专题03 反比例函数的应用重难点题型专训（3个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题03 反比例函数的应用重难点题型专训 (3个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测) 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数与几何综合 题型三 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用 题型六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 拓展训练一 反比例函数的应用之销售问题 拓展训练二 反比例函数的应用之几何图形问题 拓展训练三 反比例函数的应用之行程问题 拓展训练四 反比例函数实际综合问题 知识点一:反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①,③部分,反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ;在②,④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方,所以的解集为或. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 湖南湘潭 阶段练习)在同一平面直角坐标系中,若,则函数与的大致图象是( ) A. B. C. D. 2.(2025 湖南株洲 模拟预测)已知一次函数的图象如图所示,则反比例函数的图象经过第 象限. 知识点二:一次函数与反比例函数的交点问题 1)从图象上看,一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号,两个函数必有两个交点; ②k值异号,两个函数可无交点,可有一个交点,可有两个交点; 2)【热考】从计算上看,一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况. 【即时训练】 1.(24-25九年级上 湖南常德 阶段练习)直线与双曲线有一交点,则它们的另一交点为( ) A. B. C. D. 2.(24-25九年级上 湖南岳阳 阶段练习)如图,直线与双曲线交于点,,当时,则的取值范围是 . 知识点三: 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路: 1)通过题目已知条件,明确变量之间的关系,设相应的函数关系式,然后根据题中条件求出函数关系式; 2)已知反比例函数关系式,通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤: 1)审:审题,找出题目中的常量和变量,以及它们之间的关系; 2)设:根据常量与变量之间的关系,设出函数表达式; 3)求:根据题中条件列方程,求出待定系数的值; 4)写:写出函数表达式,并注意表达式中自变量的取值范围; 5)解:用函数解析式去解决实际问题. 利用反比例函数解决实际问题,要做到: 1)能把实际的问题转化为数学问题,建立反比例函数的数学模型; 2)注意在自变量和函数值的取值上的实际意义; 3)问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解,然后在作答中说明. 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时,误认为所给出的点在同一曲线上; 2.利用函数图像解决实际问题时,容易忽视自变量在实际问题的意义. 【即时训练】 1.(2025 湖南益阳 模拟预测)已知闭合电路的电压为定值,电流(单位:)与电路的电阻(单位:)是反比例函数关系,根据下表,则的值为( ) 10 2.4 2 1.2 50 60 100 A.12 B.10 C.120 D.100 2.(2025九年级上 湖南湘潭 专题练习)一杠杆装置如图,杆的一端吊起一桶水,水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、,将相同重量的水桶吊起同样的高度,若,则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是 同学. 【经典例题一 实际问题与反比例函数】 【例1】(24-25九年级上 湖南湘潭 阶段练习)舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.在一舞台场景的灯光变化的电路中,保持电压不变,电流(安培)与电阻(欧姆)成反比例,当电阻欧姆时,电流安培. (1)求与之间的函数关系式; (2)当电流安培时,求电阻的值. 1.(2025 湖南怀化 模拟预测)如图描述了在一段时间内,小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系(合格个数=合格率 总个数),则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是( ) A.小华 B.小红 C.小刚 D.同样多 2.(2025 湖南常德 模拟预测)物理学中:欧姆定律可得,电流和电阻成反比,由下表可得,当电流为30安培时,其电压为_伏特. 实验① 实验② 实验③ 实验④ 实验⑤ 电流 电阻 A.30 B.120 C.4 D.以上都不对 3.(24-25九年级上 湖南益阳 阶段练习)大约在两千四五百年前,如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验,并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”.如图②,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高(单位:)是物距(小孔到蜡烛的距离)(单位:)的反比例函数,当时,. (1)求关于的函数表达式; (2)若小孔到蜡烛的距离为,求火焰的像高. 4.(2025 湖南湘潭 模拟预测)如图为某公园“水上滑梯”的侧面图,其中段可看成是一段双曲线,矩形为向上攀爬的梯子,米,米.以点为原点,水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系,其中点在轴上. (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围; (2)出口点距离水面的距离为米,求,之间的水平距离; (3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌,要求安全警示牌到的距离不超过米,求点到水面的距离至少多少米? 【经典例题二 反比例函数与几何综合】 【例2】(24-25九年级上 湖南常德 单元测试)在反比例函数的图象上有一点,它的横坐标使方程有两个相等的实数根,点与点和点围成的三角形面积为6,求这个反比例函数的解析式. 1.(24-25九年级上 湖南株洲 期末)如图,是坐标原点,菱形的顶点的坐标为,顶点在轴的负半轴上,函数的函数图象经过顶点,则的值为( ) A. B.32 C. D.16 2.(24-25九年级上 湖南怀化 阶段练习)如图,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,且, . 3.(24-25九年级上 湖南松江 期末)如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B在第一象限,,点B的纵坐标为4,若反比例函数的图象经过点B,求k的值. 4.(24-25九年级上 湖南娄底 阶段练习)如图,一次函数与反比例函数图像交于点、点,且点的纵坐标为3. (1)填空:一次函数解析式为_,反比例函数解析式为_; (2)结合图形,直接写出时的取值范围; (3)在梯形中,,且下底在轴上,轴于点,和反比例函数的图象交于点,当梯形的面积为12时,求此时点坐标. 【经典例题三 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例3】(2025 湖南永州 模拟预测)设函数,函数(,,b是常数,,).若函数和函数的图象交于点,点, (1)求函数,的表达式; (2)当时,比较与的大小(直接写出结果). 1.(24-25九年级上 湖南怀化 阶段练习)在同一坐标系中,与的图象的大致位置不可能的是( ) A. B. C. D. 2.(2025 湖南常德 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,为轴正半轴上一点,过点的直线轴,分别交反比例函数和的图象于点,,且,. (1)的值为 ; (2)若直线与直线交于点,当点,,中其中两点关于第三点对称时,的值为 . 3.(24-25九年级上 湖南湘潭 阶段练习)已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点. (1)求k,m的值; (2)直接写出时x的取值范围:_. 4.(24-25九年级上 湖南娄底 阶段练习)如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和, (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出不等式的解集. 【经典例题四 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例4】(24-25九年级上 湖南株洲 期末)已知反比例函数(k为常数,且)与一次函数的图象都过.