21.1 一元二次方程 课时练 2025-2026学年九年级上册数学人教版

2025-2026学年九年级上册数学人教版课时练 21.1 一元二次方程 姓名： 班级： 学号： 评价： 知识链接 一、一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.需同时满足三个条件： （1）只含一个未知数（“一元”）； （2）未知数的最高次数是2（“二次”）； （3）是整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数等）。 二、一元二次方程的一般形式 1.一般形式：（其中、、是常数，且）。 2.各项名称： （1）：二次项，是二次项系数（，否则方程变为一次方程）； （2）：一次项，是一次项系数（可以为0，此时方程为，是特殊的一元二次方程）； （3）：常数项（可以为0，此时方程为，也是特殊的一元二次方程）。 三、将方程化为一般形式的步骤 1.去括号：若方程有括号，先去括号（注意符号）； 2.移项：将所有项移到等号左边，使右边为0（移项要变号）； 3.合并同类项：将同类项合并，化为的形式； 4.调整系数符号：通常使二次项系数为正数（如需，可两边同乘-1）。 四、一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做根。 2.检验方法：将未知数的值代入方程，若左边=右边，则该值是方程的根；否则不是。 基础巩固 一、选择题 1.．下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程中，一次项的系数是（　　） A．2 B．1 C．4 D． 3．在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A． B． C． D． 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若 是关于 的一元二次方程 的解， 则 （　　） A．-2 B．-4 C．4 D．-6 7．已知实数是关于的一元二次方程的根，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 能力提升 二、填空题 9．若关于的方程的一个根为1，则　 　． 10．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程　 　． 11．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为　 　． 12．已知是一元二次方程，则　 　． 三、解答题 13．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 14．已知关于x的方程（m-1）x2+x-2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 15．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 16．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得； 化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式； （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学人教版课时练 21.1 一元二次方程 姓名： 班级： 学号： 评价： 知识链接 一、一元二次方程的定义 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2.需同时满足三个条件： （1）只含一个未知数（“一元”）； （2）未知数的最高次数是2（“二次”）； （3）是整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数等）。 二、一元二次方程的一般形式 1.一般形式：（其中、、是常数，且）。 2.各项名称： （1）：二次项，是二次项系数（，否则方程变为一次方程）； （2）：一次项，是一次项系数（可以为0，此时方程为，是特殊的一元二次方程）； （3）：常数项（可以为0，此时方程为，也是特殊的一元二次方程）。 三、将方程化为一般形式的步骤 1.去括号：若方程有括号，先去括号（注意符号）； 2.移项：将所有项移到等号左边，使右边为0（移项要变号）； 3.合并同类项：将同类项合并，化为的形式； 4.调整系数符号：通常使二次项系数为正数（如需，可两边同乘-1）。 四、一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做根。 2.检验方法：将未知数的值代入方程，若左边=右边，则该值是方程的根；否则不是。 基础巩固 一、选择题 1.．下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：、，化简后为，是一元一次方程，原选项不符合题意 、中没有，不能判定是一元二次方程，原选项不符合题意 、只含一个未知数x，最高次数2，是整式方程，是一元二次方程，原选项符合题意 、含两个未知数x，y，不是一元二次方程，原选项不符合题意 故选：. 【分析】依据一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程，一般形式，逐一判断选项，核心是定义的准确应用. 2．一元二次方程中，一次项的系数是（　　） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程中，一次项的系数是4， 故答案为：C. 【分析】先将方程化简为一般式，再利用二次项（系数）的定义、一次项（系数）的定义及常数项的定义（ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项）分析求解即可. 3．在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，每人要和(x-1)人碰杯，但两人之间碰杯重复计算了一次，所以实际碰杯次数为 如果一共碰杯55次 则 故选：C. 【分析】基于x人两两碰杯，每人碰(x-1)次，需剔除重复计数的逻辑，推导碰杯次数的表达式，结合已知碰杯总数列方程. 4．关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 故答案为：B. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程得便可求解. 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：x(x+1)=3x+2 去括号，得：x2+x=3x+2 移项，得：x2+x-3x-2=0 合并同类项，得：x2-2x-2=0 故答案为D 【分析】本题考查把一元二次方程整理成一般式的过程，明确其一般式的形式是关键。先去括号，再移项，合并同类项等步骤可得答案。 6．若 是关于 的一元二次方程 的解， 则 （　　） A．-2 B．-4 C．4 D．-6 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： 将x=1代入方程可得：1+a+2b=0， ∴a+2b=-1 ∴ 故答案为：B 【分析】将x=1代入方程可得a+2b=-1，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 7．已知实数是关于的一元二次方程的根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵实数是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：D 【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，求出的值，最后再将的值代入 ，即可求解。 8．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 能力提升 二、填空题 9．若关于的方程的一个根为1，则　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：关于的方程的一个根为1， 将x=1代入方程得 解得：m=5 故答案为：5. 【分析】将x=1代入方程得关于m的方程，解方程即可求解. 10．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意：， 故答案为：． 【分析】根据 一个数为x ，另一个数位x+2，利用“乘积等于35”列一元二次方程解题即可． 11．若关于的二次方程的常数项等于，则的值为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：根据一元二次方程的常数等于0， 可得，且，解得，且，所以． 故答案为：2． 【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得到方程且，进而得出答案． 12．已知是一元二次方程，则　 　． 【答案】-3 【解析】【解答】解：由题可得’ 解得：m=-3， 故答案为：-3. 【分析】根据一元二次方程的定义“形如ax2+bx+c=0(a≠0）的等式是一元二次方程”解题即可. 三、解答题 13．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】解：去括号，得 移项、合并同类项，得 二次项系数化为 1，得 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0． 【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。 14．已知关于x的方程（m-1）x2+x-2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）解：∵（m-1）x2+x-2＝0， ∴此方程是一元一次方程，则m-1＝0， 解得m＝1． 即m＝1时，此方程是一元一次方程； （2）解：∵（m-1）x2+x＝2＝0， 此方程是一元二次方程，则m-1≠0， 解得m≠1． 即m≠1时，此方程是一元一次方程． 【解析】【分析】(1) 当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程； (2)当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程. 15．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】解：将x=m代入方程可得： m2+3m-4=0，即m2+3m=4 ∴原式=m2+2m+1+m2+4m=2(m2+3m)+1=2×4+1=9 【解析】【分析】将x=m代入方程可得m2+3m=4，化简代数式，再整体代入即可求出答案. 16．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得； 化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式； （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1）解：设所求方程的根为，则， 把代入方程得， 即所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， 把代入方程得， 整理得， 即所求方程为， 【解析】【分析】（1）根据题意设所求方程的根y，列出x=-y关系式，再代入原方程化简即可； （2）根据题意设所求方程的根y，列出关系式，再代入原方程，方程左右两边同时乘以y2化简即可. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$