1.3 勾股定理的应用 课件 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 义务教育教科书 数学 八年级上册 1 情境引入，提出问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。 活动内容 图1 2 （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔测得边AD长30 cm，边AB长40 cm，点B，D之间的距离是50 cm。边AD垂直于边AB吗？ （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 活动内容 3 A B C c b a 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2。 判断一个三角形为直角三角形的方法：①如果三角形三个内角中有一个角为90°，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形三条边的长度a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 总结归纳 4 合作探究，解决问题 尝试·思考 如图2，正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出 DF 的长吗？ 边：AB=BC=CD=DA=8 cm，AE=DE=4 cm，CF=EF。 角：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∠C=∠FEH=90°，∠B=∠H=90° 。 B C A G D F E H 请同学们观察折叠前后，哪些边和角有特殊的数量关系。 图2 5 解：设DF 的长为x cm，则CF 的长为(8－x) cm。 由于CF=EF，所以EF 的长为(8－x) cm。 在Rt△EDF 中，由勾股定理，可得DF2+DE2=EF2， 即x2+42=(8－x)2。 解得 x=3。 因此，DF的长为3 cm。 x   8－x   4 B C A G D F E H 4 8－x   8   6 典例分析，应用知识 例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》，1丈=10尺） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图3）。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 读一读，理解题目大意，你能自己尝试画出平面图形，并把已知量和未知量表示在图上吗？ 图3 7 O B C A 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为（x+1）尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得 AC2+OA2=OC2， 即 52+x2=(x+1)2。 解得 x=12。 12+1=13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 8 解题反思，感受策略 1.五根小木棒的长度分别是7 cm，15 cm，20 cm，24 cm，25 cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图4所示的三个图形中哪个是正确的？ 答：正确的是图（2）。 图4 9 2.如图5，一座城墙高11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9m处架一架长为15 m的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 解：设该云梯能达到城墙顶端的高度为x m。 由勾股定理，可得 x2+92=152。 解得 x=12。 因为城墙的高度为11.7 m，12 m＞11.7 m， 因此，该云梯可以抵达城墙的顶端。 图5 10 3.如图6，当秋千OA静止的时候，踏板距离地面的竖直高度为1尺（即AC=1尺），将秋千往前推动两步（这里“两步”在古代计量中，一步约为5尺，所以EB=10尺）后，此时踏板距离地面的竖直高度增加到5尺（即BD=5尺），求秋千绳索OA（或OB）的长度。 图6 11 解：设秋千绳索的长度OA为x尺，则OB为x尺。 因为EC=BD=5尺，AC=1尺， 所以EA=EC－AC=5－1=4尺，OE=OA－EA=(x－4)尺。 在Rt△OEB中，∠OEB=90°，OE=x－4，OB=x，EB=10， 解得x=14.5。 因此，秋千绳索OA或OB的长度为14.5尺。 由勾股定理，可得OB2=OE2+EB2，即x2=(x－4)2+102。 图6 12 反思小结，强化策略 本节课的学习，你学习到了什么？你如何学到的？ 13 布置作业，拓展资源 （1）必做题：习题1.3第1，2，3题。 （2）选做题：实践作业。 问题：你能设法测量学校操场上旗杆的高度吗？ 工具：旗杆、旗杆上的绳子（长度可变化）和卷尺。 方案：4人一组进行合作探究，将旗杆上的绳子拉直，使绳子底端与旗杆底端在同一地面上（其他小组可以改变绳子的长度），测量绳子比旗杆多出的长度，以及绳子拉直后底端与旗杆底端的距离。 14 谢谢 15 $$