求反比例函数的表达式. 1.(24-25九年级上 湖南湘潭 期中)如图,已知反比例函数的图像如图所示,将该曲线绕点顺时针旋转得到曲线,点是曲线上一点,点在直线上,连接、,若,的面积为,则的值为( ) A. B.5 C. D. 2.(2025 湖南常德 模拟预测)正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点,、.若.点在反比例函数上.比较大小: . 3.(24-25九年级上 湖南湘潭 期末)如图,一次函数与反比例函数的图象交于点,两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)直接写出在第一象限内,一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围. 4.(24-25九年级上 湖南湘潭 阶段练习)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点,且一次函数的图象交x轴于点C,交y轴于点D. (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)在第四象限的反比例图象上有一点P,使得,请求出点P的坐标; (3)观察图象,回答下列问题: ①当一次函数值大于反比例函数值时,直接写出x的取值范围; ②对于反比例函数,当时,直接写出x的取值范围. 【经典例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例5】(2025 湖南娄底 模拟预测)已知反比例函数(k是常数,)与一次函数图象有一个交点的横坐标是. (1)求k的值; (2)求另一个交点坐标; (3)直接写出时x的取值范围. 1.(24-25九年级上 湖南株洲 期末)某药品研究所开发一种抗菌新药,临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小时)之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成,如图(当时,y与x成反比例).则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为( ) A.4小时 B.6小时 C.8小时 D.10小时 2.(24-25九年级上 湖南怀化 期末)某品牌热水器中,原有水的温度为,开机通电,热水器启动开始加热(加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系),当加热到时自动停止加热,随后水温开始下降(水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系).当水温降至时,热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程,如图,根据图像提供的信息,则 (1)当时,水温开机时间x分钟的函数表达式 ; (2)当水温为时, ; (3)通电分钟时,热水器中水的温度y约为 . 3.(24-25九年级上 湖南常德 阶段练习)如图, 已知,是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积; (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围. 4.(2025 湖南娄底 模拟预测)某设计师结合数学知识设计了一款沙发,沙发的三视图如图1所示,将沙发侧面示意图简化后,得到图2所示图形.为了解沙发的相关性能,设计师将图形放入平面直角坐标系中,其中曲线是反比例函数的一段图象,线段是一次函数的一段图象,点的坐标为,沙发腿轴,与轴交于点.请你根据图形解决以下问题: (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式;(不要求写的取值范围) (2)过点向轴作垂线,交轴于点.已知,,,设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去,则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少? 【经典例题六 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例6】(24-25九年级上 湖南岳阳 阶段练习)已知函数,与成正比例函数,与x成反比例函数,当时,,当时,. (1)求y与x的函数关系式; (2)求当时,y的值. 1.(2025 湖南常德 模拟预测)如图,直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分(不包括边界)有5个整点(横、纵坐标都为整数),则的取值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2025九年级上 湖南湘潭 专题练习)如图,线段端点、端点,曲线是双曲线的一部分,点的横坐标是.由点开始,不断重复曲线“”,形成一组波浪线.已知点,均在该组波浪线上,分别过点、向轴作垂线段,垂足分别为和,则四边形的面积为 . 3.(2025 湖南怀化 模拟预测)如图,直线与双曲线交于点,点. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)点P在x轴上,,求点P的坐标. 4.(24-25九年级上 湖南湘潭 期末)已知:如图,一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B,交点A、B的横坐标分别为和2. (1)求一次函数的表达式; (2)直接写出当时,x的取值范围; (3)如图,连接、,求的面积. 【拓展训练一 反比例函数的应用之销售问题】 1.(2025九年级上 湖南湘潭 专题练习)商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品日销售单价x(元)与日销售量y(张)之间有如下关系: x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)写出y关于x的函数解析式 _; (2)设经营此贺卡的日销售利润为W(元),试求出W关于x的函数解析式,若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润,并求出最大日销售利润. 2.(24-25九年级上 湖南株洲 期末)某市在党中央实施“乡村振兴”政策的号召下,大力开展科技振兴工作,于2024年4月份帮助农民组建农副产品销售公司进行销售.某农副产品月销售额(万元)与月份x之间的变化如图所示,在组建农副产品销售公司前是反比例函数图象的一部分,组建农副产品销售公司后是一次函数图象的一部分,请根据图中数据解答下列问题: (1)当时,求y与x的关系式,并求出该农副产品4月份的销售额. (2)该农副产品有多少个月的月销售额不超过90万元? 3.(24-25九年级上 湖南娄底 期中)某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出.据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个.若销售单价每降低1元,每月可多售出2个.据统计,每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系: 月产销量y(个) … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q(元) … 60 48 40 32 … (1)每月产销量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式为_;从上表可知.每个玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)之间满足反比例函数关系式,求出Q与y之间的关系式; (2)若每个玩具的固定成本为30元,求它的销售单价是多少元? (3)若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,求此时销售单价是多少元? 【拓展训练二 反比例函数的应用之几何图形问题】 1.(24-25九年级上 湖南常德 期中)如图,学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为的长方形种植园,其中边靠墙,墙长为.设的长为,的长为. (1)求与之间的函数关系式. (2)若围栏总长不超过,和的长都是整数,求满足条件的所有围建方案. 2.(24-25九年级上 湖南湘潭 期末)某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水,水池的底面为正方形.由设计单位核算知,水池的总储水量为.若水池底面为S,高为h. (1)求出S与h的函数关系,并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象; (2)若底面S为,则水池高度为多少m? (3)楼顶平台长为30m,宽为15m,规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%,同时考虑到楼顶平台承受能力,水池底面不能小于,则水池高度h在什么范围? 3.(24-25九年级上 湖南常德 期末)函数是刻画现实世界的有效模型,函数和现实情境之间的转换可以帮助我们简化问题的处理. (1)下列情境中,可以用反比例函数刻画的是_; A.甲、乙两地相距,行驶时间和行驶速度之间的关系; B.