4.4一次函数的应用课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 4 一次函数的应用（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 复习旧知 通过观察一次函数的图象可以获得哪些信息？ （1）通过观察一次函数的图象可以确定k和b的符号； （2）通过观察一次函数的图象可以判断函数的变化趋势； （3）通过观察一次函数的图象可以得出自变量与因变量的对应值； （4）通过观察一次函数的图象与x轴的交点坐标可以确定b的值。 探究思考 某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与该摩托车行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱油可供该摩托车行驶多少千米？ 油箱最多可储油10升。 一箱油可供该摩托车行驶500千米。 （3）该摩托车每行驶100km消耗多少升油？ 该摩托车每行驶100km消耗2升油。 （4）油箱中的剩余油量小于1 L时，该摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？ 加满油行驶450千米后，该摩托车将自动报警。 活动1：利用函数图象解决问题 探究思考 如何利用函数图象获取信息？ （1）理解横、纵坐标分别表示的实际意义； （2）分析已知条件，在图象中找准对应点，获取所需信息，从而解决问题； （3）将“数”转化为“形”，由“形”定“数”。 探究思考 例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： （1）干旱开始时该水库的蓄水量是多少？ 解：观察图象，得 （1）当t＝0时，V＝1 200。因此，干旱开始时该水库的蓄水量为1 200万m3。 探究思考 （2）干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？干旱持续23天呢？ 例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： 解：观察图象，得 （2）当t＝10时，V＝1 000。因此，干旱持续10天，该水库的蓄水量为1 000万m3。当t＝23时，V≈750。因此，干旱持续23天，该水库的蓄水量约为750万m3。 探究思考 （3）该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？ 例1 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： 解：观察图象，得 （3）当V＝400时，t≈40。因此，干旱持续约40天将发出严重干旱警报。 按照例1呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？你是怎么做的？ 【尝试·思考】 探究思考 归纳发现 活动2：探究一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”的方面看：在一次函数y＝－20x＋1 200中，函数值为0时，相应的自变量的值即为方程－20x＋1 200＝0的解。 （2）从“形”的方面看：一次函数y＝－20x＋1 200与x轴交点的横坐标即为方程－20x＋1 200＝0的解。 20 【思考·交流】 结合例1想一想，一元一次方程－20x＋1 200＝0与一次函数y＝－20x＋1 200有什么联系？ 归纳发现 活动2：探究一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y＝kx＋b中，y＝0时的x值。 一次函数y＝kx＋b与x轴交点的横坐标。 从函数值看 从图象看 一元一次方程y＝kx＋b的解。 一元一次方程kx＋b＝0的解。 一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。 【思考·交流】 归纳发现 活动2：探究一次函数与一元一次方程之间的关系 一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。 一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解。从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解。 【思考·交流】 运用巩固 如图，某植物栽种后经过t天的高度为y cm，l表示y与t之间的关系。根据图象回答下列问题： （1）该植物刚栽种时有多高？ （2）该植物栽种后经过10天的高度为多少？经过4天呢？ （3）写出l对应的函数表达式y＝kt＋b，其中k和b的实际意义分别是什么？ （4）该植物何时长到8 cm？ （5）按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17cm？ 课堂小结 （1）本节课你学习了哪些知识？ （2）本节课研究的过程和思想方法是怎样的？ （3）运用今天的学习经验，今后还可以研究什么内容？ 布置作业 1.必做题：习题4.4 第3，4，5题。 2.选做题：习题4.4 第6题。 $$ 第四章 一次函数 4 一次函数的应用（第1课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 创设情境，导入新课 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（单位：m/s）与其下滑时间t（单位：s）之间的关系如图所示。 （1）写出v与t之间的关系式； （2）物体下滑3 s时速度是多少？ 变换情境，建立模型 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流。 只需知道一个异于原点的点就可以求出正比例函数的表达式，即只需一个条件即可。 【思考·交流】 确定一次函数的表达式需要两个条件。 变换情境，建立模型 例1 在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：kg）的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16 cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度。 解：设 y=kx+b，根据题意，得 14.5=b， ① 16=3k+b。 ② 将①代入②，得 k=0.5。 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5。 当 x=4时，y=0.5×4＋14.5=16.5。 因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm。 变换情境，建立模型 某根蜡烛燃烧前长30 cm;燃烧时，剩下的长度y（单位：cm）是燃烧时间x（单位：h）的一次函数。当这根蜡烛燃烧2 h时，剩下的长度为18 cm。 （1）写出y与x之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 【尝试·思考】 归纳总结，内化模型 观察前面两个问题解决的过程，有哪些步骤是相同的？你能否归纳出确定一次函数表达式的一般步骤？ 求一次函数 表达式的步骤 （1）设函数表达式 （2）根据已知条件列出有关k，b的方程 （3）解方程，求k，b （4）将k，b代回表达式中，写出表达式 布置作业 A层（基础巩固）：完成教科书第96页“随堂练习“ 第1~3题。 B层（技能掌握）：完成教科书习题4.4第1题。 C层（能力提升）： 如图，左图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10 cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm。若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm（如右图），求y关于x的函数表达式。 左图 右图 谢谢 $$ 第四章 一次函数 4 一次函数的应用（第3课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。 根据图象填空： （1）当销售量为2 t时，销售收入为　 元，销售成本为 　元。 （2）当销售量为6 t时，销售收入为　 元，销售成本为　 　元。 （3）当销售量 　 时，销售收入等于销售成本。 （4）当销售量　 　时，销售收入大于销售成本，该公司赢利；当销售量 　 时，销售收入小于销售成本，该公司亏损。 2 000 3 000 6 000 5 000 等于4 t 大于4 t 小于4 t 情境引入 图1 根据图象填空： （5）当销售量为 　 t时，该公司赢利1000元。 （6）l1对应的函数表达式是 　 　，l2对应的函数表达式是 　 　。 6 y＝1 000x y＝500x＋2 000 （7）你能借助（6）的结论求解（5）吗？ 解：根据题意，得l1－l2＝1 000， 即1 000x－(500x＋2 000)＝1 000， 解得 x=6。 情境引入 如图1，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系。 图1 图1中，设l1对应的一次函数为y＝k1x+b1， k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y＝k2x+b2 ，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流。 思考交流 图1 【思考·交流】 例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。 （1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 解：当t＝0时，甲到观景台1的路程为0m，即s＝0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 深入探究 图3 图2 （2）甲和乙哪个人的速度快？ 解：t从0增加到20时， l1上点的纵坐标增加了1 000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1 000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 深入探究 图3 图2 例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。 图3 图2 （3）30 min内甲能否追上乙？ 解：如图4，延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 深入探究 图4 例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。 （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 解：在图4中，l1与l2的交点P的纵坐标小于（800＋1 300＝）2 100，这说明，甲能在到达景观台3前追上乙。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 深入探究 图4 图3 图2 例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。 （5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 解：k1表示甲的速度，k2表示乙的速度。甲的速度为50 m/min，乙的速度为30 m/min。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： 深入探究 图3 图2 例 图2是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙。图3中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系 。 1．A，B两地相距80 km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离与乙出发后的时间之间的关系。对于以下说法： ①乙出发1 h后甲才出发； ②两人相遇时，他们离开A地20 km； ③甲的速度是40 km/h，乙的速度是13 km/h； ④当乙出发2 h时，两人相距 km。 其中正确的结论是（　　）。 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ C 反馈练习 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ 回顾反思 【回顾·反思】 完成教科书习题4.4第10~12题。 作业布置 $$