精品解析：江西省南康中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

南康中学高二年级上学期数学学科开学考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘除法运算化简. 【详解】. 故选：A. 2. 如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】 取的中点F，连接EF，CF，， 又为的中点， 在长方体中，可得， 所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角， 因为， 所以， ， 所以在中，由余弦定理得 . 故选：A. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】由,得,即或 所以,反之,则不然 所以“”是“直线与直线垂直”的 充分不必要条件. 故选:A 4. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】求出过定点，当⊥时，取最小值，根据直线垂直得到方程，求出. 【详解】，故过定点， 又，故在圆内， 所以当⊥时，取最小值，此时， 又，所以. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B 8. 已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法1：设分别为的中点，根据条件得出为等边三角形，利用球心在线段上，及，转化为关于的方程，解方程可得，从而求出球的表面积； 方法2：由已知条件得出为等边三角形，利用球心在线段上，易知在直线上的射影为正的重心，结合，求出，再结合勾股定理即可求出，从而求出球的表面积. 【详解】方法1：如图，设分别为的中点，连接， 则是边长为的等边三角形， 则球心必在线段上，其中， 设球的半径为，在中，, 又,, 所以在中，, 因为，所以. 解得， 故球的表面积为. 方法2：如图，设分别为的中点， 连接，则球心必在线段上，且. 设在直线上的射影为，则为正的重心，且底面. 所以， 所以，， 故球的表面积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行. 【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误． 对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误． 对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误． 对于D，因为，设平面平面，，所以， 因为l，m是异面直线，，所以l，a相交， 因为，，，所以， 因为，，l，a相交，所以，D正确． 故选：ABC 10. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l的一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 11. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理和余弦函数的性质即可判断A；由正弦定理及正切函数的性质即可判断B；由余弦函数的单调性即可判断C；由余弦定理，基本不等式及余弦函数的性质即可判断D． 【详解】对于A选项，在中，因为，又， 所以，即为锐角，但题中没有告诉最大， 所以不一定是锐角三角形，故A错误； 对于B选项，，由正弦定理得， 整理得，即一定是等边三角形，故B正确； 对于C选项，因为，在单调递减， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得，所以， 由余弦定理可得， ，当且仅当时，等号成立， 则当，时，，即角可以大于，故D错误； 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则与夹角的余弦值为：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先对化简求出，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，解得， 所以， 即与夹角的余弦值为. 故答案为： 13. 已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可证得平面．则关于平面对称，可得即可得出结果. 【详解】如图，连接．因为，都为正三角形，为的中点， 所以，，，所以平面． 所以关于平面对称，，， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分. 15. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 17. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合二倍角公式可得，再根据正弦定理进行边角互化可得解； （2）由余弦定理可得，再利用等面积法可得角分线的长度. 【小问1详解】 由， 则， 即， 再由正弦定理可知， 即，则， 又，则， 所以，， 又，所以； 【小问2详解】 由，， 则，即， 解得， 又为的平分线， 则， 所以，即， 所以， 解得. 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 19. 已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】（1），；； （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【小问1详解】 观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． 【小问2详解】 由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； 【小问3详解】 依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学高二年级上学期数学学科开学考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 6 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 10. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l的一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 11. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ） A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则与夹角的余弦值为：______． 13. 已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______． 四、解答题：本小题共5小题，共77分. 15. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 17. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求的长. 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 19. 已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数在内恰有6个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $