P点的坐标为(2，2)， ∴OA＝4， ∴A点坐标为(4，0)． 故答案为A点坐标为(4，0)． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的有关性质，解题的关键是掌握等腰直角三角形斜边上的高平分斜边并且等于斜边的一半、反比例函数y= 图象上的点的坐标特征是横纵坐标的乘积等于k． 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值． 【详解】解：根据题意可知：轴，则轴于B， ∴， 解得：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则． 故k的值为4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 14．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为(2，1)，点B与点D都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，求矩形ABCD的周长． 【答案】12 【分析】由边AB与x轴平行，顶点A的坐标为（2，1），可得B点的纵坐标，再代入反比例函数解析式，得出B点坐标，从而求边AB的长；由边AD与y轴平行, 可得D点的横坐标，再代入反比例函数解析式，得出D点坐标，再得出AD的边长，最后求周长. 【详解】当时， ∴. ∴， . 当时， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴矩形ABCD的周长是2+4+2+4=12. 【点睛】本题考查反比例函数解析式的带入求值、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征、两点间的距离．解题关键是与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的点的横坐标相同. 15．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象分别于x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点P和点，连接OP、OQ． 求m和b的值；求的面积． 【答案】（1）m的值为4，b的值为，（2）的面积为． 【分析】把点分别代入反比例函数和一次函数的解析式中，分别得到关于m和b的一元一次方程，解之即可， 结合，得到反比例函数和一次函数的解析式，二者联立，即可得到点P的坐标，根据一次函数的解析式，可以得到点A的坐标，即线段OA的长，根据，结合点P和点Q的坐标，计算求值即可． 【详解】解：点Q在反比例函数和一次函数的图象上， ，， ，， 即m的值为4，b的值为， 由得，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：， 解方程组得：，， 点P的坐标为， 点A的坐标为， ，， 即的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：正确掌握代入法，正确掌握解二元一次方程组和三角形的面积公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数的k值意义重难点题型专训 （1个知识点+2大题型+自我检测） 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 知识点一： 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（    ） A． B．6 C．4 D．2 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 ． 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，反比例函数的图象过点，垂直于轴，则的面积是（   ） A．4 B．8 C．2 D．6 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴于点，若的面积等于3，则的值为（    ）    A．5 B． C． D．6 3．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 5．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 6．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，已知正方形的面积为，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，则（    ）．    A．6 B．5 C．4 D．3 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 9．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，过点O作直线与双曲线交于A、B两点，过点B作轴于点C，作轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为的面积为，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）对于反比例函数，下列结论： ①图象分布在第二，四象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是6； ④若点，都在图象上，且，则； 其中正确的是 ． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的直角顶点在原点，斜边轴交轴于点，经过顶点的反比例函数解析式为，若，则经过顶点的反比例函数解析式为 ． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上的一动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象交于点、点，连接．若四边形的面积为6，则 ．    16．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 17．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 18．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 19．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图所示、点是双曲线上的三点、过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，则它们的面积的大小关系为 ． 20．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 21．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 22．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图：正方形OABC的面积是16，若反比例函数的图象过点B，求该反比例函数解析式．    23．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，点D为矩形OABC的边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，求k值. 24．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．    25．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图，已知双曲线y=（k0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），求△AOC的面积． 26．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小． 27．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 28．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 29．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点是反比例函数图象上的一动点，    (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．用只含m的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求m的值． 30．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点． (1)的值为______． (2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，． ①求的面积； ②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴的垂线交x轴于点M，若，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，点A是函数y=图象上一点，AB垂直x轴于点B，若=4，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．－4 D．－8 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（    ）    A．2 B．4 C．8 D．16 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，反比例函数的图象与矩形的两边相交于E、F两点．若E是的中点，，则k的值为（） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D．若，则k的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，正方形ABCD的相邻两个顶点C、D分别在x轴、y轴上，且满足BD∥x轴，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形的中心E，若正方形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（      ） A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 7．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式中的k值是（    ） A．4 B．8 C． D． 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在反比例函数（为常数，）的图象上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在该函数图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴上，边落在y轴上，点C是的中点，将沿的中垂线翻折，得到，反比例函数经过点D，且，则k的值是（   ） A．6 B． C． D． 11．（2025九年级·湖南湘潭·模拟预测）点是反比例函数的图象上一点，轴于，若的面积为1，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知点为反比例函数图象上的点，过点分别作轴，轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为6，则的值为 ． 13．（2025·湖南松江·模拟预测）已知，正比例函数的图象与双曲线交于点A、B．点A与点C关于x轴对称，连接，若的面积为12，则k的值为 ． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，连接．若的面积等于2.5，则k的值等于      15．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，四个点在第一象限内，分别过这四个点作x轴的垂线作y轴的垂线，若矩形的面积都是5，则四个点所在的函数解析式为 ．    17．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，顶点在第二象限，顶点在轴的正半轴上．反比例函数的图象经过的顶点，若，则的值为 ． 18．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点C，轴于点D，连接OA，BC．已知，，，则k的值为 ． 19．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上的一点，B，C在x轴上，D在y轴上，交x轴于E，轴，若，，则 ． 20．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，已知函数，在第一象限的图象．过函数的图象上的任意一点A作x轴的平行线交函数的图象于点B，交y轴于点C．若的面积，则k的值为 21．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，的面积为，求k和m的值． 22．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，点A，B关于y轴对称，S△AOB＝8，点A在双曲线y＝，求k的值． 23．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式． 24．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．    25．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 26．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式． 27．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，的面积为5． (1)求值； (2)当时，求函数值的取值范围． 28．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，且交轴于点． (1)求，的值 (2)若点为双曲线上的一点，当的面积为时，求点的坐标． 29．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC． (1)求k的值； (2)求△OAC的面积． 30．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象分布在第一、三象限 B．图象经过点 C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1 D．若点，都在图象上，且，则 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）如果点为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，B是反比例函数的图像上一点，A、C在坐标轴上，四边形是矩形，则的面积是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，作轴于点，已知点，关于原点对称，的面积为，则比例系数k为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，点在双曲线上，轴于,则 ．    7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为 ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，已知为反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，A、B两点在函数()图象上，垂直轴于点C，垂直轴于点D，面积分别记为，则 ．（填“”，“”，或“”）． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为 ． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值. 12．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，等腰直角△POA的直角顶点P在反比例函数(x＞0)的图象上，A点在x轴正半轴上，求A点坐标． 13．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 14．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为(2，1)，点B与点D都在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，求矩形ABCD的周长． 15．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知一次函数的图象分别于x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点P和点，连接OP、OQ． 求m和b的值；求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$