专题04 因式分解易错必刷题型专训（60题15个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（湘教版2024）

专题04 因式分解章末易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）以下式子变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）等式(x＋2)2＝x2＋4x＋4从左到右的运算是 ． 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课前预习）利用 运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则 ， ． 7．（2025·湖南邵阳·模拟预测）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ． 8．（24-25八年级上·湖南永州·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【易错必刷三 公因式】 9．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）多项式的公因式是（　　） A．a B． C． D． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式与的公因式是 ． 11．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若与为关联多项式，则为 ． 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（24-25八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式： ． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）对于任意整数m，多项式都能被 整除．（填符合题意的最大整数） 16．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 19．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）方程的两个实数根为则的值为 ． 20．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解： ． 23．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如果，，那么 ． 24．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 26．（2025·湖南湘潭·模拟预测）因式分解： ． 27．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）因式分解： 28．（24-25八年级上·湖南常德·期末）数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）把分解因式，结果正确的是（   ） A．y（x2-4） B．y（x+4）（x-4） C．y（x+2）（x-2） D． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解： （1） ； （2） ． 31．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）分解因式 (1) (2) 32．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·湖南益阳·模拟预测）把多项式因式分解的结果是 ． 35．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分解因式：． 36．（24-25八年级上·湖南常德·期末）按要求完成下列各小题 (1)分解因式：； (2)利用乘法公式简便计算：． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则k的值为（        ） A．100 B．101 C．200 D．204 38．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）利用因式分解计算：= 39．（24-25八年级上·湖南永州·期末）利用因式分解计算： (1) (2)． 40．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）分解因式 ． 43．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ． 44．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 46．（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 47．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）因式分解 (1) (2) (3) (4) 48．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【易错必刷十三 因式分解的应用】 49．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为，，，，其中，，则原正方形菜地的边长为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 51．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）用简便方法计算： ． 52．（25-26八年级上·湖南益阳·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【易错必刷十四 因式分解的新定义计算题】 53．（2025·湖南岳阳·模拟预测）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 54．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：对于任意实数x，都有，若，，则将因式分解的结果为 ． 55．（24-25八年级上·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 56．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若定义一种运算：，如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； (3)若，求（1）中计算所得的多项式的值． 【易错必刷十五 因式分解的规律计算题】 57．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 58．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）找规律：m2﹣1＝（m﹣1）（m+1），m3﹣1＝（m﹣1）（m2+m+1），m4﹣1＝（m﹣1）（m3+m2+m+1）…根据上面的规律得mn﹣1＝ ． 59．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）观察下列等式： ①，②，③，④，… (1)请按以上规律写出第⑥个等式：________： (2)猜想并写出第n个等式：________；并证明猜想的正确性． 60．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）观察下列各式： （1）x5－1＝ ．                     （2）根据前面的规律可得xn－1=（x-1） ． （3）请按以上规律分解因式：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解章末易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 判断是否是因式分解】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）以下式子变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 根据定义逐项判断即可．即把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】因为不是因式分解，所以A不符合题意； 因为是因式分解，所以B符合题意； 因为是整式乘法，所以C不符合题意； 因为不是因式分解，所以D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南株洲·课后作业）等式(x＋2)2＝x2＋4x＋4从左到右的运算是 ． 【答案】整式乘法 【分析】根据正式的乘法的定义即可解题. 【详解】解：(x＋2)2＝x2＋4x＋4是完全平方, ∴从左到右的运算是整式的乘法. 【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解的联系,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 3．（24-25八年级上·湖南株洲·课前预习）利用 运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式． 【答案】整式的乘法 【解析】略 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析． 【分析】（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得； （2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得； （3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得； （4）根据因式分解的定义即可得； （5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得． 【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解 （1）不是因式分解，因为是和的形式； （2）不是因式分解，因为是和的形式； （3）不是因式分解，因为是单项式； （4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义； （5）不是因式分解，因为中的不是整式． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键． 【易错必刷二 已知因式分解的结果求参数】 5．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值． 【详解】解：∵， ∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2-nx-2， ∴m=3，p=-1，3p+2=-n， ∴n=1， 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题． 6．（2025·湖南益阳·模拟预测）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中、代表两个被污染的系数），则 ， ． 【答案】 －1 －3 【分析】利用整式乘法和因式分解的关系进行分析求解 【详解】由题意得，－6＝2，2＋， 解得：－3，－1， 故答案为：－1；－3． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法是恒等变形是关键． 7．（2025·湖南邵阳·模拟预测）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据因式分解的结果，进行多项式的乘法运算，进而即可求解． 【详解】解：∵，且为整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 8．（24-25八年级上·湖南永州·期中）在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 【易错必刷三 公因式】 9．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）多项式的公因式是（　　） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义判断即可．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：的公因式是a． 故选：A． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）多项式与的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴该多项式的公因式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握公因式的确定方法，是解决问题的关键． 11．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）若两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若与为关联多项式，则为 ． 【答案】 【分析】将多项式因式分解，根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，则 =（x+5）（x5）， ∵与为关联多项式， ∴b=±5． 故答案为：±5． 【点睛】本题考查了公因式，掌握多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键． 12．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】有公因式;公因式为(x+2) 【分析】分别将多项式A=3x2-12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】解：多项式A、B、C有公因式， ∵A=， B=， C= ∴多项式A、B、C的公因式是： 【点睛】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键. 【易错必刷四 提公因式法分解因式】 13．（24-25八年级上·湖南永州·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式分解因式，确定多项式各项系数的最大公约数，以及共有字母的最低次数，组合得到公因式，即可作答． 【详解】解：， ∴把多项式分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 14．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 利用提公因式法，将各项的公因式 提出，将各项剩下的商式写在一起，作为因式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）对于任意整数m，多项式都能被 整除．（填符合题意的最大整数） 【答案】8 【分析】本题考查因式分解，原多项式分解因式得到，进而可得结论． 【详解】解： ， ∵能被8整除， ∴多项式都能被8整除， 故答案为：8． 16．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查了分解因式．运用提公因式法或公式法进行分解即可解答． 【详解】解：选择，， ∴； 选择， ∴； 选择，，， ∴． 【易错必刷五 判断能否用公式法分解因式】 17．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）下列多项式不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式得出答案． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意；     B. ，故该选项不符合题意；     C. 不能用公式法因式分解，故该选项符合题意；     D. ，故该选项不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 18．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解； ②，能用完全平方公式进行因式分解； ③不能用完全平方公式进行因式分解； ④，用完全平方公式进行因式分解 故选C 【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键． 19．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）方程的两个实数根为则的值为 ． 【答案】25 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个解，则；是解本题的关键． 20．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）在多项式①﹣m2+9；②﹣m2﹣9；③2ab﹣a2﹣b2；④a2﹣b2+2ab；⑤（a+b）2﹣10（a+b）+25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号）． 【答案】 ① ③⑤ 【详解】试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解． 根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，对各选项验证即可． 解：①﹣m2+9可直接应用平方差公式分解； ②﹣m2﹣9是两数的平方和的相反数，不能因式分解； ③2ab﹣a2﹣b2符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； ④a2﹣b2+2ab不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； ⑤将（a+b）看作一个整体，（a+b）2﹣10（a+b）+25符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． 故能用平方差公式因式分解的有 ①；能用完全平方公式因式分解的有 ③⑤（填序号）． 故答案为①；③⑤． 考点：因式分解-运用公式法． 点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键． 【易错必刷六 平方差公式分解因式】 21．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解题关键． 【详解】解：由题意得：只有B选项能用平方差公式分解因式， 故选：B 22．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式．根据平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·湖南株洲·课后作业）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握以上的知识点是解题关键． （1）根据提公因式法和公式法因式分解； （2）根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【易错必刷七 完全平方公式分解因式】 25．（24-25八年级上·湖南益阳·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 26．（2025·湖南湘潭·模拟预测）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了运用完全平方公式分解因式，关键是熟练掌握运用完全平方公式分解因式．首先进行整式的乘法运算，然后化简，再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：， 27．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的完全平方公式及其应用，关键在于识别多项式的结构特点，将视为整体，从而直接应用完全平方公式进行因式分解．将视为整体，可直接应用公式进行分解． 【详解】解： 28．（24-25八年级上·湖南常德·期末）数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方的形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ， 因为，即， 所以， （2）解：因为， 所以 即， 所以不论为何值时，一定大于或等于0， 所以不可能小于0． 【易错必刷八 综合运用公式法分解因式】 29．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）把分解因式，结果正确的是（   ） A．y（x2-4） B．y（x+4）（x-4） C．y（x+2）（x-2） D． 【答案】C 【分析】先提取公因式，在应用平方差公式即可； 【详解】； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，准确计算是解题的关键． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·单元测试）因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （2）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解，熟记公式并正确求解是解答的关键． 31．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接利用平方差因式分解即可； （2）先分组，利用完全平方公式对因式分解，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 【易错必刷九 综合提公因式和公式法分解因式】 33．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．先提公因式，然后再用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 34．（2025·湖南益阳·模拟预测）把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 35．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：原式 ． 36．（24-25八年级上·湖南常德·期末）按要求完成下列各小题 (1)分解因式：； (2)利用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式化为，再进一步计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：原式． 【易错必刷十 因式分解在有理数简算中的应用】 37．（2025·湖南益阳·模拟预测）若，则k的值为（        ） A．100 B．101 C．200 D．204 【答案】D 【分析】移项后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用平方差公式进行简便运算． 38．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）利用因式分解计算：= 【答案】992000 【分析】根据平方差公式进行因式分解再计算即可. 【详解】解：9962-16=9962-42=（996+4）（996-4）=1000992=992000 故答案为992000. 【点睛】主要考查公式法分解因式，正确地运用平方差公式是解决问题的关键． 39．（24-25八年级上·湖南永州·期末）利用因式分解计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因数，进行计算即可得； （2）提取公因数，运用平方差公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 40．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则方程，根据完全平方公式进行计算，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ， 解得：． 【点睛】本题考查新定义运算，平方差公式，完全平方公式，根据新定义进行计算是解题的关键． 【易错必刷十一 十字相乘法】 41．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键．先利用十字相乘法去掉括号，再根据等式的性质得． 【详解】解：， ∴ 解得：． 故选：B 42．（24-25八年级上·湖南湘潭·阶段练习）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的另一种方法—用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可． 【详解】解： ． 44．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【易错必刷十二 分组分解法】 45．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 【答案】B 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【详解】解：a2-ab-ac+bc=11， （a2-ab）-（ac-bc）=11， a（a-b）-c（a-b）=11， （a-b）（a-c）=11， ∵a＞b， ∴a-b＞0，a，b，c是正整数， ∴a-b=1或11，a-c=11或1． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 46．（2025·湖南娄底·模拟预测）因式分解： ． 【答案】（x＋y＋1）（x＋y－1） 【分析】根据分组分解法与公式法因式分解即可． 【详解】解：原式＝（x＋y＋1）（x＋y－1）． 故答案为：（x＋y＋1）（x＋y－1）． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法与公式法因式分解是解题的关键． 47．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接用完全平方公式进行因式分解； （2）先直接用平方差公式进行因式分解； （3）先添括号分组，再把利用提公因式分解； （4）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 48．（24-25八年级上·湖南常德·期末）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 (1)根据材料1，把分解因式． (2)结合材料、完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． (3)结合材料分解因式； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）仿照题意分解因式即可； （2）①仿照题意分解因式即可；②先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （3）先利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴； ② ， ∵， ∴ ， ∴； （3）解： ． 【易错必刷十三 因式分解的应用】 49．（2025·湖南张家界·模拟预测）如图，一块正方形菜地被分割成四部分，其面积分别为，，，，其中，，则原正方形菜地的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．根据四部分的面积和为，即，因此正方形的边长为． 【详解】解：， 原正方形的边长为， 故选：C． 50．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据长方形的周长和面积，可以得到和的值，然后将所求式子因式分解，即可求得所求式子的值． 【详解】解：，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为， ，， 即， ， 故答案为：． 51．（25-26八年级上·湖南株洲·单元测试）用简便方法计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 先提取公因式，再进行简便计算即可． 【详解】解：原式： ． 52．（25-26八年级上·湖南益阳·单元测试）【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 【易错必刷十四 因式分解的新定义计算题】 53．（2025·湖南岳阳·模拟预测）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 54．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：对于任意实数x，都有，若，，则将因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，列出关于，的方程，解方程求出，，再次利用新定义把所求式子写成整式形式，然后分解因式即可．本题主要考查了代数式求值，加减消元法，因式分解，解题关键是根据已知条件中的新定义，求出，的值． 【详解】解：，，， ，， ， ②①得：， 把代入①得：， ， ， 故答案为：． 55．（24-25八年级上·湖南永州·期中）现用“☆”定义新运算：x☆y＝x3﹣xy． （1）计算x☆（x2﹣1）； （2）将x☆16的结果因式分解． 【答案】（1）x；（2）x（x＋4）（x﹣4） 【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，分解即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣x（x2﹣1） ＝x3﹣x3＋x ＝x； （2）根据题中的新定义得： 原式＝x3﹣16x ＝x（x2﹣16） ＝x（x＋4）（x﹣4）． 【点睛】此题考查了整式的混合运算及提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 56．（24-25八年级上·湖南常德·期末）若定义一种运算：，如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； (3)若，求（1）中计算所得的多项式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式混合运算，分解因式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据定义，列式进行计算即可； （2）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式； （3）将整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷十五 因式分解的规律计算题】 57．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则按此规律推算的结果一定能（    ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 58．（2025八年级上·湖南株洲·专题练习）找规律：m2﹣1＝（m﹣1）（m+1），m3﹣1＝（m﹣1）（m2+m+1），m4﹣1＝（m﹣1）（m3+m2+m+1）…根据上面的规律得mn﹣1＝ ． 【答案】（m-1）（mn-1+mn-2+…+m+1） 【分析】直接利用公式法以及变化规律进而得出答案． 【详解】解：∵m2﹣1＝（m﹣1）（m+1），m3﹣1＝（m﹣1）（m2+m+1），m4﹣1＝（m﹣1）（m3+m2+m+1）… ∴根据上面的规律得：mn﹣1＝（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）． 故答案为：（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）． 【点睛】本题主要考查因式分解，找到规律是解题的关键． 59．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）观察下列等式： ①，②，③，④，… (1)请按以上规律写出第⑥个等式：________： (2)猜想并写出第n个等式：________；并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查对规律型问题的理解和有理数的运算能力，找到规律是解题关键． （1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案； （2）根据发现的规律写出第个等式并计算可进行验证． 【详解】（1）解：第⑥个式子为：； 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：， 证明：左边右边， 故答案为：． 60．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）观察下列各式： （1）x5－1＝ ．                     （2）根据前面的规律可得xn－1=（x-1） ． （3）请按以上规律分解因式：． 【答案】（1） （x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）；（2）（xn－1＋xn－2＋……＋x2＋x＋1）；（3）（x－1）（x2007＋x2006＋……＋x2＋x＋1） 【分析】（1）根据已知的等式即可因式分解x5－1； （2）根据已知的等式即可因式分解xn－1； （3）把n=2008代入（2）即可求解． 【详解】（1）∵ ∴x5－1＝（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）； 故答案为：（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）； （2）∵ x5－1＝（x－1）（x4＋x3＋x2＋x＋1）； ∴xn－1=（x-1）（xn－1＋xn－2＋……＋x2＋x＋1） 故答案为：（xn－1＋xn－2＋……＋x2＋x＋1）； （3）xn－1=（x-1）（xn－1＋xn－2＋……＋x2＋x＋1） ∴=（x－1）（x2007＋x2006＋……＋x2＋x＋1）． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据已知的等式发现规律进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$