单价为3元的练习本,购买数量和总价的关系; C.面积为8的矩形,长和宽的关系. (2)求函数的最小值时,直接求解困难较大,我们可以给函数赋予这样的数学情境:如图,线段,,,,,则可表示为_,(用含有的代数式表示)请你结合图形,继续完成求解过程. (3)如图,四边形为矩形,,,为矩形内(不包含边界)一点,过分别向、作垂线,垂足为,,若四边形的面积为6,则称点为“美丽点”,在矩形中,,,过点的直线交直线于点,若直线上存在“美丽点”,求的取值范围. 【拓展训练三 反比例函数的应用之行程问题】 1.(24-25九年级上 湖南娄底 期末)A,B两地相距.汽车以的平均速度从A地到达B地需要. (1)①写出y与x的函数关系式; ②如果汽车的平均速度不超过,那么汽车从A地到B地至少需要多少时间? (2)若某车从A地驶往B地,先以的平均速度行驶,余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍,两段路程共用,求a的值. 2.(24-25九年级上 湖南湘潭 阶段练习)12月2日是“湖南湘潭交通安全日”,小明同学在学习交通安全知识后,对交通法规产生了兴趣,下面是他和父亲的聊天记录.请根据以上知识解决下列问题:已知高速某段区间测速路段长.最低限速是,最高限速是.设汽车通过该路段的平均速度是,时间为. 请根据以上知识解决下列问题: (1)直接写出与的函数关系式及的范围(不违反交通法规); (2)甲车通过该路段时,以的速度行驶,余下的路程以原速的倍的速度行驶,通过该路段的时间为,求的值. 3.(24-25九年级上 湖南怀化 期末)一司机驾驶汽车从甲地到乙地,他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地,并按照原路返回甲地. (1)返回过程中,汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系? (2)如果要在3h返回甲地,求该司机返程的平均速度; (3)如图,是返程行驶的路程s(km)与时间t(h)之间的函数图象,中途休息了30分钟,休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地.求该司机返程所用的总时间. 【拓展训练四 反比例函数实际综合问题】 1.(2025 湖南常德 模拟预测)如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C,与x轴交于点B和D,点A、B的刻度分别为和,直尺的宽度为,.(注:平面直角坐标系内一个单位长度为) (1)求双曲线的解析式,并直接写出点C的坐标; (2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点.图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内(含边界)整点个数有几个?(直接写出结果) (3)沿x轴负方向平移直尺,当BC恰好平分时,请直接写出平移的距离. 2.(24-25九年级上 湖南张家界 期末)如图,平面直角坐标系中第一象限内有矩形,满足轴,轴. (1)若点、,则点坐标为_,点坐标为_; (2)若点、,反比例函数同时过点、,求的值; (3)在(2)的条件下,另有一反比例函数交边、于点、,过点、分别作轴、轴的平行线交于点,如图②,作直线交轴于点,连接、、,若,请直接写出此时的值. 3.(24-25九年级上 湖南娄底 期末)定义:如图,在平面直角坐标系中,点是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点分别作轴、轴的垂线,若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时,则称点是平面直角坐标系中的“美好点”. 【尝试初探】: (1)点_“美好点”(填“是”或“不是”);若点是第一象限内的一个“美好点”,则 _; 【深入探究】: (2)若“美好点”在双曲线(,且为常数)上,求的值; (3)在(2)的条件下,在双曲线上,求的值. 1.(24-25九年级上 湖南株洲 期末)在同一坐标系中,函数和的图像大致是( ) A. B. C. D. 2.(2025 湖南株洲 模拟预测)一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,与轴交于点,则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.6 3.(24-25九年级上 湖南娄底 阶段练习)对于函数,下列说法错误的是( ) A.y随x的增大而增大 B.这个函数的图象位于第二、第四象限 C.图象经过点 D.若这个函数的图象与函数图象有两个交点,当时,b可以等于0、大于0也可以小于0 4.(24-25九年级上 湖南常德 阶段练习)已知双曲线,的部分图象如图所示,是轴正半轴上一点,过点作轴,分别交两个图象于点、.若,则的值为( ) A.8 B. C.4 D. 5.(2025 湖南益阳 模拟预测)随着科学技术的发展,汽车也越来越智能化,如图1,汽车抬头显示系统利用平面镜成像原 理,将显示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上.这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照度自动调节透明度,使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值,经测算,玻璃的透明度m和车外光照度x() 成反比例关系,其图象如图2所示,则下列说法中正确的是 ( ) A.车外光照度越大,玻璃的透明度越高 B.车外光照度为时,玻璃的透明度最低 C.玻璃的透明度m与车外光照度x 满足关系式: D.玻璃的透明度为时,车外光照度为 6.(2025 湖南常德 模拟预测)已知一次函数的图象经过点,,反比例函数的图象位于一、三象限,则 .(填,或=) 7.(24-25九年级上 湖南益阳 期中)在直角坐标平面内,函数()的图象在同一个象限内经过两点,且.过点B作y轴的垂线,垂足为点C,连接,若,则点B的坐标是 . 8.(24-25九年级上 湖南怀化 期末)如图,一次函数的图象与反比例函数(为常数且)图象的都经过,,结合图象,则不等式的解集是 . 9.(24-25九年级上 湖南永州 期末)如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,菱形的顶点在双曲线上(为常数),点在轴正半轴上,将该菱形向上平移,使点的对应点落在该双曲线上,过点作轴交于点,则 . 10.(2025 湖南邵阳 模拟预测)如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图,电源电压保持不变,为气敏可变电阻,定值电阻.检测时,可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度,设,电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示,与酒精气体浓度的关系式为,当电压表示数为时,酒精气体浓度为 . 11.(2025 湖南常德 模拟预测)一次函数与反比例函数的图象都经过点,求一次函数和反比例函数的解析式. 12.(2025 湖南娄底 模拟预测)如图,已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B,点P在y轴上. (1)求b和k的值; (2)当最小时,求点P的坐标; (3)当时,请直接写出x的取值范围. 13.(24-25九年级上 湖南永州 阶段练习)如图,一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点,点的坐标为,反比例函数的图像经过线段的中点. (1)求的值及反比例函数解析式. (2)若直线绕着原点逆时针旋转分别于轴、轴相交于、两点,连接,,则的面积是多少? 14.(2025 湖南怀化 模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,与直线平行的直线与函数的图象交于点. (1)求直线的解析式及k的值; (2)若点B是函数的图象上的点,设点B的横坐标为m,过点B作平行于y轴的直线,交直线于点C,交直线于点D. ①当时,判断线段与的数量关系,并说明理由; ②若,结合函数的图象,直接写出点B的横坐标m的取值范围. 15.(24-25九年级上 湖南益阳 期中)如图1,将一长方体放置于一水平玻璃桌面上,按不同的方式摆放,记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示: 受力面积 1 0.5 _ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 2 (1)根据表中数据,求出桌面所受压强P(单位:)关于受力面积S(单位:)的函数表达式并直接补全表格. (2)将另一长,宽,高分别为,,且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上,按图2放置时,桥完好无损,按图3方式放置时,玻璃桥破裂,请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围.