第一章 反比例函数重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版）

第一章 反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）若点都在函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积和它的边长 C．长方形的一边长确定，它的周长与另一边长 D．扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A．正比例函数的解析式是 B．与都随的增大而增大 C．两个函数图像的另一交点坐标为 D．当或时， 9．（2025九年级上·湖南株洲·专题练习）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点，处悬挂一个重量已知的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化，发现：（单位：N）是（单位：）的函数，部分数据对应如下： L/ … 49 39.2 24.5 19.6 14 … F/N … 2 2.5 4 5 7 … 若弹簧测力计的示数为2.8N，则弹簧测力计与中点的距离为（   ） A．30.2 B．32.6 C．35 D．36 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025湖南邵阳·模拟预测）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 12．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 14．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 15．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为 ． 16．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示．已知矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，分别交，于点，，分别交，于点，，直线与轴交于点，连结．若，，则的面积为 ．    三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 18．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值． 19．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 20．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）下图给出了反比例函数和的图象，你知道哪一个是的图象吗？为什么？ 21．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图是反比例函数 的图象．根据图象，回答下列问题： （1）k 的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由； （2）如果点A（-3，y1），B（-2 ，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小． 22．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．        (1)求反比例函数的表达式； (2)点B的坐标是，若点P在轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 23．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 24．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，…按照以上方式循环工作．通过研究发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求当时的反比例函数关系式，并求出t的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 25．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：九年级上册第一章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和图象平移规律，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 将反比例函数的图象向右平移1个单位后可得函数的图象，据此求解． 【详解】反比例函数的图象在第一、三象限， 将反比例函数的图象向右平移1个单位后，得到的图象经过第一、三、四象限， 即函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）下列各点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 4．（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）若点都在函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ， ∴A点在第三象限，点在第一象限， ， ， 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴； 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知反比例函数的图像经过中的两点，则反比例函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质（为反比例函数的比例系数，图象上点的坐标满足该等式 ）．解题关键是利用 “反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于k” 这一性质，通过计算不同点对应的k值，找出符合条件的k，进而确定函数解析式，核心是对反比例函数k的几何意义（）的理解与运用．对于反比例函数的性质是图象上任意一点都满足，据此回答即可． 【详解】解：计算各点对应k值： 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 ； 对于，将代入，得 。 由于反比例函数图象只能经过两点，而两点对应的k值一致，说明函数经过两点，所以， 反比例函数解析式为 故选：B． 7．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高 B．等边三角形的面积和它的边长 C．长方形的一边长确定，它的周长与另一边长 D．扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正比例函数及反比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可； 【详解】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比例，故本选项错误； B、等边三角形的面积是它的边长的二次函数，故本选项错误； C、长方形的一边长确定，它的周长与另一边长成一次函数，故本选项错误； D、扇形的半径固定，它的面积和圆心角的大小成正比例，故本选项正确； 故选：D； 8．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（    ） A．正比例函数的解析式是 B．与都随的增大而增大 C．两个函数图像的另一交点坐标为 D．当或时， 【答案】D 【分析】根据交点坐标求出正比例函数和反比例函数的解析式，再逐一分析各选项的正确性． 本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法，交点问题的解答思路是解题的关键． 【详解】解：由正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点， 得， 故， 根据图象的中心对称，得另一交点， 随的增大而减小，在每一个象限内，随的增大而增大． 当或时，， 故A，B，C都是错误的，D是正确的， 故选：D． 9．（2025九年级上·湖南株洲·专题练习）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由时的函数图象判断n的正负． 【详解】解：∵， ∴x的取值范围是， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 故选：D． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点，处悬挂一个重量已知的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化，发现：（单位：N）是（单位：）的函数，部分数据对应如下： L/ … 49 39.2 24.5 19.6 14 … F/N … 2 2.5 4 5 7 … 若弹簧测力计的示数为2.8N，则弹簧测力计与中点的距离为（   ） A．30.2 B．32.6 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，观察表格可知，的乘积为定值，故成反比例关系，求出函数解析式，进行求出时，的值即可． 【详解】解：观察可知，表格中对应的两个数据的乘积相同： ，为定值， ∴， ∴当时，； 故选C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025湖南邵阳·模拟预测）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，把的最小值代入反比例函数的解析式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，反比例函数的函数值随着增大而增大， ∴当取最小值时，函数值最小， ∵当时，， ∴反比例函数的最小值为， 故答案为：． 12．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将点代入中，得出，，代入求解即可． 【详解】∵点均在反比例函数（k为常数，且）的图象上， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（2025九年级上·湖南湘潭·专题练习）判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数？ ①；②；③；④（a为常数且）； 解：其中 是反比例函数，而 不是． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查了反比例函数的识别．熟练掌握反比例函数定义是解题的关键．x，y相乘为一个常数，或者形如（）的函数为反比例函数，不属于上述两个形式的函数不是反比例函数． 根据反比例函数定义逐一判断即得． 【详解】解：①∵， ∴，是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④符是反比例函数． 故答案为①③④；②． 15．（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标 ． 正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，写出已知交点关于原点的对称点的坐标即可 ． 【详解】解：直线与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∵一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示．已知矩形的边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，分别交，于点，，分别交，于点，，直线与轴交于点，连结．若，，则的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征，反比例函数的性质，以及反比例函数与一次函数的综合应用，根据，可得点，的坐标，再由轴，轴，结合反比例函数和的表达式可求出点，，，的坐标用含，的代数式表示，进而可得线段，的长，待定系数法求得直线的解析式，即可求出线段的长，进而可得的面积． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 轴，轴， 点，的横坐标为，点，的纵坐标为， 点，在反比例函数的图象上， ，， 点，在反比例函数的图象上， ，， ，， 设直线的解析式为代入，， 得 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵ ∴ 的面积为， 故答案为： 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义列式计算即可． 【详解】解：因为是关于x的反比例函数， 所以， 所以， 所以． 18．（24-25九年级上·湖南怀化·阶段练习）已知是的反比例函数，并且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在解答该题时，还借用了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． （1）将，代入，即利用待定系数法求该函数的解析式； （2）将代入（1）中的反比例函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：设是的反比例函数的函数表达式为， 根据题意，得， 解得，； ∴该反比例函数的解析式是； （2）由（1）知，该反比例函数的解析式是， ∴当时，． 19．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 20．（24-25九年级上·湖南湘潭·课后作业）下图给出了反比例函数和的图象，你知道哪一个是的图象吗？为什么？ 【答案】图（1）是，的图象应在第一，三象限 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可判断． 【详解】对于反比例函数，当k>0时，函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小．由此知图（1）是的图象． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握图象与性质是关键． 21．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图是反比例函数 的图象．根据图象，回答下列问题： （1）k 的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由； （2）如果点A（-3，y1），B（-2 ，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小． 【答案】（1）k＞0，理由是：反比例函数 的图象过一、三象限；（2） 【分析】（1）根据反比例函数经过的象限即可判断； （2）根据反比例函数图像的增减性即可判断． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象过一、三象限 ∴k＞0 （2）∵k＞0 ∴反比例函数 的图象在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点A（-3，y1），B（-2 ，y2）是该函数图象上的两点 ∴ 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 22．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．        (1)求反比例函数的表达式； (2)点B的坐标是，若点P在轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)或 【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ， ∴． ∴反比例函数的表达式为 ； （2）解：设， ∵的面积是面积的2倍． ∴， ∴或． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型． 23．（24-25九年级上·湖南张家界·期末）如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； (1)求的函数解析式； (2)若的面积为8，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据的面积为8，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； （2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵的面积为8， ∴， 解得：． 24．（24-25九年级上·湖南益阳·期末）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，…按照以上方式循环工作．通过研究发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求当时的反比例函数关系式，并求出t的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 【答案】(1)， (2)在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是6.5分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可； （2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为， 由图象可知，点在函数图象上， ， 解得，， 当时的反比例函数关系式为． 当时，， 解得，． （2）当时，， 解得：， 设当时的一次函数关系式为， 由图象可知，点，点在函数图象上， 则， 解得： 当时的一次函数关系式为， 当时，， 解得，， （分钟）． 答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是6.5分钟． 25．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，轴上的点，作直线． (1)求反比例函数的解析式； (2)直线与轴交于点，连接，． ①在直线上找点，使得，求出所有点的坐标； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】（1）由点和点都在反比例函数的图象上可得，求出m的值，即可得的值，进而可得反比例函数的解析式． （2）①先求出直线的解析式为，进而可得，由可知满足条件的M点有两个，如图 和．当时，可得，进而可得，则，可求得．由，可得，进而可得． ②设，，分两种情况：当四边形是平行四边形时，和当四边形是平行四边形时．根据平行四边形对边平行且相等，列方程求出m、n的值即可得解． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为． （2）①把，代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． ∵， ∴满足条件的M点有两个，如图 和． ∵， ， 即， 由，，可知，A点是线段的中点， ∴， ∵， ∴当时，，此时， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 综上，点的坐标为，． ②设，． 如图，当四边形是平行四边形时， ∵，， ∴， 解得， ∴，． 当四边形是平行四边形时， ∴，， ∴， 解得， ∴，． 综上，P点的坐标为，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$