周测评(十六) 导数在研究函数中的应用-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

·数学· 1 2 -m2-1十m 所以直线AB的斜率 =1,所以 1 4一n n=m-m十是由于m>0,所以开 m+3 3-1 +-1≥2m· 3 3-1,当且仅当m=乞时取等号. 所以”的最小值为√3-1. 2024一2025学年度学科素养周测评（十六）】 数学·导数在研究函数中的应用 一、选择题 1.A【解析】f'(x)=e(sinx-cosx)+ e(cosx+sinx)=2 e"sin x,令f'(x)=0,则 sinx=0,得x=kπ(k∈Z).由正弦函数的性质 可知y=sinx在x=π（便∈Z)的左右两侧的 异号，故x=kπ（便∈Z)为函数的极值点. 2A【解折】依题意，f(z)=alna->0在 (1,十∞)上恒成立， 记gx)=(x)=alna-兰，则g(x)= ana5+号>0在a,十o)上位底， 所以∫'(x)在(1，十∞)上单调递增，所以只需 alna-a=a(lna-1)≥0，解得a≥e 3.B【解析】因为y=(x|+1)lnx|的定义城 为{x|x≠0}，且(-x|+1)ln|-x|= (x|+1)1nx,所以函数y=(x|+1)nx|是 偶函数，图象关于y轴对称，故排徐A: 当0<x<1时，y=(x十1)lnx<0,故排除C: 又x>0时y=在+1)nxy=nx+1+是 之e)=加+1+2时了)-- 学◆f)>0,得x>1:◆f✉)0得0 <x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=2> 0,即y=1nx+1十1>0，所以当z>0时，y= 参考答案及解析 (x十1)lnx在(0，十∞)上单调递增，故排除D. 4.C【解析】由题意得，Ha,b∈[0,2](a≠b), 不妨设a<b,则存在e∈(a,b),使得f'()= f6）二fa),又A=fb）二fa,故A= b-a b-a f(),其中fx)==e-（x-1)e= e 截X=了)=怎，由于∈a,6)(0,2),令 g)-专x∈02)，则g'x)=1,当x∈ e (0,1)时，g'(x)>0:当x∈(1,2)时，g'(x)< 0,故g(x)=二在x∈(0,1)上单调递增，在x∈ (1,2)上单调递减，故g(x)=工在工=1处取得 e 极大值，也是最大值，g)=,故实数X的最 大值为日 二、选择题 5.BC【解析】由题意可知：当x∈(-∞，一1)U (1,3)时，'(x)≤0（不恒为0）： 当x∈(-1,1)(3，+∞)时，f'(x)>0: 所以∫(x)在(-∞，一1)，(1,3)上单调递减，在 (一1,1)，(3，十0o)上单调递增，故A错误，B正确： 且函数f(x)在x-1处取得极大值，故C正确： 虽然确定f(x)的单调性，但没有f(x)的解析 式，故无法确定f(x)的最值，故D错误. 6.AB【解折】由f)=ax2+b+号，求学得 f'(x)=3ax2+2bx,f"(x)=6ax+2b, ◆f)=0,得x=品由禹数f)=ar 十6证+号的对#中心为1,1) 得-品-1，f1)=a十6+号-1，解释a= 3b=-1,故A正确： f是)=号-+号fx)=-2x= x(x-2),当x<0或x>2时，f'(x)>0,当 0<x<2时，∫'(x)<0,则函数f(x)在(-∞， 0),(2,十∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减， 因此画数了：)既有机大值了0=号，又有报 1 衡水真题密卷 小值f(2)=3故B正确： 1 由于极小值f(2)=3>0,因此函数fx)不可 能有三个零点，故C错误； 里然f(-1)=号，若(-1，行)是切点，则 f(-1D=3,切线方程为y-号-3c+1D 若(-1，宁不是初成，设过点P(一1，宁的直 线与y=fx)图象相切于点Q(x,3x- 1 +骨-1，由f(x）-2 吉因+号员 ,-(-i3,解得x。=2,即切点Q2, ,切线方程为y-了故过(-1，日只可以 作两条直线与y=(x)图象相切，故D错误. 三、填空题 7.(n3,十∞)【解析】f(x)=e-3,令f(x)>0 得x>ln3,故单调递增区间为(ln3,十oo). 8.98【解析】函数f(x十1)为奇函数，即 f(x十1)=-f(-x十1)，对称中心为(1,0)， 函数∫(x十2)为偶函数，即f(x十2)= f(-x十2)，对称轴为x=2,又由f(x)= 一f(-x+2)=一f(x十2)=f(x十4)可得函 数f(x)是周期函数，且周期为4， 当x∈[0,1]时，f(x)=3x3-3x,则f'(x) 9r-3,令fx)>0,得<x<1,f0x)单调 递增，令f()<0,得0<x< 3,f(x)单调递 -3× 3 .作出函数f(x)在区间0,4]上 的图象如下： 即在区间[0,4幻上，方程∫(x)=一1有4个实 根，又99=4X24+3, 则方程f(x)=一1在「0,99]上的实根个数为 1 学科素养周测评 4×24+2=98. 四、解答题 9.解：(1)f'(x)=-12x2+24x=-12x(x-2), 当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当0< x<2时，∫(x)>0,∫(x)单调递增；当x>2 时，f(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)的极 大值为f(2)=24,极小值为f(0)=8. (2)f(-2)=88,f(5)=一192，又由(1)得f(0) =8,f(2)=24,故最大值为∫(-2)=88，最小 值为f(5)=-192. 