(超过最大压强时玻璃破裂) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题03 反比例函数的应用重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数与几何综合 题型三 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型四 一次函数与反比例函数的交点问题 题型五 一次函数与反比例函数的实际应用 题型六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 拓展训练一 反比例函数的应用之销售问题 拓展训练二 反比例函数的应用之几何图形问题 拓展训练三 反比例函数的应用之行程问题 拓展训练四 反比例函数实际综合问题 知识点一：反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    【答案】一、三 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 知识点二：一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）直线与双曲线有一交点，则它们的另一交点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，掌握一次函数与反比例函数交点的对称性是解题的关键． 根据题意，一次函数与反比例函数交点关于原点成中心对称，由此即可求解． 【详解】解：直线与双曲线有一交点， ∵一次函数与反比例函数交点关于原点成中心对称， ∴它们的另一个交点是， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，“数形结合”是解题的关键． 当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得：当时，则的取值范围是：或， 故答案为：或． 知识点三： 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知闭合电路的电压为定值，电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系，根据下表，则的值为（  ） 10 2.4 2 1.2 50 60 100 A．12 B．10 C．120 D．100 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系，根据两个量的乘积一定，则这两个量成反比例，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：电流与电路的电阻是反比例函数关系， ， ， 故选A． 2．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是 同学． 【答案】乙 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：根据杠杆平衡原理：阻力阻力臂动力动力臂可得， ∵阻力阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变， 即：力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系 ∴动力越小，动力臂越大，即拉力越小，压力的作用点到支点的距离越远， ∵最小， ∴乙同学到支点的距离最远． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要是考查了反比例函数的实际应用，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 【经典例题一 实际问题与反比例函数】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培． (1)求与之间的函数关系式； (2)当电流安培时，求电阻的值． 【答案】(1) (2)电阻的值为欧姆 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当安培时，R的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当电阻欧姆时，电流安培， ∴， ∴． （2）解：在中，当安培时，欧姆． 1．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练掌握相关概念是解题关键. 根据题意可以得知加工零件合格的个数等于加工零件的合格率与所加工零件的总个数的乘积，由此通过观察进一步判断即可. 【详解】由题意得，加工零件合格的个数， 如图 据此通过直观观察比较此时三个长方形的面积大小，小刚所在位置的点对应的长方形的面积最大，即最大， 故选：C． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）物理学中：欧姆定律可得，电流和电阻成反比，由下表可得，当电流为30安培时，其电压为________伏特． 实验① 实验② 实验③ 实验④ 实验⑤ 电流 电阻 A．30 B．120 C．4 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 由图中给出的数据，代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：∵电流和电阻成反比， ∴， 由表中的数据可得，当电流为30安培时，电阻的值为， ∴电压（伏特）． 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； 4．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法计算即可； （2）设点的坐标为并代入与的函数关系式，求出的值再减去的长即可； （3）设点的坐标为并代入与的函数关系式，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可． 【详解】（1）解：米，米， 点的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 段滑梯所在的双曲线的解析式为． （2）设点的坐标为， 将代入， 得， 解得， 米， ，之间的水平距离为米． （3）设点的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点到水面的距离至少米． 【经典例题二 反比例函数与几何综合】 【例2】（24-25九年级上·湖南常德·单元测试）在反比例函数的图象上有一点，它的横坐标使方程有两个相等的实数根，点与点和点围成的三角形面积为6，求这个反比例函数的解析式． 【答案】或 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值，再由围成的三角形面积，求出的纵坐标，确定出反比例函数解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根的判别式，反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 点与点和点围成的三角形面积为6， ，即， 解得：， ∴或者 即，或者 把坐标代入反比例解析式得：， 解得：， 则反比例函数解析式为． 把坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数解析式为． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（   ） A． B．32 C． D．16 【答案】A 【分析】由两点之间距离公式得到，再由菱形性质得到，然后由点的平移得到点的坐标为，最后由待定系数法将代入函数确定值即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 在菱形中，，则由点的平移可得点的坐标为， 将代入函数得， 故选：A． 【点睛】本题考查求反比例函数的值，涉及两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值，熟记两点之间距离公式、菱形性质、点的平移及待定系数法确定反比例函数的值方法是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且， ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的比例系数的几何意义及三角函数，解题的关键是证，利用相似和勾股定理求 ． 作辅助线构造直角三角形，通过角的关系证．利用反比例函数的几何意义，结合相似三角形面积比与相似比的关系，得出的值．设、的表达式，用勾股定理求，最后依据三角函数定义算出 ． 【详解】过作轴于，过作轴于． ∵， ∴， ∵， ∴． 且， ∴． 设，，在上，在上， ∴，． ∴， ∴， 设，． 在中， 根据勾股定理． ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在第一象限，，点B的纵坐标为4，若反比例函数的图象经过点B，求k的值． 【答案】32 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，过点B作轴于点M，利用勾股定理求出得到，则，再把代入反比例函数解析式中进行求解即可． 【详解】解：如图，过点B作轴于点M． 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 4．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数图像交于点、点，且点的纵坐标为3． (1)填空：一次函数解析式为______，反比例函数解析式为______； (2)结合图形，直接写出时的取值范围； (3)在梯形中，，且下底在轴上，轴于点，和反比例函数的图象交于点，当梯形的面积为12时，求此时点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）设点的坐标为，则，，即可得出，，，根据梯形面积即可求得m的值，从而求得M点的坐标． 【详解】（1）将代入得， 解得 ∴反比例函数 将代入得， 解得 ∴ 将，代入 得， 解得 ∴一次函数； （2）由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方 ∴时的取值范围是或； （3）设点的坐标为． ∵轴于， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积等，表示出点的坐标是解题的关键． 【经典例题三 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例3】（2025·湖南永州·模拟预测）设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点， (1)求函数，的表达式； (2)当时，比较与的大小（直接写出结果）． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）求出A点坐标，利用待定系数法即可解答；（2）画出图像即可解答． 【详解】（1）∵函数和函数的图象交于点，点 ∴把代入中 解得 ∴函数的表达式为 把代入中，解得 ∴ 把、分别代入中得 解得 ∴函数的表达式为 （2） 如图所示，当时，函数在函数下方 ∴当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数、待定系数法求解析式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可． 【详解】解：A、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项符合题意； B、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； C、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； D、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．    （1）的值为 ； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ． 【答案】 2或或 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而求得，由求得，即可求得，然后利用反比例函数系数的几何意义即可求得的值； （2）由于点，，三点中两点关于第三点对称，可以分三种情况讨论求得的坐标，代入即可求得的值． 【详解】解：（1）过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 而， ． （2）当点，关于点对称，即点为线段的中点， ，， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 综上所述，的值为2或或． 故答案为：；2或或． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程，分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． (1)求k，m的值； (2)直接写出时x的取值范围：______． 【答案】(1)， (2)或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象及性质，待定系数法确定函数解析式，解题的关键是利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法． （1）将坐标代入一次函数解析式中，求出的值，确定出坐标，再将坐标代入反比例函数解析式中，求出的值即可； （2）令一次函数和反比例函数解析式相等，解得，根据函数图象性质，即可得到时的取值范围． 【详解】（1）解：将坐标代入一次函数解析式，得： 解得： ∴ 将坐标代入反比例函数解析式，得： 解得： （2）解：∵ ∴ 令，即 解得： ∴一次函数和反比例函数的交点横坐标为 根据函数图象的性质， 一次函数，，直线过原点、一、三象限，随增大而增大 反比例函数，，两支曲线分别过一、三象限，在每一象限内，随增大而减小 ∴当或时， 4．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点 和， (1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合是解题的关键． （1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，然后利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）不等式的解集为直线位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【经典例题四 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例4】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）已知反比例函数（k为常数，且）与一次函数的图象都过．求反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查一次函数性质，以及求反比例函数表达式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将点代入中求得的值，即得出点A的坐标，再将点A的坐标代入中求解，即可解题． 【详解】解：将点代入中得：， 解得：， 则点A的坐标为， 将点代入中得：， ∴反比例函数的表达式为． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知反比例函数的图像如图所示，将该曲线绕点顺时针旋转得到曲线，点是曲线上一点，点在直线上，连接、，若，的面积为，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数和反比例函数综合，旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．解题的关键是掌握以上知识点． 将直线和曲线绕点O逆时针旋转，则直线与x轴重合，曲线与曲线重合，即可求解． 【详解】解：∵将直线和曲线绕点O逆时针旋转， 则直线与x轴重合，曲线与曲线重合， ∴旋转后点N落在曲线上，点M落在x轴上，如图所示， 设点M，N的对应点分别是， 过点作轴于点P，连接． ， ， ∴， ∴（舍）或， 故选：D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，由正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，，从而结合正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称，故，，又，则，再由，可得，即进而函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大，又故可判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，， 又∵正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称， ∴，，， ， ， ， ， ∴函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， 又 ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出在第一象限内，一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键掌握待定系数法和一次函数及反比例函数的性质． （1）把代入中，得m的值，把B代入中，得n的值，把A、B都代入中，得k、b的值，即可求一次函数的表达式； （2）由图象分析，相同x值，一次函数图象比反比例函数图象高的部分，对应x即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中， 得， ∴， 把、代入中， 得， 解得，即一次函数的解析式为； （2）解：由图象分析： 一次函数大于反比例函数y=的x的取值范围为． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标； (3)观察图象，回答下列问题： ①当一次函数值大于反比例函数值时，直接写出x的取值范围； ②对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）①图象法求出x的取值范围即可；②图象法，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为，， ∴， 把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵，，在第四象限， ∴， ∴， 当时，， ∴； （3）①由图象可知：当一次函数值大于反比例函数值时，或； ②∵反比例函数过点， ∴当时，或． 