周测评(八) 椭圆-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

衡水真题密卷 (x十3)+(y-2)=4,圆心O(一3,2)，半径 r=2,因为两圆相切，所以|OC=2+ √13一m=4或0C=13m-2=4,解 得m=9<13或m=-23<13,故实数m的值 是9或-23. 10.解：(1)由题设，令圆心C(a,3a),且a>0,因 为与x轴相切，故半径r=3a,由圆被直线y= x截得的弦长为2√7，而C到直线y=x的距 离为d=√2a,所以r2-d=7→9a3-2a2= 7→a=1(负值舍去)， 综上，圆C:(x-1)2+(y一3)=9，如图所示， SH边形PACB-S△PAC十S△PC,且S△PAC=S△PBC, mx++1-个 要使四边形PACB面积最小，只需S△PaC最 小，即|PA|最小，而|PA|=√PC-CA下 -√PC-9,所以只需|PC1最小，当且仅当 CPLm时，|PC1=1+3+1-52 √2 ,所以 =205=2x×x3-3 2 (2)设P(xo,一x。一1)，以PC为直径的圆的 2）+(0y-二x+22 方程为(x-十2 2 (01: 2++4: 2),整理得x2十y2-(x +1)x+(x。-2)y=2x。+3①， 而(x一1)+(y-3)=9②，将②减去①得 AB所在直线方程可表示为(x。一1)x一(x。十 4)y+2x。+4=0, 即x。(x-y+2)-(x+4y-4)=0,令 4 x-y+2=0, t=- 5 x+4y-4=0 y=5 46 所以直线AB恒过点（一5,5)，即直线AB 学科素养周测评 所过定点的坐标为（一5，亏）， 46 2024一2025学年度学科素养周测评（八） 数学·椭圆 一、选择题 1.C【解析】由题意“曲线(3一p)x2+(p一1)y2 =3-p)一1)表示精圆”等价于“曲线，兰 p-1 [p-1>0, 十》。=1表示椭国”，即3一p>0, 解得1 p-1≠3-p, <p<2或2<p<3,所以命题“实数p∈(1,3)” 是命题“曲线(3-p)x2+(p一1)y2= (3一p)(p一1)表示椭圆”的一个必要不充分 条件， 2.B【解析】四个椭圆的离心率分别为：e1= 7 子，所以白最小，旅据精围的离心率越小，形我 越接近于圆，可知C:最接近于圆. 3.D【解析】由题意直线ax十by一1=0与國O: x2十y2=1相离，所以圆心到直线的距离d= 1 √a+b >r=1,即0<a2+b2<1,而6+5 a2+b21 5 5三，即点卫Cab)在椭圈6十方一 1的内部，所以过点Pa,6)的直线与精男兰十 6 x =1的交点个数是2， 4.D【解析】 如图，不妨设PF,=m,PF,=n,由，点P在 椭图上可得：m十n=2a①， 由余孩定理可得：m2十n2-2 mncos120°=4c2, 化简得：n2十n2十mn=4c2②， ·数学· 由①式两边平方再减去②式，得mn=4a3一4c =462=8, 所以△PF,F,的面积为2 mnsinl20=号×8× =28, 2 二、选择题 5.BD【解析】在椭圆中，由图可知 R十r IPQ=2a=R+r'解得 a= 2 所以b= a-c=QF=r, =R-r 21 -可---，所以 2c=R-r,2a=R十r,即椭圆轨道Ⅱ的焦距为 R一r,椭圆轨道Ⅱ上任意两，点距离最大为2a= R十r,故A错误，B正确； 因为椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2b=2√Rr,若r 不变，则R越大，椭圓轨道Ⅱ的短轴越长，故C 错误： 因为e=R=1十，当R不支时 aR十r 由反比例函数的性质可知，函数f(r)=一1十 在(0，+∞)上单调道减，所以r越小，精圆 轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确， 6.ACD【解析】如图： 由图可知点P到点C与点B的距离之和 |PC1+|PB|=|PC1+|PA|=|AC始终 为定值，且|AC>|BC|,故点P的轨迹为以 点C,点B为焦点的椭圆E,故可设其方程为 三+三1<a一60)·因为—之·24—26，所 以a=6,b2=a2-c2=6-4=2, y 所以椭圆E的方程为十。1，故A正确： 辚国E的离心率为e=二=2-6 a6=3,故B错误； 直线l与椭圆E交于M,N两点，且点 参考答案及解析 Q(分，)为线段MN的中点，设M1 N(xgy),则x1+x2=1,y1十y=1.由点差 法得，十=0，所以 2 6 x1-x)z1十x2=-y1-y)y十y2 2 6 所以42到=-9。”，即：= 2 x1一xg =一3，所以直线1的方程为y一名 -3e-君），即3z十y-2=0,故C正确： 由于直线1：3x十y-2=0过椭圆的上焦点C(0,2), 所以△BMN的周长为4a=46,故D正确. 三、填空题 1.号+号-1【懈折】因为C的长轴长是发矩的2 倍，所以a=2c,又b=√5，a2=b2+c2,所以a2=4, 由C的短轴的一个端点为(3,0)，故C的焦点在 y的上所以C的标准方程为学+写 &一是【银标】向精道C号+号1可如8= 3,b=√7，当如图长方形的边与椭圈的轴平行 时，长方形的边长分别为6和2√7，其对角线长 为√36十28=8，因此蒙日圆半径为4，国方程为 x2+y2=16,当∠MPN为直角时，可知点P在 圆x+y2=16上， 因为0到直线4x一3y十20=0的距离为d= 20 =4,所以直线1：4x一3y十20=0为圆的 √16+9 4 切线，因为直线k,=3,b·kam=-1,所以kom= 3 4 四、解答题 9.解：(1)由MA|+|MB|=6得动点M的轨迹 1 衡水真题密卷 是椭圆，其中2a=6,c=2,所以a=3,b2=a2 c-5,放南线C的方程为号+号-1 (2)设A(1y1),B(x2y2), [z 写+5=1消去y整理得14x2+18mx+ y=x十m, 9m2-45=0, △=(18m)2-4×14(9m2-45)=180(14-m2) >0,得-√14<m</14, 7x1x-9m2-45 x+x=-9 14 所以AB|=√(x1-x)+(y1一y)月 =2+)-x1=3v104m,当 m=0时，AB1=6y云，即1AB到的最大值 为 10.解：(1)设P(x。,ya),A(-3,0),B(3,0), 30-剖 ×=胃 3 (2)由题意知直线AP的方程为y= k1(x十3)，则M(m,k1(m十3))， y=k,(x+3), +号-1 得(1+3k)x2+18kx+ 27k-9=0,则-3×xp= 27k号-9 1+36,则xp 器则P器 3-9k 6k 又B(3,0),所以PB的中点 3 3k1 Q(1+30'1+3 当直线QM的斜率存在时，由题意知，kawk2= -1,又k1k:=-3' 1 3k1 k1(m+3)一1+3k 所以kaw=3k1,即 3 =3k1, m一1+3k 6 +3 得m一21十35十2，因为1>0，所以m∈ (侵，》，当直线QM的斜率不存在时，m 学科素养周测评 1+3k∈(0,3)， 3 综上m的取值范围是0，) 2024一2025学年度学科素养周测评（九） 数学·双曲线 一、选择题 .A【解标】因为双南线后-茶-16>0)的- 条新近线的领斜角为石，n石-号，所以诚渐 远线的方程为y一，所以答- )，解释 3 b=√2或一√2（舍去），所以c=2√2，此双曲线的 右焦点坐标为(2√2,0)，到一条渐近线3x一3y =0的距离为 w5×2w2-0 =2 3)'+(-3)7 2.A【解析】设P(xo,yo),x>0,ya>0,所以 R任2，》-=4，因为直线OR的纷 率为5，所以2=5，中=5红，-2， 与x一yi=4联立，解得xo=2或3，其中xo= 2舍去，所以P点的坐标为(3，W5),又F(2√2， 0),所以△PAF的面积为22-，一2X5= 2 √/10+5 3.C【解析】设C的焦距为2c,依题 PF:-PF:|=2a, 毫，PF,+PFl=6a-2c, PF:|=2a-c, 解得PF:=4a-C, 在△PF:F:中，∠PF,F,=60°，由余弦定理得 (4a-c)°=4c2+(2a-c)2-2X2c×(2a-c) ×分垫理得c=Ea,所以C的离心率为，2024一2025学年度学科素养周测评（八）》 数学·椭圆 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 12分.在每小题给出的选项中，有多项 有一项是符合题目要求的)】 符合题目要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 1 2 题号 5 6 答案 答案 1.命题“实数p∈(1,3)”是命题“曲线 5.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行 (3-p)x2+(p-1)y2=(3-p)(p-1)表 到月球附近时，首先在以月球球心F为 示椭圆”的一个 圆心的圆形轨道I上绕月飞行，然后在 P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆 A.充要条件 轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q点处变轨 B.充分不必要条件 进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞 C.必要不充分条件 行，设圆形轨道I的半径为R,圆形轨道 D.既不充分也不必要条件 Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是 x2+y2 2.在椭圆C6+31,C:子子 8 =1, C+号-1，C号+-1中，形状 最接近于圆的是 A.C1 B.C2 A.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大 C.Cs D.C 为2R B.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R一r 3.若直线ax十by-1=0与圆O:x2+y2= C.若r不变，则R越大，椭圆轨道Ⅱ的短 相离，则过点Pa,b)的直线与椭圆} 轴越短 D.若R不变，则r越小，椭圆轨道Ⅱ的离 +51的交点个数是 心率越大 6.已知点A是圆C:x2+(y-2)2=24上 A.0或1 B.0 的任意一点，点B(0,一2)，线段AB的垂 C.1 D.2 直平分线交AC于点P,设点P的轨迹 为曲线E.直线I与曲线E交于M,N两 4.已知椭圆二+号 2 =1(a>√2)的两焦点 点，且点Q(经，)为线段MN的中 分别为F1,F2,若椭圆上有一点P,使 点，则 () ∠F1PF2=120°，则△PF:F2的面积为 A.曲线E的方程为2千方>) A B4③ B曲线E的离心率为 3 C.直线1的方程为3x十y-2=0 C.3 D.23 D.△BMN的周长为4√6 高二学科素养周测评（八） 数学第1页（共2页） 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 12分) 1a(80分在箱周E:号+号=1中，点A, 7.若椭圆C的长轴长是焦距的2倍，短 B分别为左，右顶点，P是椭圆E上位 轴的一个端点是(3,0)，则C的标准 于x轴上方的一点.直线PA,PB分别 方程为 交直线l:x=m于M,N两点，PA,PB 8.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著 的斜率分别记为1，k2 名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的 (1)求k1k2的值： 任意两条互相垂直的切线的交点都在同 (2)若线段PB的中点Q恰好在以MN 一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆 为直径的圆上，求m的取值范围. 被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆C:号 7=1,P是直线1：4x-3y+20=0 上一点，过P作C的两条切线，切点分 别为M,N,连接OP(O是坐标原点)， 当∠MPN为直角时，直线OP的斜率 kop= 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(22分)已知A(-2,0),B(2,0),满足 |MA+|MB|=6的动点M的轨迹是 曲线C (1)求C的方程： (2)若直线l:y=x十m与C交于两点 A,B,求AB的最大值. 1 高二学科素养周测评（八）数学第2页（共2页）