10.1解：f)=2e-21-）_2e-1+2.令 e e h(x)=e-1十x,易知h(x)单调递增，且h(0) =0.当x<0时，h(x)<0,即f(x)<0,f(x)单 调递减；当x>0时，h(x)>0,即f(x)>0,f(x) 单调递增.所以f(x）=f(0)=1一a≥0，即a≤ 1,所以a的取值范围是（一∞，1]. (2)证明：由(1)中f(x)的单调性可知两个零 点x1,x2异号，不妨设x1<0<x. 4g(z)=f(x)-f(-I)=e"-e- +）-e+e)e-e-2. 令g(x)=e-e-2x(x>0),则p'(x)=e +e-2>2√eeF-2=0, 所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，则P(x)> p(0)=0,所以p(x:)>0. 所以f(x）一f(-x:)>0,即f(x1) f(-x)>0,即f(x1)>f(-xz). 因为当x<0时，f(x)单调递减，且一x<0, 所以x1<-x2,即x1十x2<0. 2024一2025学年度学科素养周测评（十七） 数学·阶段测试（二） 一、选择题 1.C【解析】由题意可知，a1=S1=13=1,as S,-S4=53-43=125-64=61, 所以8a,十a,)=21+61)=15. 5 2.B【解析】由题可知函数f(x)的图象关于直 线x=1对称， 因为{a.}的公差不为0，所以a112≠a113 又因为f(a1m)=f(a1a),所以a1十a1四 22024一2025学年度学科素养周测评（十六） 数学·导数在研究函数中的应用 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 A=f(b)-f(a) 那么实数入的最大 24分.在每小题给出的四个选项中，只 b-a 有一项是符合题目要求的)】 值为 题号 4 A.1 答案 D.0 1.函数f(x)=e(sinx一cosx)的极值点是 c 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 A.x=kπ(k∈Z) 12分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部 Bx=x+2∈Z刀 分选对的得部分分，有选错的得0分) C.E) 题号 5 6 答案 D.x=kx+k∈z) 5.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图 2.设函数f(x)=a-alnx(a>0且a≠ 象如图所示，则 () 1)在区间(1，十∞)上单调递增，则a的 取值范围是 A.[e,+o∞) B.[e2,+oo) C.[2e,+o∞) D.[e,十o∞) A.函数f(x)在(2，十∞)上单调递增 3.函数y=(x|+1)lnx|的图象大致为 B.函数f(x)在(1,3)上单调递减 C.f(x)在x=1处取得极大值 D.f(x)有最大值 6.定义：设f(x)是f(x)的导函数，"(x)是 函数f(x)的导数，若方程"(x)=0有实 数解xo,则称点(xo,f(xo)为函数y= f(x)的“拐点”，经过探究发现：任何一个三 次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数 图象的对称中心.已知函数f(x)=ax3+十 b位2+受a山≠0)的对称中心为1，D, () 1 4.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果 A.a=3b=-1 函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上 B.函数∫(x)既有极大值又有极小值 可导，则必有∈(a,b),使得 C.函数f(x)有三个零点 f'()(b一a)=f(b)一f(a).已知函数 f(x)=-x-1 D,过(-1，宁可以作三条直线与y ,Va,b∈[0,2](a≠b), f(x)图象相切 高二学科素养周测评（十六）数学第1页（共2页） 1 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 12分) 10.(30分)已知函数f(x)=e:-a-2 7.函数f(x)=e-3x十5的单调递增区间 (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值 为 范围. 8.已知定义在R上的函数f(x十1)为奇函 (2)若f(x)有两个零点x1,x2,证明： 数，f(x十2)为偶函数，当x∈[0,1]时， x1十x2<0. f(x)=3x3-3x,则方程f(x)=-1在 [0,99]上的实根个数为 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(22分)已知函数f(x)=一4x3十12.x2 +8. (1)求f(x)的极值； (2)当x∈[-2,5]时，求f(x)的最大值 和最小值. 1 高二学科素养周测评（十六）数学第2页（共2页）