【经典例题五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例5】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知反比例函数（k是常数，）与一次函数图象有一个交点的横坐标是． (1)求k的值； (2)求另一个交点坐标； (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)另一个交点坐标为 (3)或 【分析】（1）把交点的横坐标代入两函数解析式，再列方程求得k； （2）先联立方程组，求出方程组的解可得两函数图象的交点坐标； （3）通过图象观察，即可得出x的取值范围． 【详解】（1）把代入得：； 代入，得：； ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ 联立方程组得，， 解得，或， ∵反比例函数与一次函数图象有一个交点的横坐标是． ∴纵坐标为：2； ∴另一个交点坐标为． （3）如图， 当时x的取值范围为：或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法，反比例函数的性质，函数图象与不等式的解集的关系． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 3．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 4．（2025·湖南娄底·模拟预测）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【经典例题六 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知函数，与成正比例函数，与x成反比例函数，当时，，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义． （1）根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解； （2）把代入（1）中所求函数解析式，计算求y即可． 【详解】（1）解：设，     则 把代入得 ， ∴ ∴ （2）当时     1．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 直线一定过点，， 把代入得，，此时反比例函数过整点，，， 阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点， 的取值可能是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键． 2．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图，线段端点、端点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标是．由点开始，不断重复曲线“”，形成一组波浪线．已知点，均在该组波浪线上，分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据点，求出线段所在函数解析式，以及曲线所在双曲线的解析式，再根据题意，可以得到点和的坐标，从而可以计算出四边形的面积 【详解】解：∵线段端点、端点， 设线段所在直线函数解析式为， ∴， 解得：， ∴线段所在直线函数解析式为， ∵曲线是双曲线的一部分，点的坐标为， ∴， ∴双曲线， ∵点在该双曲线上，点的横坐标是， ∴， 即点的坐标为， ∵点，均在该组波浪线上， 又∵，， ∴，， ∵分别过点、向轴作垂线段，垂足分别为和， ∴，，， ∴四边形是梯形， ∴四边形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的变化规律，反比例函数的应用，一次函数的应用，梯形的面积．解题的关键是求出、的值． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点P在x轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵双曲线经过点，， ∴， ∴， ∴，反比例函数解析式为：， ∵直线经过点，点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵点P在x轴上，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）先求解，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由，，结合函数图象可得答案； （3）如图，记与轴的交点为，求解，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2， ∴，， ∴，； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式是． （2）解：∵，； ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：如图，记与轴的交点为， ∵一次函数的解析式是， 当，则， 解得：， ∴， ∴． 【拓展训练一 反比例函数的应用之销售问题】 1．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)写出y关于x的函数解析式 ______； (2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润． 【答案】(1) (2)W＝60﹣，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ． 【分析】（1）通过观察，发现x与y之间存在反比例关系，然后根据待定系数法可以得到解答； （2）由（1）和已知可以得到W关于x的函数解析式，然后根据函数的增减性可以得到最终解答． 【详解】（1）解：设， 把x＝3，y＝20代入得， 解得k＝60， ∴． （2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）•＝60﹣， ∵W随x增大而增大，x≤10， ∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值， ∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数解析式的求法和性质是解题关键 ． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）某市在党中央实施“乡村振兴”政策的号召下，大力开展科技振兴工作，于2024年4月份帮助农民组建农副产品销售公司进行销售．某农副产品月销售额（万元）与月份x之间的变化如图所示，在组建农副产品销售公司前是反比例函数图象的一部分，组建农副产品销售公司后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)当时，求y与x的关系式，并求出该农副产品4月份的销售额． (2)该农副产品有多少个月的月销售额不超过90万元？ 【答案】(1)，45万元 (2)该农副产品有6个月的月销售额不超过90万元 【分析】（1）用待定系数法求出当时，y与x的关系式，然后令时求出y的值即可得到答案； （2）先求出当时，y与x的关系式为，然后分别求出当时和当时，月销售额不超过90万元的月份，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，y与x的关系式为， 把点（1，180）代入得， ∴， ∴当时，y与x的关系式为， ∴当时，， ∴当时，y与x的关系式为，该农副产品4月份的销售额为45万元； （2）解：设当时，y与x的关系式为， 把点（4，45）和点（5，60）代入得， ∴， ∴当时，y与x的关系式为， 当时，令，则，解得， ∴2024年2月、3月和4月销售额不超过90万元； 当时，令，则，解得， ∴2024年5月、6月和7月销售额不超过90万元； ∴该农副产品有6个月的月销售额不超过90万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意求出函数关系式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 【答案】（1），；（2）270元；（3）230元 【分析】（1）设y=kx+b，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可；观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题； （2）求出销售价即可解决问题； （3）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题． 【拓展训练二 反比例函数的应用之几何图形问题】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【答案】(1)与的函数关系式为，函数大致图象如图所示． (2)底面积为时，水池高度为 (3)水池高度的取值范围为 【分析】（1）根据底面积高体积即可列式，再列表，描点，连线画图象即可． （2）将代入（1）中表达式即可求值． （3）先求底面积的范围，接着根据表达式求对应的高的范围． 【详解】（1）解：水池的总储水量为， ， ， 所以与的函数关系式为， 函数大致图象如图所示： （2）解：当时， ， 故底面积为时，水池高度为． （3）解：规定水池地面边长不超过楼顶平面宽的， 水池边长， 由题意得， 又， ， ， 故水池高度的取值范围为． 【点睛】本题考查列函数关系式，画函数图象，求未知量的值，求变量的取值范围．正确理解题意是关键． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）函数是刻画现实世界的有效模型，函数和现实情境之间的转换可以帮助我们简化问题的处理． (1)下列情境中，可以用反比例函数刻画的是______； A．甲、乙两地相距，行驶时间和行驶速度之间的关系； B．单价为3元的练习本，购买数量和总价的关系； C．面积为8的矩形，长和宽的关系． (2)求函数的最小值时，直接求解困难较大，我们可以给函数赋予这样的数学情境：如图，线段，，，，，则可表示为______，（用含有的代数式表示）请你结合图形，继续完成求解过程． (3)如图，四边形为矩形，，，为矩形内（不包含边界）一点，过分别向、作垂线，垂足为，，若四边形的面积为6，则称点为“美丽点”，在矩形中，，，过点的直线交直线于点，若直线上存在“美丽点”，求的取值范围． 【答案】(1)AC (2)；最小值为 (3) 【分析】（1）分别列出各问题中的关系式，根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用勾股定理表示出，得到当A，P，D三点共线时，的值最小，即，利用勾股定理求出，即可得到最小值； （3）以点B为原点，分别为x轴，y轴建立直角坐标系，作反比例函数与分别交于点M，N，求出最大及最小值即可． 【详解】（1）解：A.∵甲，乙两地相距，∴， 故时间×速度＝路程，即， ∴行驶时间和行驶速度之间的关系是，故A属于反比例函数； B．单价为3元的练习本，购买数量和总价的关系为：数量，故B不属于反比例函数； C．面积为8的矩形，长a和宽b的关系为：，故C属于反比例函数． 故答案为：AC； （2）设，则， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 由图形可知，当A，P，D三点共线时，的值最小，即， 过点D作，交延长线于点E，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为； （3）如图，以点B为原点，分别为x轴，y轴建立直角坐标系， ∵点为“美丽点”，过点P作的垂线，所得矩形面积为6，故点P在反比例函数上， 作反比例函数与分别交于点M，N， 当时，，故，此时点P与点M重合， 设直线的解析式为，将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故， ∴，此时最大； 当点Q与点G重合时，，此时最小， ∴的取值范围是． 【点睛】此题考查了实际问题与反比例函数的关系，反比例函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定和性质，最值的确定，正确理解实际问题与反比例函数的关系是解题的关键． 【拓展训练三 反比例函数的应用之行程问题】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)70 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）12月2日是“湖南湘潭交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则t随v的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴的范围为； （2）解：前用时， 剩余，用时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地． (1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？ (2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度； (3)如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间． 【答案】(1) (2) (3)3.5小时 【分析】（1）根据题意求得总路程为，根据时间等于路程除以速度列出函数关系式即可； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）根据函数图像可知前1.5小时行驶70km，剩余路程除以速度即可求得时间，进而求得总时间 【详解】（1）解：∵一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地， ∴甲地到乙地的路程为 （2） （3） 总时间为： 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 【拓展训练四 反比例函数实际综合问题】 1．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点C的坐标； (2)若横、纵坐标均为整数的点称为整点．图中由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有几个？（直接写出结果） (3)沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1)； (2)9个 (3)沿x轴负方向平移直尺时，恰好平分 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）观察图形并结合整点的定义，即可得出答案； （3）设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接，则，，根据恰好平分，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 双曲线经过点， ， 解得：， 双曲线的解析式为， 直尺的宽度为， ， ； （2）解：如图，由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数为：， 由曲线及线段、、围成的封闭区域内（含边界）整点个数有9个； （3）解：设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接， 则，， ， 恰好平分，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 把点C的坐标代入，得， 解得：， 沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，平面直角坐标系中第一象限内有矩形，满足轴，轴． (1)若点、，则点坐标为______，点坐标为______； (2)若点、，反比例函数同时过点、，求的值； (3)在（2）的条件下，另有一反比例函数交边、于点、，过点、分别作轴、轴的平行线交于点，如图②，作直线交轴于点，连接、、，若，请直接写出此时的值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）由矩形得到，，然后由点、求解即可； （2）同（1）表示出点坐标为，点坐标为，然后代入求解即可； （3）如图，设，，得到，求出直线的解析式为，得到，然后利用求解即可． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， 轴，轴，点、， 点坐标为，点坐标为， 故答案为：，； （2）四边形是矩形， ，， 轴，轴，点、， 点坐标为，点坐标为， 反比例函数同时过点、， ， ， 点坐标为，点坐标为， ； （3）如图，设，， ， ∵， ∴ 设直线的解析式为 ∴ 直线的解析式为， ， ， （负值舍去）． 【点睛】此题考查了反比例函数与几何综合，一次函数和几何综合，矩形的性质，求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是，；（2）；（3） 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）先由（2）得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； （3）在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ， ． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在同一坐标系中，函数和的图像大致是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限， 的图象在第一、三象限； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限， 的图象在第二、四象限． 只有选项A符合题意， 故选：A． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为， 把代入上式，得， ， ， 把代入得， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．这个函数的图象位于第二、第四象限 C．图象经过点 D．若这个函数的图象与函数图象有两个交点，当时，b可以等于0、大于0也可以小于0 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数与一次函数综合，根据反比例函数的图象和性质判断各项，即可解题． 【详解】解：A、，故时，函数，随的增大而增大．在中，函数，随的增大而增大．因此A说法不正确，符合题意． B、， 这个函数的图象位于第二、第四象限，说法正确，不符合题意． C、当时，， 图象经过点，说法正确，不符合题意． D、若这个函数的图象与函数图象有两个交点，当时，b可以大于0也可以小于0，说法正确，符合题意． 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（  ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 把代入得，， ∴． 故选：D． 5．（2025·湖南益阳·模拟预测）随着科学技术的发展，汽车也越来越智能化，如图1，汽车抬头显示系统利用平面镜成像原 理，将显示器上的重要行车数据投射在驾驶员前面的挡风玻璃上．这种车窗所采用的“智能玻璃”能根据车外光照度自动调节透明度，使得投射影像的亮度保持一个适宜的定值，经测算，玻璃的透明度m和车外光照度x（）  成反比例关系，其图象如图2所示，则下列说法中正确的是 （    ）                                                            A．车外光照度越大，玻璃的透明度越高 B．车外光照度为时，玻璃的透明度最低 C．玻璃的透明度m与车外光照度x 满足关系式： D．玻璃的透明度为时，车外光照度为 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用；根据图象求出玻璃的透明度与车外光照度的函数关系式，再结合图象分析即可． 【详解】解：设玻璃的透明度与车外光照度满足关系式， 把代入得， ， ∴车外光照度越大，玻璃的透明度越低，故A错误； 当时，， ∴车外光照度为时，玻璃的透明度不是最低，故B错误； 玻璃的透明度与车外光照度满足关系式，故C错误； 当时，， ∴玻璃的透明度为时，车外光照度为，故D正确； 故选：D． 6．（2025·湖南常德·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象位于一、三象限，则 ．(填，或=) 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过点，，可以求得的值，根据反比例函数的图象位于一、三象限，可以判断的正负，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，得， ∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和一次函数的性质解答． 7．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在直角坐标平面内，函数（）的图象在同一个象限内经过两点，且．过点B作y轴的垂线，垂足为点C，连接，若，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式，利用点的坐标表示出相关线段的长度，根据三角形的面积列出方程是解决问题的关键．首先求出反比例函数的表达式为，设点B的坐标为，过点A作于点D，则，由得，，由此解出m即可得点B的坐标． 【详解】解：∵函数的图象经过， ， ∴该函数的表达式为：， ∵点B在反比例函数的图象上， 设点B的坐标为， 轴于点C，则， 过点A作于点D，如图所示： ∵点， ， ， ， ， ， 由，解得：， 由，解得：m=1， 当时，点B的坐标为， 当时，点B的坐标为． 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）图象的都经过，，结合图象，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点，函数图象与不等式，熟练利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象（为常数且）上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由， 得， 由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是：或， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 9．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在双曲线上（为常数），点在轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点的对应点落在该双曲线上，过点作轴交于点，则 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，根据已知得出、点坐标是解题关键． 根据点的坐标为，即可得出的长以及反比例函数的解析式，即可得出点坐标，根据平移的性质即可得出点的纵坐标，进而利用正比例函数的解析式求得点的坐标，进一步即可得出答案． 【详解】解：菱形的顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数为， 由可知， ， 将该菱形向上平移，使点的对应点落在反比例函数的图象上， 点的横坐标为4， 把代入得，， ， 设直线为：，则， 解得， 故直线为：， ，点的纵坐标为2， ， ， 故答案为：2． 10．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 11．（2025·湖南常德·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式． 【答案】， 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 一次函数的图象经过点， ， 解得． 一次函数的解析式为． 12．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上． (1)求b和k的值； (2)当最小时，求点P的坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点分别代入，中，进行计算即可得； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求，联立一次函数解析式与反比例函数解析式，即可得点B的坐标为，根据点与点A关于y轴对称得点的坐标为，设直线的解析式为，将点，代入，进行计算即可得直线的解析式为，令，则，即可得； （3）观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴把代入两个解析式得：，， 解得：，； （2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求， 联立一次函数解析式与反比例函数解析式：， 解得：或， ∴点A的坐标为、点B的坐标为， ∵点与点A关于y轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点P的坐标为． （3）解：观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质． 13．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点，点的坐标为，反比例函数的图像经过线段的中点． (1)求的值及反比例函数解析式． (2)若直线绕着原点逆时针旋转分别于轴、轴相交于、两点，连接，，则的面积是多少？ 【答案】(1)，反比例函数解析式为： (2) 【分析】（1）由函数经过点结合待定系数法可得一次函数的解析式，再求解B的坐标及的中点坐标及反比例函数解析式即可； （2）根据旋转的性质可得：，连接与轴交于．求解直线的解析式为．，再利用三角形的面积公式结合割补法求解面积即可； 【详解】（1）解：∵函数经过点 ∴ ∴ 当时，． ∴ ∵点是的中点 ∴ 反比例函数经过点 ∴ 即：反比例函数解析式为：． （2）解：如图所示： ∵点、绕着原点逆时针旋转所得的对应点为、． 即， 连接与轴交于． 设为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． 当时， ∴， ∴ ∴ ∴； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，旋转的性质，函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 14．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． (1)求直线的解析式及k的值； (2)若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题． （1）先由平行的性质，设直线的解析式为，代入即可求出直线的解析式为，则将点代入中，得，即可作答． （2）①当时，分别得出，，，则，即可作答． ②先整理得，解得或，当时，则或，再运用数形结合思想分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， 依题意，将点代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入中，则， 解得； （2）解：①当时，， 依题意，如图所示： 理由：由（1）得，， 当时，， 故， 依题意，得， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②或 ∵直线与直线平行， ∴， 依题意，， 解得或， 当时，则或， ∴观察图象，当时，或． 15．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 2 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$