专题01 反比例函数重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版）

专题01 反比例函数重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 求反比例函数解析式 拓展训练一 判断是否为反比例函数 拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K 知识点一：反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意． 【详解】A、，是的正比例函数，不符合题意； B、，不是的反比例函数，不符合题意； C、，是的反比例函数，符合题意； D、，该函数与成反比例函数关系，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：在函数中，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比函数自变量取值范围，掌握反比例函数自变量不等于0，是解题的关键． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·课前预习）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 【答案】A 【解析】略 1．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据储存室的体积底面积高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论． 【详解】解：由储存室的体积公式知：， 故储存室的底面积S（）与其深度之间的函数关系式为为反比例函数． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”，即可得到答案． 【详解】解：一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”， 函数图像的“雁点”坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 【详解】由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）请判断下列问题中，哪些是反比例函数，并说明你的依据． （1）三角形的底边一定时，它的面积和这个底边上的高； （2）梯形的面积一定时，它的中位线与高； （3）当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽． 【答案】（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）该矩形的长与宽不成任何比例． 【分析】根据实际问题分别列出函数关系式，进而得出答案． 【详解】（1）设三角形的面积为S，底边为a，底边上的高为h， 则S=ah，当a一定，即a=一定，S是h的正比例函数； （2）设梯形的面积为S，它的中位线与高分别为m，h， S=mh符合y=，所以是反比例函数； （3）设矩形的周长C，该矩形的长与宽分别为a，b， 则C=2（a+b）， 当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽不成任何比例． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数的定义等知识，正确得出函数关系是解题关键． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例2】（2025·湖南怀化·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式的一般式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式可知． 【详解】①和②是正比例函数；③是反比例函数；④是y是x+1的反比例函数，故此选项错误． 所以y是x的反比例函数的个数有1个． 故选B． 【点睛】考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）若与成反比例关系，与成正比例关系，则与成 关系. 【答案】反比例 【分析】根据y与z成反比例，可得出；z与x成正比例，可得出z=k′x，两式结合即可得出y与x的关系． 【详解】由y与z成反比例,可得出；z与x成正比例,可得出z=k′x，两式结合得：，故y与x的关系是反比例函数.故答案为反比例. 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义. 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有： ． 【答案】④⑥． 【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答. 【详解】①x（y+2）=1，可化为y=，不是反比例函数； ②，y与（x+1）成反比例关系； ③ 是y关于x2的反比例函数； ④符合反比例函数的定义，是反比例函数； ⑤是正比例函数； ⑥符合反比例函数的定义，是反比例函数； 故答案为④⑥． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键. 4．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的解析式，得，且，求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如，则y叫x的反比例函数，熟练掌握反比例函数解析式三种形式，，是解题的关键． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据题意可得，，再利用得到点坐标，继而求出值即可． 【详解】解：轴于点，轴于点，， ，， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可； （2）根据反比例函数的定义列出关于的不等式组，求出的值，故可得出反比例函数的解析式，再把代入解析式即可得出的值． 【详解】（1）函数是一次函数， 且为任意实数， 解得， ，为任意实数； （2）函数是反比例函数， ， 解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键． 【经典例题四 求反比例函数值】 【例4】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B．，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：B． 1．（2025·湖南常德·模拟预测）已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，根据反比例函数解析式求函数值，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入解析式得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， 表中“”处的数为， 故选：D． 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）若点与都在反比例函数图象上，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 将点与代入反比例函数的解析式可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解；把，代入得， ， 解得：， 故答案为：5． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则 ． … 4 6 8 … … 9 6 … 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值． 【详解】解：设， 把代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）2024年是习近平总书记首次作出“四好农村路”重要指示批示十周年．十年来，贵州把“四好农村路”高质量发展的力量，广植于每一片生机勃勃的土地上，新改建农村公路9.2万公里，在西部地区率先实现建制村和30户以上自然村寨全部通硬化路．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，如图所示，已知该工程队计划每天修建公路30米，则需要40天完成这条公路的修建． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，若该工程队改进施工方式，每天可以修建公路40米，求该工程队可以提前多少天完成此项工程． 【答案】(1)； (2)该工程队可以提前天完成此项工程． 【分析】（1）利用反比例函数的一般形式，结合已知点坐标求出函数表达式； （2）先根据函数表达式求出新工作效率下的工作时间，再与原时间作差得到提前的天数． 本题主要考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数表达式的求解（利用待定系数法）及函数值的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为． 点在反比例函数的图象上， ， 解得． 与之间的函数表达式为． （2）解：当时，代入， （天）． 原计划需要天，现在需要天， 提前的天数为（天）， 答：该工程队可以提前天完成此项工程． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例5】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，将点代入，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故选：B． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求反比例函数值和求正比例函数值，利用待定系数法求出，进而求出，则，再把代入中求出y的值即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴ ∵正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数的图像经过点和点． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为6 【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平移的性质和解一元二次方程， （1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，将点代入即可求得a； （2）根据平移的性质得到平移后点的坐标，再将点代入反比例函数解一元二次方程即可求的m． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， 点的坐标为． （2）解：将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 则所得点的坐标为． 将点代入，得， 解得（舍），或． 