精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

石家庄市第一中学2025-2026学年高二第一学期开学考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A. B. 4 C. 6 D. 2. 已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（ ） A. °或75° B. 15°或105° C. 75°或165° D. 30°或60° 3. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 5. 圆上一点到原点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 7. 圆关于直线对称的圆的方程是 （ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为，则斜率； B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为； C. 直线与轴的交点到原点的距离为； D. 斜截式方程不能表示平面内的所有直线． 11. 已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线所成角均为的直线有3条 B. 过点且与平面所成角都是的直线有4条 C. 过点作与平面成角的直线，可以作无数条 D. 过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________． 13. 写出一个过点，的圆的标准方程_____________． 14. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，在y轴上求点C，使得的面积为12． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. （1）求证：； （2）求的长. 17. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． （1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 19. 如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025-2026学年高二第一学期开学考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可. 【详解】因为，故点关于平面的对称点为为， 故， 故选：C. 2. 已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（ ） A. °或75° B. 15°或105° C. 75°或165° D. 30°或60° 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可. 【详解】直线的斜率，则其倾斜角为， 由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或. 故选：C 3. 如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 4. 设、，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线、垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算求出模. 【详解】由，得，解得，即， 由，得，解得，即，因此， 所以. 故选：D 5. 圆上一点到原点的距离的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到原点的距离为， 所以圆上一点到原点的距离的最大值为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题. 6. 连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义,分别验证充分性和必要性. 【详解】当时，两直线方程分别为和，则两直线平行； 当直线与直线平行时，有， 即，解得或，其中时两直线重合，舍去，故. “”是“直线与直线平行”的充分必要条件. 故选：A 7. 圆关于直线对称的圆的方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y＝0 即 （x﹣2）2+（y+1）2＝5，表示以A（2，﹣1）为圆心、以为半径的圆． 设A（2，﹣1）关于直线y＝x+1对称的点B（m，n），则有 ，解得 ，∴B（﹣2，3）． 故对称的圆的方程是 （x+2）2+（y﹣3）2＝5， 故选：C． 8. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若非零向量与平行，则A，B，C，D四点共线 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若，则是P，A，B，C四点共面的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量运算判断A；利用共线向量的意义判断B；利用空间向量基底的概念判断C；利用空间共面向量定理判断D. 【详解】对于A，当非零空间向量满足，时， 与不一定平行，也可能垂直，错误； 对于B，当非零向量与平行时，A，B，C，D四点共线或直线与直线平行，错误； 对于C，若不能构成空间的一组基底，则共面， 故存在，使得， 即，由于是一组基底向量， 所以无解，故能构成空间的一组基底，正确； 对于D，，若， 则，化简得， 因此P，A，B，C四点共面， 如图，三点共线，且为的中点，不在直线上，在平面外， 则，而，不共面， 故恒不成立， 故是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件， 故D错误. 故选：ABD. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为，则斜率； B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为； C. 直线与轴的交点到原点的距离为； D. 斜截式方程不能表示平面内的所有直线． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用反例法和相关知识进行分析、判断. 【详解】A选项，当倾斜角为90°，它的斜率不存在，故本选项说法不正确； B选项当或时，显然该结论错误，故本选项说法不正确； C、截距可为负值，并不是距离，故本选项说法不正确； D、直线的斜率不存在时，直线没有斜截式，故本选项说法正确. 故选：ABC． 11. 已知异面直线与直线所成角为，平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，点为平面外一定点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且与直线所成角均为的直线有3条 B. 过点且与平面所成角都是的直线有4条 C. 过点作与平面成角的直线，可以作无数条 D. 过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条 【答案】BC 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义判断A；利用线面角的意义判断B；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD作答. 【详解】因为异面直线与直线所成角为，显然过点分别与直线平行的直线的夹角为， 在直线确定的平面内过点与都成角的直线只有1条， 所以过点与直线所成角均为的直线只有1条，A错误； 因为平面与平面的夹角为，则过点与平面所成角都是和的直线各有一条， 若过点与平面所成角都是，则在直线的两侧各有一条，在直线的两侧各有一条，因此共条，B正确； 以为顶点，母线与底面成角的圆锥底面所在平面为，满足点在外，且过点的直线与平面成角，如图， 圆锥每条母线与平面都成角，因此可以作无数条，C正确； 过点作，交平面于点，过点及圆锥底面圆心的直线与圆锥底面圆交于点， 显然，设为圆锥底面圆周上任意一点， 于是，因此圆锥母线中与直线成的直线有2条，即与直线成的直线有2条，D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量法求点面距离公式求解即可. 【详解】设点到平面的距离为， 则， 故答案为： 13. 写出一个过点，的圆的标准方程_____________． 【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可） 【解析】 【分析】确定圆心满足的条件和半径，可直接写出满足条件的圆的方程. 【详解】由题意：设圆心为：，半径为：， 则；. 取可得满足条件的一个圆的标准方程： 故答案为：（答案不唯一） 14. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离. 【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即， 点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值， 又圆心到直线的距离. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，在y轴上求点C，使得的面积为12． 【答案】或 【解析】 【分析】设，，利用点斜式可得直线的方程，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】解：设，， 直线的方程为：，化为：， 点到直线的距离， ， 解得或． 或． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，. （1）求证：； （2）求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【小问1详解】 证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 所以. 17. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 18. 已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线． （1）判断点P是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）点P不在圆上，证明见解析 （2）x＝0或3x＋4y－8＝0． 【解析】 【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可. (2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况. 【小问1详解】 点P不在圆上． 证明如下： ∵， ∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上； 【小问2详解】 由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0， 又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0， 综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0． 19. 如图所示，正四棱锥中，分别为的中点，，平面与交于. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过，证，再通过平面，证，最后通过线面垂直判定定理即可证平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 连接，设，连接， 有平面，由题意得，且, 连接，，设，则，故在上， 过作为垂足，在中，， 故，因为，所以， 故，所以， 所以，又 平面，平面，， 故平面，因为平面，故. 又平面平面，故平面. 【小问2详解】 以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系可得 ， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为 其中 设平面的一个法向量为， 则， 令可得 设为二面角的平面角，则， 由图可知所求二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $