4.3一次函数的图象　课件　2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 3 一次函数的图象（第2课时） 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 知识回顾 正比例函数 一次函数 图象： ？ 性质： ？ 解析式：y=kx(k≠0) 图象：经过原点（0，0）的一条直线。 k > 0 k < 0 x y O x y O 性质： k > 0，y的值随x值的增大而增大； k < 0，y的值随x值的增大而减小； |k|决定了直线的倾斜程度。 解析式：y=kx+b(k≠0) 2 操作思考 （1）用列表、描点、连线的方法画一次函数 y=2x+1的图象。 （2）一次函数 y=2x+1的图象真的是一条直线吗？ （3）一次函数 y=2x+1的图象与正比例函数 y=2x的图象有什么关系？ （4）一般地，一次函数 y=kx+b的图象与正比例函数 y=kx的图象有什么关系？ 【操作·思考】 3 x … －2 －1 0 1 2 … y=2x （－2，－4） （－1，－2） （0，0） （1，2） （2，4） y=2x+1 （－2，－3） （－1，－1） （0，1） （1，3） （2，5） • • • • • • • • • • 思考： 1. 两个函数图象上每组点坐标之间的关系； 2. 通过坐标关系确定每组点之间的位置变换规律； 3. 猜想 y=2x+1的函数图象。 操作思考 一次函数 y=2x+1的图象 4 一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数 y=kx的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b。 y=kx+b • • 操作思考 归纳小结 在一次函数 y=3x＋1，y=－x＋1，y=3x－2，y=4x－3中， （1）哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而增大；哪个函数 y 的值随着x 值的增大而减小？ （2）随着 x 值的增大，y 的值增大速度最快的函数是哪个？ （3）哪两个函数的图象相互平行？ （4）图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些？ （5）画出这四个函数的图象，验证你的结论。 尝试归纳 【尝试·思考】 6 一次函数 y=kx+b(k≠0) 图象 必过点(0，b), 常数项决定一次函数图象与y轴交点的位置 k > 0 k < 0 b > 0 b = 0 b < 0 b > 0 b = 0 b < 0 性质 k > 0时，y的值随x值的增大而增大，图象必经过第一、三象限； k < 0时，y的值随x值的增大而减小，图象必经过第二、四象限。 • • • • • • 尝试归纳 归纳小结 当k > 0时，k 值越大，直线与 x 轴正方向所成的锐角越大，函数值增大得越快。 当k < 0时， k 值越小，直线与 轴负方向所成的锐角越大，函数值减小得越快。 总结：决定了一次函数图象与 x 轴所成倾斜角大小；越大，倾斜角越大，图象变化得越快。 尝试归纳 归纳小结 8 在同一平面内，不重合的两条直线： l1：y1＝k1x+b1，l2：y2＝k2x+b2(k1k2≠0)。 当k1＝k2， b1≠b2时，两直线平行； 当k1≠k2时，两直线相交。 尝试归纳 归纳小结 对于一次函数 y=kx+b 的图象，你有哪些结论？梳理一下，并与同伴进行交流。 尝试归纳 【思考·交流】 10 1. 在直线 y=3x+6上，对于点 A(3，y1) 和点 B(2，y2) ， y1 y2。（填写大小关系） 2.（1）判断直线 与 的位置关系。 （2）已知直线 y=2x+5与直线 相交于 轴上一点，则 的值为 。 3.将直线 向下平移5个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为 。 平行。 y＝－x－5 ＞ 巩固运用 随堂练习 4.（选做）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。 解：当 x = −1 时，y 的值应为6； 函数的表达式是 y = −4x + 2。 巩固运用 随堂练习 课堂小结 一次函数 y=kx+b(k≠0) 图象 必过点(0，b), 常数项决定一次函数图象与y轴交点的位置 k > 0 k < 0 b > 0 b = 0 b < 0 b > 0 b = 0 b < 0 性质 k > 0时，y的值随x值的增大而增大，图象必经过第一、三象限； k < 0时，y的值随x值的增大而减小，图象必经过第二、四象限。 • • • • • • 课堂小结 决定了一次函数图象与x轴所成倾斜角的大小；越大，倾斜角越大，图象变化得越快。 在同一平面内，不重合的两条直线： l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2(k1k2≠0)。 当k1＝k2， b1≠b2 时，两直线平行； 当k1≠k2 时，两直线相交。 14 作业布置 1.习题4.3 第3，4， 7，9题。 2.课外探究：学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法。小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x|－3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整。 （1）列表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －1 －2 －3 a －1 b 1 … 则a=____，b=_____。 （2）描点并画出该函数的图象。 （3）①判断：函数y＝|x|－3的图象_____(填“是”或“不是”)轴对称图形； ②观察函数图象，当－3≤y≤－1时，x的取值范围是______ ； ③观察函数图象，试判断函数y＝|x|－3是否存在最小值，若存在，直接写出最小值。 15 $$ 第四章 一次函数 3 一次函数的图象（第1课时） 北师大版 数学 八年级上册 情境引入，提出问题 如图，该图象反映了摩天轮上某一点离地面的高度h（单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间的关系，借助图象可以直观地认识函数。 情境引入，提出问题 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。 情境引入，提出问题 在前一节的学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！ 一次函数 y＝kx＋b 的图象是怎样的呢？ 作图探究，验证图象 列表：首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。 x … －2 －1 0 1 2 … y … … －4 －2 0 2 4 思考：列表时，可以选取自变量x的哪些值呢？x可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？ 【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。 描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在平面直角坐标系中描出相应的点。 作图探究，验证图象 思考： （1）这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？ 【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。 连线：把这些点依次连接起来，得到y＝2x 的图象（如图），它是一条直线。 作图探究，验证图象 老师用数学软件绘图，多取一些满足 y＝2x 的点(x，y)，依次连接各点。 【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。 作图探究，验证图象 思考： （2）其他满足y＝2x的点（x，y）也在画出的直线上吗？请在平面直角坐标系中任意画两个坐标满足y＝2x 的点，看它是否也在这条直线上，和同伴交流你的发现。 描点法画函数图象的步骤 列表 描点 连线 选取一些自变量的值，求出其对应函数值并用表格表示。 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出表格中对应的各点。 把这些点依次连接起来。 作图探究，验证图象 小结 仿照前面画图经验，按照“列表、描点、连线”的步骤，建立平面直角坐标系，画出 y＝－3x的图象。 作图探究，验证图象 【思考·交流】画正比例函数y＝－3x的图象。 作图探究，验证图象 思考： （1）正比例函数y＝2x和y＝－3x的图象有什么共同特点？ （2）一般地，正比例函数y＝kx的图象有何特点？与同伴进行交流。 作图探究，验证图象 正比例函数的图象特点 小结 正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。 因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x，y＝3x， 和 的图象。 x 0 1 y＝x 0 1 y＝3x 0 3 y＝x 0 y＝4x 0 4 由于两点确定一条直线，所以画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可。 两点 作图法 研究图象，归纳性质 【尝试·思考】 研究图象，归纳性质 思考： 上述四个函数中，随着x 值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？ 函数图象 x y y＝x 增大 y＝3x 增大 y＝x 增大 y＝4x 增大 增大 增大 在正比例函数y＝kx中： 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; x逐渐增大 y逐渐增大 函数图象 x y y＝x 增大 y＝3x 增大 y＝x 增大 y＝4x 增大 研究图象，归纳性质 在正比例函数y＝kx中： 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小。 x逐渐增大 y逐渐减小 减小 减小 增大 增大 思考： 上述四个函数中，随着x 值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？ 研究图象，归纳性质 利用数学软件绘制正比例函数的图象（如图），并通过改变 k的值发现 k 对函数图象的影响。 y＝kx 图象 经过的象限 增减性 研究图象，归纳性质 正比例函数的图象性质 小结 第一、三象限 第二、四象限 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 k>0 k<0 研究图象，归纳性质 （1）正比例函数 y＝x 和 y＝3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能解释其中的道理吗？ （2）类似地，正比例函数 和 中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流。 【思考·交流】 研究图象，归纳性质 |k| 越大，直线与 x 轴的夹角（锐角）就越大，直线越陡，相应函数值增大或减小得越快。 y＝kx 图象 经过的象限 增减性 增减速度 k>0 k<0 研究图象，归纳性质 正比例函数的图象性质 小结 第一、三象限 第二、四象限 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 |k|越大，函数值增大得越快 |k|越大，函数值减小得越快 应用性质，解决问题 例 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y＝x，y＝x，y＝－x和 y＝－x 的图象，并指出随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化。 解：对于 y＝x 和 y＝x，y 的值随着 x 值的增大而增大； 对于 y＝－x 和 y＝－x，y 的值随着 x 值的增大而减小。 y＝x y＝x y＝-x y＝-x 应用性质，解决问题 随堂练习：下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的有哪些？你是怎么判断的？ （1）y＝8x；（2）y＝－0.6x；（3） ；（4） 。 解：y 的值随着 x 值的增大而减小的有（2）y＝－0.6x；（4） 。 描点法画函数图象的步骤 列表 描点 连线 选取一些自变量的值，求出其对应函数值并用表格表示。 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中对应的各点。 把这些点依次连接起来。 课堂小结，学后反思 小结1 课堂小结，学后反思 正比例函数的图象特点 小结2 正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。 因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。 y＝kx 图象 经过的象限 增减性 增减速度 k>0 k<0 课堂小结，学后反思 正比例函数的图象性质 小结3 第一、三象限 第二、四象限 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 |k|越大，函数值增大得越快 |k|越大，函数值减小得越快 课后思考，拓展提升 小明是这样理解“函数 y＝x 的图象是一条经过原点的直线”的：如图，当 x＝0 时，y＝0，所以原点（0，0）在函数 y＝x 的图象上；当 x＝t 时，y＝t，即MN＝ON，∠MON＝45°，而这个结论对任意的 t 值都成立，所以函数 y＝x 的图象是一条经过原点、与水平方向成 45°角的直线。请你解释他的想法。 $$