专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版）

专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 拓展训练一 反比例函数的一般形式 拓展训练二 一次函数与反比例函数图象综合判断 拓展训练三 反比例函数图像与几何图形综合应用 知识点一： 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）函数的图象为（    ） A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．线段 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象可直接得到答案． 【详解】解：是反比例函数， 图象是双曲线． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，关键是掌握反比例函数的图象与性质： （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小； （3）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）双曲线的部分图象如图所示，那么 ． 【答案】 【分析】由题图可知双曲线过点（1，2），然后用待定系数法求解即可. 【详解】解：∵双曲线过点（1，2）， ∴2=， ∴k=2. 故答案为2. 【点睛】本题考点：用待定系数法求反比例函数的解析式. 知识点二：确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 知识点三：反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，判断点坐标所在象限，根据反比例函数的图象分布确定的符号，进而判断点的象限． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，已知反比例函数，结合图象可得：当时，y的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象，找出图象位于直线左侧部分的点的纵坐标取值范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，y的取值范围是或， 故答案为：或． 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）在四张无差别卡片上依次写下4个数字（如图所示），卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张．分别作为点的横、纵坐标，则点在反比例函数图象上的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求概率，反比例函数的图象上点的特征，准确画出树状图是解题的关键．根据题意准确画出树状图，确定总共12种等可能性结果，判断其中在反比例函数图象上的结果有4种，即可求解． 【详解】解：依据题意画树状图 可得共有12种等可能结果，其中在反比例函数图象上的结果有4种，分别为，，，， 在反比例函数图象上的概率为． 故选：A． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）反比例函数的图象是 . 【答案】双曲线 【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线. 【详解】反比例函数的图象是双曲线. 故答案为双曲线 【点睛】本题考核知识点：反比例函数的性质.解题关键点：熟记反比例函数的性质. 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，，，，点为边上一点，过点作交于点与的周长之比为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【答案】(1)，， (2)画图见解析，性质见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正比例与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到正比例图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵与的周长之比为， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，，，（）的图象如下： 中，随的增大而增大， ，随的增大而减小． （3）解：由函数图象可得：当时，； ∴当时的取值范围为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，正比例函数与反比例函数的几何应用，画函数图象，熟练的画函数图象是解本题的关键． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例2】（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）反比例函数y＝的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于3判断． 【详解】∵反比例函数在第一象限， ∴k＞0， ∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于3， ∴k＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点是：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 2．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图，符合图像的解析式是 ．（填序号） ①②③和④． 【答案】④ 【分析】根据题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：双曲线图像在第一象限和第二象限， ， 应选④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数的图像是双曲线，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为，据此即可得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图像在第二、四象限， ， 又轴于点M，且的面积为4， ， ， 反比例函数的解析式为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 设反比例函数解析式为，将代入求出反比例函数解析式后即可得解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入可得， 即反比例函数解析式为， 时， ． 故答案为：． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例3】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（   ） A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2） 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称，由此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标为(1，2)， ∴它的另一个交点的坐标是(−1，−2)， 故选A． 【点睛】考查反比例函数图象上点的对称性，掌握正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称是解题的关键． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点（a，），则C点（-a，），由坐标的特征便可计算△ABC面积； 【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）也在函数图象上， ∴反比例函数关于原点对称， 设A点（a，），则C点（-a，）， ∵AB=，C点到AB的距离为2a， ∴△ABC面积=， 故选： C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】(1，-2) 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，即反比例函数图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=的两个交点关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点(-1，2)关于原点对称， ∴另一个交点的坐标为(1，-2)． 故答案是：(1，-2)． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，直线与双曲线交于两点，则的值为 ． 【答案】-4 【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B两点坐标的关系和反比例函数图象上点的坐标特点求得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴，，，， ∴，， ∴. 故答案是：-4． 【点睛】考查了反比例函数的性质，代数式求值，反比例函数是中心对称图形，对称中心是原点，则过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称，理解这一性质是关键． 4．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例4】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 1．（2025九年级上·湖南永州·专题练习）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象经过第一、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第三象限， (2)①点B，D在其图象上，见解析，② 【分析】（1）根据反比例函数的图象在第一象限，可得支必位于第三象限，，即可解答； （2）①先求出解析式，再分别将各点的横坐标代入，计算出y值与纵坐标比较即可；②根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】（1）∵这个函数图象的一支位于第一象限， ∴另一支必位于第三象限． ∴． 解得． （2）∵点在其图象上， ∴，解得． ∴这个反比例函数的解析式为． ①当时，；当时，；当时，． ∴点B，D在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上． ②∵， ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小． ∴当时，． 【点睛】此题考查了反比例函数的知识，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象及性质，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例5】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意；     B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；     C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意；     D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题意判断出该反比例函数的增减性，进而即可求解． 根据，，得y随x的增大而减小，得函数图象在第三象限，即得的取值范围． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且，， ∴时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为 Ω． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确求得反比例函数的性质成为解题的关键． 先求得反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系为， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在第一象限，y随x的增大而减小， ∵蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A， ∴用电器的可变电阻至少为Ω． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ， ； … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)2， (3)画图见解析，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (4)或 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数值，画函数图象，反比例函数性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据分母不为零，即可求解； （2）根据函数解析式及自变量的值，即可求得对应的函数值； （3）根据（2）的列表，描点、连线即可得到函数图象，根据图象即可写出一条性质； （4）求出当时的自变量值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， 即； 故答案为：； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：； （3）解：描点，连线画出该函数的图象如图所示： 观察图象，可知：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （4）解：当时，即， ∴， 观察图象知，当时，或； 故答案为：或． 【经典例题六 判断反比例函数图象所在象限】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和图象平移规律，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 将反比例函数的图象向右平移1个单位后可得函数的图象，据此求解． 【详解】反比例函数的图象在第一、三象限， 将反比例函数的图象向右平移1个单位后，得到的图象经过第一、三、四象限， 即函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式函数的图象与性质，能够运用学习已知函数的方法研究分式函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 而， ∴， ∴过第三象限，不过第二象限，故甲同学说法正确， 当，当时，， ∴图象经过点， 但这两点不关于直线对称， ∴乙同学说法错误， 故选：C． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）写出一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数图象关于原点成中心对称，则表达式可为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数图象性质的应用能力，关键是能准确理解以上知识．根据正比例函数和反比例函数的性质可得，所有的正比例函数和反比例函数的图象都符合题意． 【详解】解：由题意得，所有的正比例函数和反比例函数的图象都在第二、四象限且关于原点对称， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， 该函数的图象在第一、三象限， 故①正确，符合题意； 当时，，即函数的图象经过点， 故②正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小， 故③错误，不符合题意； 当时，，当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，点、在双曲线上，轴． (1)当，，时，求此时点的坐标； (2)若点、关于原点对称，试判断四边形的形状，并说明理由 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，根据构建方程即可解决问题； （2）只要证明，即可解决问题． 【详解】（1）解： ，， ，， 设点的坐标为，则点的坐标为， 由得：， 解得：， 此时点的坐标为． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 设点的坐标为． 点、关于原点对称， 点的坐标为， 轴，且点、在双曲线上， 点，点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例7】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的概念及增减性，解题的关键是根据函数在特定区间内的增减趋势判断比例系数的符号． 根据反比例函数，当时，y随x的增大而增大即可解题． 【详解】：∵当时，有，即y随x的减小而减小， ∴函数图像在第二、四象限，且反比例函数系数， ∴． 故选：D． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数y1═的图象在第一象限， ∴k3＞0． ∵反比例函数y2=，y1=的图象在第二象限， ∴k2＜0，k1＜0． ∵y=的图象据原点较远， ∴k1＜k2， ∴k3＞k2＞k1． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）请写出一个反比例函数表达式，使其满足当 时，y 随x 的增大而增大： ． 【答案】 【分析】此题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：一个反比例函数表达式，使其满足当x>0 时，y 随x 的增大而增大，则, ∴， 故答案为（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，反比例函数y＝，在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值是 ． 【答案】3 【分析】由反比例函数的性质列出不等式：k﹣1＞0且． 【详解】解：∵反比例函数y＝，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴k﹣1＞0且． 解得k＝3或k＝－1（舍去）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质和一元二次方程的解法． （1）反比例函数y＝（k≠0）的图像是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由一次函数解析式求出、的坐标，进而求得点坐标，代入即可求得的值． （2）设，则，由于的值在时，随的增大而增大，随的值的增大而增大，即可得出随的增大而增大．再由点，则当时，，所以当时，S值最小，把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点， ，． 为线段的中点， ∴， ， 反比例函数的图象过点， ， ∴， （2）解：点是反比例函数的图象上一个动点， 设， ， 设，则， 随的增大而增大， 在中，， 时，随的增大而增大， 随的增大而增大． 由（1）知，， ∴当时，， ∴当时，S值最小，最小值为． 即当时，S最小值为3． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键． 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例8】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）点、、在反比例函数的图象上，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数图象在二、四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， 由，可知，点在第二象限，点、在第四象限，则， ∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标， ∴． 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）反比例函数的图象上有三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握反比例函数的图象特征是关键． 【详解】解：分别将点，，代入解析式得： ，，， ，， 若，则， ， ， A，D均错误； 若，则， ， ， B正确，C错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）（1）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． （2）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键． （1）根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案； （2）根据反比例解析式可知图象在第三象限内，随的增大而减小，求出时自变量的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：（1）反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 在时取得最大值，在时取得最小值． 的取值范围是， 故答案为：； （2）反比例函数的图象在第三象限内，随的增大而减小， 当时，；当时，， 自变量的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数增减性，反比例函数图象所在象限，掌握相关性质是解题关键．根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】 解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在第二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点和在第二象限，点在第四象限， ∴最小， ，y随x的增大而增大， ，． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数过点． (1)当时，求的值． (2)若，求m的取值范围． (3)反比例函数过点，当时，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出，进而求解； （2）根据反比例函数图象的性质可分析出点和点所在象限； （3）分别表示出每个点的纵坐标，代入条件式化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 代入中：， 当时，； （2）解：反比例函数在每个象限内随的增大而减小， ∵， 要使，则点在第三象限，点在第一象限， 得：， 解得：； （3）解：由题意得：，，，， ，， ① ， ②， 化简①得：③， 化简②得：④， 得：， 即， ， ． 【拓展训练一 反比例函数的一般形式】 1．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）一次函数的一般形式是 (k 0)，其图象是 ．反比例函数的一般形式是 (k 0)． 【答案】 y=kx+b ≠ 一条直线 ≠ 【解析】略 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和的值； (2)当时，根据图像直接写出不等式的解集； (3)若经过点的抛物线的顶点为，求该抛物线的解析式．（结果用一般形式表示） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把的坐标代入求得的值； （2）不等式的解集就是反比例函数的图像在一次函数的图像的交点以及反比例函数图像在上方时对应的的范围； （3）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴反比例函数的表达式为，． （2）不等式的解集为：或． （3）∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式是， 即． ∴该抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数、反比例函数的图像的交点以及待定系数法求二次函数和反比例函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，利用图像解不等式．根据题意正确设出二次函数的解析式是解题的关键． 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线和直线的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：____________； ②把①中方程化为一般形式：____________； ③求得交点横坐标：____________． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：____________， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线______和直线______的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：____________， 于是求方程的解可以看作是求函数______和______的交点横坐标． 这里找到的是______、______综合题与______的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 【答案】（1）①；②；③，， ④；⑤， （2）；，， 一次函数、反比例函数、一元二次方程； （3）当时，小聪改建鸡圈的设想可以实现． 【分析】此题考查了二次函数、一次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的性质是解题的关键． （1）联立得到关于x的一元二次方程，解方程求出两根，反过来，可以看作一次函数和二次函数图象的交点问题即可； （2）利用等式的基本性质把一元二次方程变形后，看作是反比例函数和一次函数的交点问题即可； （3）由题意可得，则，设，由二次函数图象可知，要使，则或（不符合题意，舍去），即可得到答案． 【详解】解：（1）①利用两个图象的表达式得一元二次方程：； ②把①中方程化为一般形式：； ③求得交点横坐标：，． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线和直线的交点横坐标得到的． 故答案为：①；②；③，，④；⑤，． （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：， 于是求方程的解可以看作是求函数和的交点横坐标． 这里找到的是一次函数、反比例函数综合题与一元二次方程的关系． 故答案为：；，，一次函数、反比例函数、一元二次方程 （3）由题意得：，，即：，， ∴，化简得：， ∵由题意得， 设， 当时，， 解得 ∴抛物线与横轴轴交于点，如图： 由二次函数图象可知， 要使，则或（不符合题意，舍去） 即：当时，小聪改建鸡圈的设想可以实现． 【拓展训练二 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)24 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ． （2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． （3）解：由一次函数可知， 由勾股定理可得， 当在轴正半轴时， ，， ； 当点在轴负半轴时，，故此情况不存在， 综上分析，的面积为． 【拓展训练三 反比例函数图像与几何图形综合应用】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，反比例函数的图像与性质，根据一元二次方程没有实数根，得到，再求出函数的解析式，最后判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴当时，的函数图像位于第四象限； 当时，的函数图像位于第三象限； ∴函数的图像位于三、四象限， 故选：A． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 3．（2025·湖南张家界·模拟预测）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整： (1)该函数的解析式为 　 　，m＝　 　，n＝　 　． 根据图中描出的点，画出函数图象． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 2 3 4 … y … m ﹣3 7 n … (2)根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是 　 　； ①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点． ②该函数既无最大值也无最小值． ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小． (3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)y＝（x≠7），1， (2)② (3)或 【分析】（1）待定系数法可求函数解析式，将，代入解析式得的值，描点、连线画出图象即可； （2）依据函数图象，即可判断； （3）依据函数图象．即可得到． 【详解】（1）解：把x＝2，y＝7；x＝0，y＝﹣3代入，得 解得， ∴函数的解析式为（x≠1）； 将代入解析式得 将代入解析式得 描点、连线，图象如图所示 故答案为：（x≠1）；1；． （2）解：由图象可知：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是（1，2），错误，不符合题意； ②该函数既无最大值也无最小值，正确，符合题意； ③当x＞1，或时，y随x的增大而减小，错误，不符合题意； 故答案为：②． （3）由图象可知，关于x的不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数图象．解题的关键在于数形结合． 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知反比例函数的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键； 根据反比例函数，时，反比例函数图象在一、三象限；反比例函数图象在第二、四象限内，直接解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：C． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，先由函数值的正负判断点是否在同一支上，确定自变量的正负，再用反比例函数的性质判断自变量的大小，即可求解．掌握性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 5．（24-25九年级上·湖南常德·期中）函数，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为；②当时，；③当时，；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的性质，从图象中有效的获取信息，根据一次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：令，解得：（负值舍去）； 经检验是原方程的解， ∴当时，， ∴两函数图象的交点A的坐标为；故①说法正确； 由图象可知，当时，，故②正确； 当时，对于，，对于，， ∴， ∴；故③正确； 由图象可知：当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小；故④正确； 故选：D． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若点在反比例函数的图象上，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性．由反比例函数可得在同一象限内y随x的增大而减小，然后根据点，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∴点，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）用“>”或“<”填空： （1）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若，则0 ． （2）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若，则0 ． 【答案】 【分析】（1）根据反比例函数的解析式判断所在的象限以及增减项，从而得解； （2）根据反比例函数的解析式判断所在的象限以及增减项，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴反比例函数的图像在一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴若，对应函数在第三象限， 则， 故答案为：，； （2）∵， ∴反比例函数的图像在二、四象限，在每个象限内随增大而增大， ∴若，对应函数在第四象限， 则， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据函数解析式得出其所在的象限以及增减性是解本题的关键． 9．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，根据一个交点结合对称性即可求得另一个交点． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 当该机器狗载重后总质量时，最快速度， ， ， ， ， 时，随的增大而减小， 当时，， 当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于． 故答案为：4． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）用描点法画出反比例函数的图像． 【答案】见解析 【分析】根据列表描点连线画函数图像即可． 【详解】解：列表如下： ... ... ... ... 反比例函数的图像如下． 【点睛】本题考查了画反比例函数图像，掌握描点法画函数图像的方法是解本题的关键． 12．（2025·湖南常德·模拟预测）正比例函数和反比例函数的图像交于A、B两点，已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求这两个函数的表达式． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据反比例函数的图像是中心对称图形，与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可解答； （2）把分别代入函数与中即可解答． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图像相交于A、B两点， ∴点A、B关于原点对称， 又∵点A的横坐标为2，点B的纵坐标为， ∴点A的纵坐标是6，点B的横坐标是． ∴； （2）解：把的值代入函数与可得：， 所以两函数解析式分别为，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数图像的对称性等知识点，根据反比例函数图像的中心对称性求得A、B的坐标是解题的关键． 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； （2）解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数，涉及待定系数法函数解析式、一次函数与y轴的交点问题等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得答案； （3）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于两点， ∴， ∴ （2）由图象可知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． （3）∵反比例函数中， ∴随着的增大而减小， ∵点在双曲线上， ∴ 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点，一次函数的图象与轴的交点为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据反比例函数的图象，当时，直接写出的取值范围：______ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由一次函数解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数解析式； 根据一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可； 求得时的反比例函数的函数值，然后观察图象即可求得． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、三角形的面积、反比例函数的性质，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ，解得， ， 反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， ， 反比例函数解析式为； （2）令，则， 解得， ， ， 的面积； （3）当时，， 观察图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 拓展训练一 反比例函数的一般形式 拓展训练二 一次函数与反比例函数图象综合判断 拓展训练三 反比例函数图像与几何图形综合应用 知识点一： 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）函数的图象为（    ） A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．线段 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）双曲线的部分图象如图所示，那么 ． 知识点二：确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为 ．（写出符合图象特征的一个值即可） 知识点三：反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，已知反比例函数，结合图象可得：当时，y的取值范围是 ． 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）在四张无差别卡片上依次写下4个数字（如图所示），卡片置于暗箱摇匀后随机抽取两张．分别作为点的横、纵坐标，则点在反比例函数图象上的概率为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）反比例函数的图象是 . 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）如图，在中，，，，点为边上一点，过点作交于点与的周长之比为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过）． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例2】（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）反比例函数y＝的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣1 B． C．3 D．4 1．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 2．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）如图，符合图像的解析式是 ．（填序号） ①②③和④． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 4．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为 ． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例3】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）正比例函数y＝2x与反比例函数的图象有一个交点为（1，2)，则另一个交点的坐标为（   ） A．（-1，-2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（1，2） 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知正比例函数与反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，直线与双曲线交于两点，则的值为 ． 4．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例4】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·湖南永州·专题练习）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图是反比例函数的图象．整数的值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，它是反比例函数（m为常数，且）图象的一支． (1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围； (2)点在该反比例函数的图象上． ①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由； ②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？ 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例5】（2025·湖南邵阳·模拟预测）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·湖南常德·模拟预测）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：A）与电阻（单位：Ω）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过A，则用电器的可变电阻至少为 Ω． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)函数列表如下，其中 ， ； … 1 2 3 … … 1 3 3 2 1 … (3)在平面直角坐标系中，通过描点，连线的方式画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (4)直接写出当时，自变量的取值范围为 ． 【经典例题六 判断反比例函数图象所在象限】 【例6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（   ） A．甲乙都正确 B．甲乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）写出一个函数表达式，使其图象经过第二象限，且函数图象关于原点成中心对称，则表达式可为 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，已知点在双曲线上，点、在双曲线上，轴． (1)当，，时，求此时点的坐标； (2)若点、关于原点对称，试判断四边形的形状，并说明理由 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例7】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（　　） A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2 2．（2025·湖南怀化·模拟预测）请写出一个反比例函数表达式，使其满足当 时，y 随x 的增大而增大： ． 3．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，反比例函数y＝，在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值是 ． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值． 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例8】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）点、、在反比例函数的图象上，且，则有（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）反比例函数的图象上有三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）（1）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． （2）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数过点． (1)当时，求的值． (2)若，求m的取值范围． (3)反比例函数过点，当时，，求证：． 【拓展训练一 反比例函数的一般形式】 1．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）一次函数的一般形式是 (k 0)，其图象是 ．反比例函数的一般形式是 (k 0)． 2．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点． (1)求反比例函数的表达式和的值； (2)当时，根据图像直接写出不等式的解集； (3)若经过点的抛物线的顶点为，求该抛物线的解析式．（结果用一般形式表示） 3．（2025·湖南株洲·模拟预测）要实现知识结构化，必须找到知识间的联系．要想找到知识间的联系，只需思考即可．下面是跟着梁老师进行的一次探究活动． 【常规任务与反思】 （1）求抛物线和直线的交点横坐标． 你的思路是： ①利用两个图象的表达式得一元二次方程：____________； ②把①中方程化为一般形式：____________； ③求得交点横坐标：____________． 反过来想： ④可以把②中一元二次方程变形成①中形式：____________， ⑤再把④中方程看作是为求抛物线______和直线______的交点横坐标得到的． 这里找到的是二次函数、一次函数综合题与一元二次方程的关系． 【深入思考与探究】 （2）显然不是一元二次方程的解，于是这个可以变形为：； 两边同除以x后得：____________， 于是求方程的解可以看作是求函数______和______的交点横坐标． 这里找到的是______、______综合题与______的关系． 【问题解决】 （3）小聪家有一个长4米，宽3米的矩形鸡圈．他想改建成一个新矩形鸡圈，新鸡圈的邻边长分别为x米、y米，其周长和面积都是原来的k倍．小聪的想法能实现吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出满足条件的k值或k的范围． 小聪是先列了两个函数关系，然后求解的．请你按他的思路完成探索． 【拓展训练二 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是 ； ． 3．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 【拓展训练三 反比例函数图像与几何图形综合应用】 1．（24-25九年级上·湖南娄底·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 3．（2025·湖南张家界·模拟预测）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x＝2时，y＝7，时，y＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整： (1)该函数的解析式为 　 　，m＝　 　，n＝　 　． 根据图中描出的点，画出函数图象． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 2 3 4 … y … m ﹣3 7 n … (2)根据函图象，下列关于函数性质的描述正确的是 　 　； ①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点． ②该函数既无最大值也无最小值． ③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小． (3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2） 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）已知反比例函数的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）函数（为常数）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 5．（24-25九年级上·湖南常德·期中）函数，的图象如图所示，则结论： ①两函数图象的交点A的坐标为；②当时，；③当时，；④当x逐渐增大时，随着x的增大而增大，随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 6．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 7．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）若点在反比例函数的图象上，则 （填“”，“”或“”）． 8．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）用“>”或“<”填空： （1）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若，则0 ． （2）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若，则0 ． 9．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）如图，正比例函数与反比例函数相交于点，则它们的另一个交点坐标是 ． 10．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，若机器狗的最快速度是载重后总质量的反比例函数，当该机器狗载重后总质量时，最快速度，则当该机器狗载重后总质量不超过时，最快速度不低于 ． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）用描点法画出反比例函数的图像． 12．（2025·湖南常德·模拟预测）正比例函数和反比例函数的图像交于A、B两点，已知点A的横坐标为2，点B的纵坐标为． (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)求这两个函数的表达式． 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）反比例函数与一次函数的图象交于两点．    (1)求k的值； (2)观察图象，请直接写出当时，x的取值范围为 ． (3)点在双曲线上，求a与b的大小关系． 15．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点，一次函数的图象与轴的交点为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据反比例函数的图象，当时，直接写出的取值范围：______ ． 学科网（北京）股份有限公司 $