周测评(十八) 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十八） 数学·分类加法计数原理、分步 乘法计数原理、排列与组合 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 5.有6本不同的书，按下列方式进行分配 24分.在每小题给出的四个选项中，只 其中分配方法数正确的是 () 有一项是符合题目要求的)】 A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90 题号 1 2 3 4 种分法 答案 B.分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，另 1.若A,B,C,D,E,F六人站队照相，要求 两人各1本，有90种分法 A在B的左边（可以相邻，可以不相邻）， C.分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每 则所有不同的站法有 () A.180种 B.240种 人各1本，有90种分法 C.300种 D.360种 D.分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2 2.已知任何大于1的整数总可以分解成素 本，另两人各1本，有1080种分法 因数乘积的形式，且如果不计分解式中 6.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令 素因数的次序，这种分解式是唯一的.如 12=22×3,则2000的不同正因数个数 营主办单位计划利用暑期开设“礼”、 为 ( “乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课 A.25 B.20 程，每周一门，连续开设六周，则下列说 C.15 D.12 法正确的是 () 3.将8个大小形状完全相同的小球放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少 A.某学生从中选2门课程学习，共有15 放2个小球，则不同放法的种数为 种选法 B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有 A.3 B.6 240种排法 C.10 D.15 4.定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸 C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三 运数”，比如116,431，则所有幸运数的个 周，共有144种排法 数为 D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不 A.21 B.35 C.36 D.45 排在最后一周，共有480种排法 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 12分，在每小题给出的选项中，有多项 12分) 符合题目要求.全部选对的得6分，部 7.一个箱子里有大小形状相同的红、白、 分选对的得部分分，有选错的得0分)】 黄、黑色小球各三个，甲、乙、丙三人分别 题号 5 从箱子中任取一个球，则每次取出的球 答案 共有 种不同的组合， 高二学科素养周测评（十八）数学第1页（共2页） 1 8.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小 10.(30分)在6名内科医生和4名外科医 圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆 生中，内科主任和外科主任各1名，现 环分为n(n≥3，n∈N·)等份，种植红、 要组成5人的医疗小组送医下乡，依下 列条件各有多少种选派方法？ 黄、蓝三种不同颜色的花，要求相邻两部 (1)有3名内科医生和2名外科医生： 分种植不同颜色的花」 (2)既有内科医生，又有外科医生； (3)至少有1名主任参加； (4)既有主任，又有外科医生 (1) (2) (1)如图(1)，圆环分成3等份，分别为 a1,a2,a3,则有 种不同的种 植方法： (2)如图(2)，圆环分成4等份，分别为a1, a2a3a4,则有 种不同的种植 方法。 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(22分)某班共有16名男同学，运动会期 间，要从中选出4名男生代表本班去参 加4×100米接力赛。 (1)共有多少种选法？ (2)如果还要确定第一棒与第二棒的人 选，共有多少种选法？ (3)如果这四棒的人选都确定，共有多少 种选法？ 1 高二学科素养周测评（十八）数学第2页（共2页）衡水真题密卷 b=1, 由 1 得。1所以6，=() b=bg=2-2 (2)因为。1 1 anan+l (n+4)(n+5)n+4 n+5,所以Sm=6:+b2+…+66+,1+ 1 1十…+ 1- 11 千131414 -+…+员-品-2-（'+- 1 -3391 1664 10.解：(1)f(x)=ax-ln(x十1)，x>-1,f'(x) =a一x十1' ①若a<0,则'(x)=a-与<0，f()在 (一1，十∞)单调递减，无极值点，不合题意； 诺a>0f)-,令ra<0, 得-1x<。2令fe>0,得>12 a 故了(x)在(1，。2）上单调递减，在 (2,+)上单调递增，故了（红）aa f(。2）=1-a+ina.因为x)的零点也 是其极值点，则1一a+na=0. 设g(a)=1-a+lna(a>0),g'(a)=-1+ L=1a,当0<a<1时，g'(a)>0,当a>] 时，g'(a)<0,故g(a)在(0,1)上单调递增，在 (1,十∞)上单调递减，且g(1)=0,故g(a)= 0有唯一解a=1.此时f(x)的零点和极值点 均为x=1二a=0,符合题意.故a=1. a (2)首先注意到f(0)=0,f(x)=ax一 ln(x+1),x>0,f'(x)=a- 1 x+1 =ax+a-1 x十1 ①若a≤0，则f'(x)<0在x>0时恒成立，故 f(x)单调递诚， 则对所有x>0,f(x)<f(0)=0,不满足题 学科素养周测评 意，故舍去 @若0<a<1,当0<x<2时，fx)K0, fx)在(o,。2）上单调通波，故此时f <f(0)=0,不满足题意，故舍去； @落≥1，则了)“>0在>0 时恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 则对所有x>0,f(x)>f(0)=0,符合题意， 该情况成立. 综上所述，a的取值范围是1，十∞)： 2024一2025学年度学科素养周测评（十八）】 数学·分类加法计数原理、分步 乘法计数原理、排列与组合 一、选择题 1.D【解析】由于A,B照相的顺序一定，所以共 骑元-360种. 2.B【解析】因为2000=2×5，所以2000的 不同正因数个数为(4+1)×(3+1)=20. 3.B【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下 2个球可以放入一个金子有C种方法，放入两 个盒子有C子种方法，所以不同放法的种数为C +C=6. 4.C【解析】“各位数字之和为8的三位数叫幸 运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有： 若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运 数”： 若首位为7，则剩余两位为1,0，共有C=2个 “车运数”； 若首位为6，则剩余两位为2,0或1,1，共有C 十1=3个“幸运数”： 若首位为5，则剩余两位为3,0或2,1，共有2A =4个“幸运数”， 若首位为4，则剩余两位为4,0或3,1或2,2，共 有2A好十1=5个“幸运数”， 若首位为3，则剩余两位为5,0或4,1或3,2，共 有3A=6个“幸运数”； 若首位为2，则剩余两位为6,0或5,1或4,2或 3,3,共有3A8十1=7个“幸运数”： 若首位为1，则剩余两位为7,0或6,1或5,2或 4,3,共有4A=8个“幸运数”： ·数学· 综上所迷：共有1+2+3+4+5+6+7+8=36 个“幸运数”」 二、选择题 5.ABD【解析】对于A,先从6本书中分给甲2 本，有C种方法：再从其余的4本书中分给乙2 本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种 方法.所以不同的分配方法有CCC一90种， 故A正确： 对于B,先把6本书分成3堆：4本、1本、1本， 有C种方法：再分给甲、乙、丙三人，所以不同 的分配方法有CA号=90种，故B正确： 对于C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本 有CC种方法：其余2本分给丙、丁，有A种 方法，所以不同的分配方法有CCA=180种， 故C错误： 对于D,先把6本不同的书分成4堆：2本、2本 1本、1本，有 CC CC A号A 种方法：再分给甲、 乙，丙丁四人，所以不同的分配方法有CC CC A ·A=1080种，故D正确. 6.ABC【解析】对于A,6门中选2门共有C= 15种选法，故A正确； 对于B,课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这 两个看成一个整体，有A种排法，然后全排列 有A；=120种排法，根据分步乘法计数原理， “乐”“射”相邻的排法共有AA:=240种，故B 正确； 对于C,课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周， 先排剩下的三门课程有A=6种排法，然后利 用插空法排课程“御”“书”“数”有A员=24种排 法，根据分步乘法计数原理，得共有AA=144 种排法，故C正确； 对于D,分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后 一周，再排“数”，有A种排法，若先把“礼”不排 在最后一周，再排“数”，有CCA种排法，所以 共有A十CCA1=504种排法，故D错误. 三、填空题 7.64【解析】由题意可知，甲、乙、丙每人每次都 可能取出4种颜色不同的小球，所以取出的小 球共有4×4×4=64种不同的如合， 8.618【解析】(1)先种植a1部分，有3种不同 的种植方法，再种植a,a1部分. 因为a2,a,与a1的颜色不同，a2与a1的颜色 参考答案及解析 也不同，所以由分步乘法计数原理得，不同的种 植方法有3×2×1=6种. (2)当41，a1不同色时，有3×2×1×1=6种种 植方法，当a1,a3同色时，有3×2×1×2=12 种种植方法，由分类加法计数原理得，共有6十 12=18种种植方法 四、解答题 9.解：(1)从16名男生中选4人共有C=1820 种选法. (2)如果还要确定第一棒、第二棒的人选，则共 有C16A-21840种选法. (3)如果每一棒的人选都要确定，则共有C16A =43680种选法. 10.解：(1)先选3名内科医生共有C=20种选 法，再选2名外科医生共有C一6种选法，故 选派方法共有20×6=120种。 (2)既有内科医生，又有外科医生包括四种情 况：内科医生去1,2,3,4人，可得选派方法共 CC+CC:+CC+CC=246. (3)分两类：一是选1名主任有C2C=140种 方法：二是选2名主任有CC=56种方法，故 至少有1名主任参加的选派方法共140+56= 196种. (4)若选外科主任，则其余可任意选，共有C= 126种选法：若不选外科主任，则必选内科主 任，且剩余四人不能全选内科医生，有C一C =65种选法，故既有主任，又有外科医生的选 派种数为126十65=191种. 2024一2025学年度学科素养周测评（十九）】 数学·二项式定理 一、选择题 1.A【解析】晨开式中的第二项、第三项、第四项 的二项式系数依次为C,C,C,依题意，有C +C=2C,即n+1a-1）n-2》=n(m-1), 6 整理得n(n一1)(n一2)=6n(n一2)，解得n=7 或n=2,因为n≥3，所以n=7,所以展开式中 共有8项. 2.B【解析】因为22o4-4112-(3十1)1i =Co1e×34o1+Com×31o1+Coa×311o+ +C8×32+C×3+C8×3°， 其中C9:X3o12+C2×31+C号1z×3o0 1