第03讲-有理数巧算讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

第3讲 有理数巧算 【课前热身】 1．已知，为有理数，，，则　0　． 解：，，，， ． 2．已知，，且，则的值为　1或-11　． 解：，，，， ，，， 当，时，， 当，时，， 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 解：由数轴得，，，，，， ， 4．若，则　1　． 解：是偶次方，故为非负数，也是非负数， ，，，，． 5．计算： （1）； （2）． （3）． 【学习目标】 熟练掌握正逆用运算律、错位相减、裂项等有理数的运算技巧。 【知识梳理】 【典例精析】 【例1】逆用运算律（求倒数）： 1．计算： （1）； 解：原式的倒数= ， 故原式等于。 （2） ， ， 原式． 【变式训练】 1．计算： （1）； 原式的倒数 ， 所以原式 （2） 【例2】裂项： 1．计算： （1）； 原式 （2）若与互为相反数，求． 与互为相反数，， ，，，， 原式 ． 2．计算题：． 3．计算：． 【变式训练】 1．计算： （1）； 原式 （2）若与互为相反数，求 ． 与互为相反数，，， ，，，， 原式 ． 2．问题解决：求的值． 原式 3．计算：． 原式 4．计算：． 【例3】错位相减： 1．阅读材料：计算：． 解：设，① 将等式两边同时乘2，得：，② 由②①，得：，即：， ． 请你仿照此法回答下列问题： （1）填空：　　． （2）计算：．（结果保留幂的形式） 令， 则， 两式相减得， ， 所以． （3）计算：．为正整数） 令①， 则②， ①②得， ， 所以， 即． 2．（1）求的值； 设 ① ②， ②①得，， ， ； （2）求的值． 设 ①， ②， ②①得，， ， ， 【变式训练】 1．（1）求的值． 设， 等式两边同时乘以2得，， 两式相减得，， 即； （2）求的值．（其中为正整数） 设， 等式两边同时乘以得，， 两式相减得，， ， 即． 2．求的值． 设 ①， ②， ②①得，， ， ， 的值为． 【例4】公式计算： 1．观察下列各式： （1）根据以上规律，则　　． （2）你能否由此归纳出一般性规律：　　． （3）根据上述的规律，求的值． ； （4）根据上述的规律，求的值． ， ， ． 2．已知，，，，按照这个规律完成下列问题： （1）　225　　5　　6　． （2）猜想：　　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 解：原式 3．观察下列各式，回答问题 ，，． 按上述规律填空： （1）　 　　 　． （2）计算：　 　． 原式． 【变式训练】 1．仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①　　（其中为正整数，且； ②　　； ③　　； ④　　； ⑤　　； （2）根据上述规律求的值； ； （3）根据上述规律：的值为 　342　． ， 取，，， ， ． 2．阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，求的值； 原式 （2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； 为正整数）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：． ①， ②， 则②①得：． 3．观察下列算式，， （1）研究上述算式，你发现什么规律？请用你的发现计算：； 原式； （2）计算：是正整数）． 原式 【例5】新定义： 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． （1）直接写出计算结果：　　，　　． （2）关于除方，下列说法错误的是 　C　． ．任何非零数的圈2次方都等于1 ．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 ． ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （3）算一算：． 原式 2．我们规定运算符号的意义是：当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算：． 3．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即．那么，　2 　，　 ． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用！表示，例如：1！，2！，3！，4！，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算 5！　120 　 （2）已知为整数，求出满足该等式的． 已知等式化简得：，即， 解得：或． 【变式训练】 1．在有理数范围内定义一种新运算，规定，为常数），若． （1）求； ，，解得：， ，，； （2）设，，试比较，的大小； ， ， ； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． ，， ， ， 当时，无论取何值，都成立， 解得：， ， 解得：． 2．材料1新规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？如：（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣3）×（﹣）3． （1）直接写出计算结果：＝ 　 -2 　 ． 材料2新规定：自然数1到n的连乘积用表示n!，例如：1!＝1，2!＝1×2＝2，3!＝1×2×3＝6，4!＝1×2×3×4＝24，…在这种规定下： （2）仿照上面的算式，将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　 　 ； （3）算一算： ＝﹣ ＝ ＝ 3．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即．那么，　2　，． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用！表示，例如：1！，2！，3！，4！，，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算5！　120　． （2）已知为有理数，求出满足该等式的． 已知等式化简得， 解得：或． 【课后过关】 1．计算：． 原式的倒数= ， 则． 2．计算　　． 解：，，以此类推， ． 故答案为：． 3．计算：． 原式． 4．求的值． 原式 5．阅读探究． ． （1）根据上述规律，求的值； ； （2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）利用你发现的规律，计算下面算式的值：． ． ． 6．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为． （1）计算：　2　；　　； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，，在这种规定下： （2）求出满足该等式的； ，， 去绝对值号得：或者， 解得：或． （3）当为何值时，． ∵，∴， ①当时，，解得． ②当时，，无解， ③当时，，解得． 故或7 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 有理数巧算 【课前热身】 1．已知，为有理数，，，则 　　． 2．已知，，且，则的值为 　　． 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 4．若，则　　． 5．计算： （1）； （2）． （3）． 【学习目标】 熟练掌握正逆用运算律、错位相减、裂项等有理数的运算技巧。 【知识梳理】 【典例精析】 【例1】逆用运算律（求倒数）： 1．计算： （1）； （2） 【变式训练】 1．计算： （1）； （2） 【例2】裂项： 1．计算： （1）； （2）若与互为相反数，求． 2．计算题：． 3．计算：． 【变式训练】 1．计算： （1）； （2）若与互为相反数，求 ． 2．问题解决：求的值． 3．计算：． 4．计算：． 【例3】错位相减： 1．阅读材料：计算：． 解：设，① 将等式两边同时乘2，得：，② 由②①，得：，即：， ． 请你仿照此法回答下列问题： （1）填空： 　　． （2）计算：．（结果保留幂的形式） （3）计算：．为正整数） 2．（1）求的值； （2）求的值． 【变式训练】 1．（1）求的值． （2）求的值．（其中为正整数） 2．（1）求的值； （2）求的值． 【例4】公式计算： 1．观察下列各式： （1）根据以上规律，则　　． （2）你能否由此归纳出一般性规律：　　． （3）根据上述的规律，求的值． （4）根据上述的规律，求的值． 2．已知，，，，按照这个规律完成下列问题： （1）　　　　　　． （2）猜想：　　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 3．观察下列各式，回答问题 ，，． 按上述规律填空： （1）　 　　 　． （2）计算：　 　． 【变式训练】 1．仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①　　（其中为正整数，且； ②　　； ③　　； ④　　； ⑤　　； （2）根据上述规律求的值； （3）根据上述规律：的值为 　　． 2．阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，求的值； （2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 3．观察下列算式，， （1）研究上述算式，你发现什么规律？请用你的发现计算：； （2）计算：是正整数）． 【例5】新定义： 1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方”． （1）直接写出计算结果：　　，　　． （2）关于除方，下列说法错误的是 　　． ．任何非零数的圈2次方都等于1 ．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 ． ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （3）算一算：． 2．我们规定运算符号的意义是：当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算：． 3．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即．那么，　 　，　 　． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用！表示，例如：1！，2！，3！，4！，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算 5！　 　 （2）已知为整数，求出满足该等式的． 【变式训练】 1．在有理数范围内定义一种新运算，规定，为常数），若． （1）求； （2）设，，试比较，的大小； （3）无论取何值，都成立，求此时的值． 2．材料1新规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？如：（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣3）×（﹣）3． （1）直接写出计算结果：＝ 　 　 ． 材料2新规定：自然数1到n的连乘积用表示n!，例如：1!＝1，2!＝1×2＝2，3!＝1×2×3＝6，4!＝1×2×3×4＝24，…在这种规定下： （2）仿照上面的算式，将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　 　 ； （3）算一算： 3．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即．那么，　　，　　． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用！表示，例如：1！，2！，3！，4！，，在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算5！　　． （2）已知为有理数，求出满足该等式的． 【课后过关】 1．计算：． 2．计算　　． 3．计算：． 4．求的值． 5．阅读探究． ． （1）根据上述规律，求的值； （2）你能用一个含有为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 6．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为． （1）计算：　　；　　； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，，在这种规定下： （2）求出满足该等式的； （3）当为何值时，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$