故的值为6 【经典例题六 求反比例函数解析式】 【例6】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若点在双曲线上，且，则k的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的解析式，掌握知识点是解题的关键． 根据点在双曲线上，且，求出，即可解答． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， 即， ∵， ∴． 故选D． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 先求出反比例函数解析式，分别计算当时，当时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 随的增大而减小， 当时，；当时，， 若压强由减压至，则气体体积的变化情况是增大了， 故选：． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）一个反比例函数图象经过，写出另外一个在该图象上的点的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为k是解题关键． 设反比例函数的解析式为，求出，根据反比例函数的性质只要横纵坐标之积为12即可符合题意． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴该函数图象上的点的坐标可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点．试求上述反比例函数和一次函数的解析式； 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，再求解点的坐标是，再进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在上， ∴， ∴点的坐标是． 设一次函数的解析式为， 则，解得， ∴一次函数的解析式为． 【拓展训练一 判断是否为反比例函数】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数． (1)三角形的面积为，其底边长为，该边上的高为． (2)圆锥的体积为，它的高为，底面面积为． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义，判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴y与x是反比例函数． （2）解：由题意，得， ∴， ∴y与x是反比例函数． 2．（24-25九年级·湖南湘潭·课后作业）写出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． （1）某农场的粮食总产量为1500t，该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式； （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为6.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式. 【答案】（1），是反比例函数；（2），是正比例函数，不是反比例函数. 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，然后根据反比例函数的定义判断即可； （2）根据题意列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义判断即可； 【详解】（1）由题意，得是反比例函数； （2）由单价乘以加油量等于总价，得，是正比例函数，不是反比例函数. 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题关键. 3．（24-25九年级上·湖南株洲·课后作业）写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数． (1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系； (2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系． 【答案】(1) F＝，是反比例函数，比例系数为50；（2）y＝，是反比例函数，比例系数为a. 【分析】（1）根据做功的关系w=Fs，可直接列函数的解析式； （2）根据长方形的面积×块数=密铺地面的面积可列式，然后判断即可. 【详解】(1)∵Fs＝50， ∴F＝，是反比例函数，比例系数为50； (2)∵xy＝a， ∴y＝，是反比例函数，比例系数为a. 【拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K】 1．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数的图象上． （1）若点A纵坐标为m．则点B纵坐标可表示为 ； （2）k的值为 ． 【答案】 1 4 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是求出点或点的坐标． （1）根据图象可知，点的横坐标为1，点的横坐标为4，设点的坐标为，则点的坐标为，再根据点在函数的图象上，列出关于的方程，解方程得出的值，最后求出的值即可． （2）把点的坐标代入即可求得． 【详解】 解：（1）根据图象可知，点A的横坐标为1，点B的横坐标为4，设点A的坐标为，则点B的标为， ∵点点A、B在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴点B纵坐标为1， 故答案为：1． （2）由（1）可知， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故答案为：4． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） (1)求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，则点C的横坐标为2，据此求出点C的坐标即可． 【详解】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直尺的宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为2， 当时， ， ∴点C的坐标为． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，A错误，故不符合要求；     B. 是反比例函数，B正确，故符合要求；     C. 不是反比例函数，C错误，故不符合要求；     D. 不是反比例函数，D错误，故不符合要求； 故选：B． 2．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点C的坐标为（c,0），根据已知写出P的坐标，再代入反比例函数解析式，根据ｃ的取值范围即可求解． 【详解】解：设点C的坐标为（c,0） ∵点的坐标为，轴于点， ∴P（） ∵函数的图象经过点 ∴ ∴c=2k-4 ∵0≤c≤4 ∴0≤2k-4≤4 ∴ 故选：C 【点睛】考核知识点：反比例函数．理解反比例函数的意义是关键． 5．（24-25九年级上·湖南松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．设点的横坐标为，根据函数图像上点的坐标特征可得，继而得到，，得出，，再根据，即可得解．理解和掌握函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 关系． 【答案】反比例 【分析】根据题意写出y与x的关系及z与x的关系，消去x即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵与成正比例关系，与成正比例关系， ∴ ，， ，，即， 将，代入中可得， ， 即， ∴则与成反比例关系， 故答案为：反比例． 【点睛】本题考查正比例与反比例，解题的关键是用代入消元法消去x． 7．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义可得且，由此求的值即可． 【详解】解：∵函数y是y关于x的反比例函数， ∴ 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是，也可以写成或．解题的关键是牢记反比例函数的定义． 8．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数图象上点的坐标之积等于是解题的关键．因为、都在反比例函数的图象上，可知，，把已知代入可求得的值． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 且， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 10．（2025·湖南松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）已知变量x，y满足．问：x，y是否成反比例？请说明理由． 【答案】x，y是成反比例函数关系，理由见详解 【分析】对进行化简，然后根据反比例函数的定义可进行求解． 【详解】解： ∴， ∴x，y是成反比例函数关系． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知与的部分取值满足下表： 2 3 4 5 6 … 1 1.2 1.5 2 3 6 … 试猜想与的函数关系可能是学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式．（不要求写的取值范围） 【答案】反比例函数； 【分析】观察易得xy是个定值，那么符合反比例函数的特点，用待定系数法求反比例函数的解析式. 【详解】解：按坐标描点尝试，猜想反比例函数． 设，不妨把点代入，得， 故:． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式. 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详解】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 14．（2025·湖南怀化·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数自变量的值等知识．熟练掌握反比例函数的应用，求函数自变量的值是解题的关键． （1）设，将，，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得，， ∴电阻的值为． 15．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量取值求函数值，解不等式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可； （3）根据反比例函数图象即可求解． 【详解】（1）解：设， 点在其图象上， ， ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，， 答：该工程队完成工程所需的时间为天； （3）解：根据反比例函数图象知：若完成工程的天数小于天，则， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 求反比例函数解析式 拓展训练一 判断是否为反比例函数 拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K 知识点一：反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【经典例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（24-25九年级上·湖南湘潭·课前预习）下面每个选项中的两种量成反比例的是（ ） A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数 1．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图，某加油站计划在地下修建一个容积为的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积S（单位：）与其深度h（单位：）的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如，，……，都是“雁点”，函数图像的“雁点”坐标为 ． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）请判断下列问题中，哪些是反比例函数，并说明你的依据． （1）三角形的底边一定时，它的面积和这个底边上的高； （2）梯形的面积一定时，它的中位线与高； （3）当矩形的周长一定时，该矩形的长与宽． 【经典例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例2】（2025·湖南怀化·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下列函数：①，②，③，④，y是x的反比例函数的个数有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）若与成反比例关系，与成正比例关系，则与成 关系. 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有： ． 4．（25-26九年级上·湖南湘潭·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【经典例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若反比例函数的图象经过点，则m的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·单元测试）已知函数是反比例函数，则 ． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为 ． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 【经典例题四 求反比例函数值】 【例4】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南常德·模拟预测）已知是的反比例函数，如表给出了与的一些值，表中“”处的数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）若点与都在反比例函数图象上，则 ． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则 ． … 4 6 8 … … 9 6 … 4．（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）2024年是习近平总书记首次作出“四好农村路”重要指示批示十周年．十年来，贵州把“四好农村路”高质量发展的力量，广植于每一片生机勃勃的土地上，新改建农村公路9.2万公里，在西部地区率先实现建制村和30户以上自然村寨全部通硬化路．某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，如图所示，已知该工程队计划每天修建公路30米，则需要40天完成这条公路的修建． (1)求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，若该工程队改进施工方式，每天可以修建公路40米，求该工程队可以提前多少天完成此项工程． 【经典例题五 由反比例函数值求自变量】 【例5】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知点在双曲线上，则a的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南娄底·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ． 3．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，反比例函数的图像经过点和点． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到的点仍落在该反比例函数的图象上，求的值． 【经典例题六 求反比例函数解析式】 【例6】（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）若点在双曲线上，且，则k的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（　　） A．增大，增大了 B．减小，减小了 C．增大，增大了 D．减小，减小了 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）一个反比例函数图象经过，写出另外一个在该图象上的点的坐标 ． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 4．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点．试求上述反比例函数和一次函数的解析式； 【拓展训练一 判断是否为反比例函数】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·随堂练习）写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数． (1)三角形的面积为，其底边长为，该边上的高为． (2)圆锥的体积为，它的高为，底面面积为． 2．（24-25九年级·湖南湘潭·课后作业）写出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． （1）某农场的粮食总产量为1500t，该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式； （2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为6.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式. 3．（24-25九年级上·湖南株洲·课后作业）写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数． (1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系； (2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系． 【拓展训练二 根据函数表达式求比例系数K】 1．（24-25九年级上·湖南张家界·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南常德·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点A，B在函数的图象上． （1）若点A纵坐标为m．则点B纵坐标可表示为 ； （2）k的值为 ． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和点C，与x轴交于点B和点D，点A，B的刻度分别为，，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系的1个单位长度为） (1)求点A的坐标及双曲线 的函数关系式； (2)求点C的坐标． 1．（24-25九年级上·湖南怀化·期中）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D．       2．（2025九年级上·湖南娄底·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 3．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 4．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连接．点在线段上，且，函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南松江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、均在函数的图像上，顶点在函数的图像上，且轴，轴，若，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．2 6．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）若与成正比例关系，与成正比例关系，则与成 关系． 7．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）已知函数是y关于x的反比例函数，则 ． 8．（2025·湖南株洲·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 10．（2025·湖南松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 11．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）已知变量x，y满足．问：x，y是否成反比例？请说明理由． 12．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知与的部分取值满足下表： 2 3 4 5 6 … 1 1.2 1.5 2 3 6 … 试猜想与的函数关系可能是学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式．（不要求写的取值范围） 13．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 14．（2025·湖南怀化·模拟预测）科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流． (1)求I与R的函数关系式． (2)调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值． 15．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点． (1)求与的函数关系式． (2)当每天完成米时，求该工程队完成工程所需的时间． (3)若完成工程的天数小于天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $$