周测评(三) 空间向量的应用-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（三） 数学·空间向量的应用 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 4.四面体A-BCD中，AD=BC=2,CD 24分.在每小题给出的四个选项中，只 AB=√5，AC=BD=7,CE=ACD,若 有一项是符合题目要求的) 直线AD与BE所成角的余弦值为 题号 1 2 3 34,则入= 5/17 () 答案 1 1.已知直线1过A(0,1,一1)和 A.2 B号 B(1,一1,1)，则点P(3,2,0)到直线1 C 1 的距离为 ( 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 A.22 B.3 12分.在每小题给出的选项中，有多项 C./10 D.√11 符合题目要求.全部选对的得6分，部 2.已知A(0,0,1),B(0,2,0),C(3,0,0),若 分选对的得部分分，有选错的得0分) z轴正半轴上一点T到平面ABC的距 题号 5 6 离是，则B时= 答案 A.25 B.2√6 5.直线m,n的方向向量分别为m,n,平面 a的法向量为a,则下列说法正确的是 C.6 D.210 () 3.中国古代数学著作 A.若m/n,则m=kn 《九章算术》中，记载 B.若m⊥a,则m·a=0 了一种称为“曲池”的 C.若m⊥n,则m·n=0 几何体，该几何体的 D.若n/a,则n·a=0 上下底面平行，且均 6.如图，在正四棱柱ABCD-A1BC1D 为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的 中，AB=2,AA1=4,E为棱CC1上的一 部分)，现有一个如图所示的曲池，AA1, 个动点，则 BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直， 底面扇环对应的两个圆的半径分别为1 和2，对应的圆心角为90°，若直线AD, 与平面ABCD所成角的正弦值为 3,则 此曲池的体积为 ( A.A,B1⊥BE A.2 B.元 B.三棱锥E-B,BD1的体积为定值 C.存在点E,使得AC∥平面BD,E π C.2 D.2x D.存在点E,使得B1D⊥平面BD1E 高二学科素养周测评（三）数学第1页（共2页） 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 10.(30分)如图1，在矩形AA1B,B中， 12分】 AA1=4,AB=6,点M,C1分别是 7.已知两个平面a与B,其中平面a的一个 AA1,A1B1上一点，且A1M-A,C1 法向量m=(一6,8,4)，平面B的一个法 2,过点C1作C1C⊥AB于点C,将 向量n=(3,一4，一2)，则平面a与平面3 △A,MC1剪掉，并将四边形ACC,M 的位置关系是 沿直线C,C折叠，使AC⊥BC(如图 8.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立 2),连接AB,取AB的中点D,连接 坐标系，将代数对象与几何对象建立关 CD,BC,B D,B M. 系，从而实现了代数问题与几何问题的 转化，创立了新分支一解析几何.我们 知道，方程x=1在一维空间中，表示一 个点；在二维空间中，表示一条直线；在 三维空间中，表示一个平面.已知 D 图1 图2 P(1,-1,2),A(1,0,4),B(-1,5,-2), (1)求直线B,M与平面B,CD所成角 C(4,3,8),则过点P与平面ABC平行 的正弦值； 的平面的方程是 (2)求平面ABB,M与平面B,CD的夹 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 角的余弦值. 写出文字说明、证阴过程或演算步骤) 9.(22分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已 知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD= PA=3,AD=2,AB=BC=1. (1)线段PB上是否存在一点Q,使得 QC⊥CD？若存在，求出BQ的长； 若不存在，说明理由。 (2)定义：两条异面直线之间的距离是指 其中一条直线上任意一点到另一条 直线距离的最小值.求异面直线PB 与CD之间的距离. 1 高二学科素养周测评（三）数学第2页（共2页）衡水真题密卷 (0,6,2)=(4,-6,-4), 所以CP|=√4+(-6)2+(-4)=217 (3)因为B1(4,6,0),所以CB,=(4,6,0) (0,6,2)=(4,0,-2),所以CP·CB,= (4,-6,-4)·(4,0,-2)=24, |CB1|=√+(-2)=2V5,cos(CP,CB1) CP.CB 6 -C11c√丽 所以sin(Cp,CB)=√1-cos2(CP,CB,) 85,所以Sae,-号1C1CB1sinC序， 7√85 CB1)=14. 2024一2025学年度学科素养周测评（三）】 数学·空间向量的应用 一、选择题 1.C【解析】AB=(1,-2,2),AP=(3,1,1), 所以点P(3,2,0)到直线1的距离为： --哥- 2.A【解析】AB=(0,2,-1),AC=(3,0,-1),设 平面ABC的法向量为m=(x,y,z), m·AB=2y-x=0, 则( 令x=6,得x=2 m·AC=3x-x=0, y=3,故m=(2,3,6),设T(0,0,a)(a>0),则 点T到平面ABC的距高为B产，m_ m 10-208.61=16a,6=9得 √/4+9+36 a=4(-2舍去)，所以|B7|=√4+16=25. 3.C【解析】设此曲池的高为h,以圆孤的圆心O 为原点，CD为x轴，BA为y轴，过國心O垂直 于底面的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如 下图： 1 学科素养周测评 则A(0,2,0),D1(2,0,h),故AD=(2,-2,h), 取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), 设直线AD1与平面ABCD所成的角为0,0∈ (0,引，所以in0= -解特 AD A=2,故此由池的体积V=子×(4领-)X 4.C【解析】在四面体A-BCD中，AD=BC=2, CD=AB=5,AC=BD=√7， 将四面体A-BCD补成长方体AMCN-PBQD, (AD:=AP:+AN:=4. AP=1, 则AB=AP2+AM=5,解得AM=2, AC=AM+AN=7,AN=/3, 以点A为坐标原点，AM,AN,AP所在直线分别 为xy,z物，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(2w3,0,D(03,1),B(2,0,1), 所以AD=(0,1),由C范=C,得E(2-2A, 3d),B成=(-2X5,A-1),则|os(A,BE)1= AD·BE A+2 517 AD1·BE12X√5x-2x+4 34 16 271 24 二、选择题 5.ACD【解析】对于A,若m/n,则m/n,即m =kn,故A正确： 对于B,若m⊥a,则m/a,即m=ka,故B 错误： 对于C,若m⊥n,则m⊥n,即m·n=0,故C 正确； 对于D,若n/1a,则n⊥a,即n·a=0,故D 正确 6.ABC【解析】以D为原点，DA,DC,DD:所 在的直线分别为x,y,2轴，建立空间直角坐标 系，如图所示， ·数学· 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0, 4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4), 设E(0,2,a),a∈[0,4]，则A1B1=(0,2,0), BE=(-2,0,a),A1B1·BE=0,所以A1B11 BE,即A1B1⊥BE,故A正确； 由VE-,即，=V,-A,E,因为△B,BE的面积为 定值，点D1到平面B1BE的距离也是定值， 所以VE-,即，为定值，故B正确： 又由BE=(-2,0,a),BD1=(-2,-2,4), 设平面BD1E的法向量为n=(x,y,之)， n·BE=-2x+az=0, 则 n·BD=-2x-2y+4z=0, 取x=a,可得y=4一a,x=2,所以n=(a,4 a,2), 因为AC=(-2,2,0),由AC·n=-2a+8 2a=0,解得a=2,故C正确； 又因为DB1=(2,2,4),D1B=(2,2,-4),则 DB1·D1B=-8≠0， 所以不存在点E,使得BD⊥平面BD1E,故 D错误. 三、填空题 7.平行【解析】因为m=一2n,所以m∥n,所以 平面a与平面B平行 8.38x-10y-21z-6=0【解析】AB= (-2,5,-6),AC=(3,3,4),设平面ABC的一 个法向量为m=(a,b,c), m·AB=-2a+5b-6c=0, 则 m·AC=3a+3b+4c=0, 令b=10,则a=-38,c=21,所以 m=(-38,10,21), 过点P与平面ABC平行的平面，即过点 P(1,-1,2)且与向量m=(-38,10,21)垂直的平 面，其方程为一38(x-1)+10(y+1)+ 参考答案及解析 21(z-2)=0,即38x-10y-21z-6=0. 四、解答题 9.解：(1)因为AB,AD,AP两两垂直，所以以A为 坐标原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,3), B驴=(-1,0,3)，设Q为直线PB上一点，且B0 =λB驴=(-λ，0,3)，所以Q(1-1,0,3x), 所以CQ=(-1,-1,3x),又CD=(-1,1,0), 所以CQ·CD-入-1=0，即1=1，所以BG= BP,即当点Q位于点P处时，满足QC⊥CD, 此时BQ=√1+3=√/10. D (2)设点Q在直线PB上，由(1)可得CD= (-1,1,0), 又Q'(1-λ，0,3x),C0=(-1,-1,3x), 则点Q'到直线CD的距离 d=CQ-(CQ'COs(CQ',CD))* CQ:- /CQ·CD8 2+1+9x ++ 因为++-++ 所以d≥3 1 19 2,当且仅当入=一 时取等号， 所以异面直线PB与CD之间的距离为3V四 19 10.解：(1)由题意知，C,C⊥CA,C1C⊥CB, CA⊥CB, 所以以C为坐标原点，以CA,CB,CC,所在直 线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角 坐标系C-xy,则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4, 0),D(1,2,0),B1(0,4,4),M(2,0,2) 1 衡水真题密卷 B G- B 所以CD=(1,2,0),CB,=(0,4,4),B1M =(2,一4，-2) 设平面BCD的一个法向量为m=(a,b,c), m·CB1=4b+4c=0, 则 m·CD=a十2b=0, 令b=-1,则a=2,c=1,所以m=(2,-1,1), 设直线B,M与平面B,CD所成角为a, 则sina=|cos(B1M,m)|= B1M·m| BM·m 6 1 26×62 故直线B,M与平面B,CD所成角的正弦值为 (2)设平面ABB,M的一个法向量n=(xyz), 又BA=(2,-4,0),BB,=(0,0,4), n·BA=2x-4y=0, 所以 令x=2,得y=1, n·BB,=4x=0, x=0,所以n=(2,1,0), 又因为平面B1CD的法向量m=(2,一1,1)， 故1oam1=日开6文5日， 3√30 故平面ABB,M与平面B,CD的夹角的余弦 值为 2024一2025学年度学科素养周测评（四） 数学·直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、选择题 L.C【解析】设直线l在x轴上的栽距为a,剩 2a=8,得a=4,故直线1的方程为导+之-1， 即x十2y一4=0. A 2.A【解析】由Ax一By-C=0,得y=Bx 1 学科素养周测评 又AB<0,BC>0,时直线的针争合<0，在 C y轴上的藏E一合<0，所以直线A:一B C=0经过第二、三、四象限，不经过第一象限 3.B【解析】由△ABC的顶点A(一6,0)， 4-0 1 B(4,0),C(2,4),得k0=2-(-6)=2, 长c-号胃一2，所以kc·加=-1，所以 AC⊥BC,故△ABC为直角三角形，垂心为 C(2,4),外心为斜边AB的中点M(-1,0),所 以△ABC的欧拉我的斜率为2)=子，直 线1的斜单为一子，直线1的方程为y一4 -3 -4（x-2),即3x+4y-22=0. 4.D【解析】设P(3,2)关于直线l:x一2y一3= 0的对称点为M(a,b),则由直线l与直线PM 垂直，且PM的中点在直线L上，得 b一2=一2， f23 a-3 a.= 5 解得 点 0+3-2×b+2-3=0, 6 2 b=一5 停，号}在反相光线上要-可 二、选择题 5.AC【解析】当a=1时，l1:x+y+1=0,k1= 一1，k2=1,则k1k:=一1，所以两直线垂直，故 A正确； 若两直线平行，则(a十2)×（一1）一3×1=0，解 得a=一5，经检验，当a=一5时，两直线平行， 故B错误； a=一2时，直线11为y=一1，表示与x轴平行 的直线，故C正确： 由2：x一y一2=0，与两坐标轴的裁距分别为 一2,2，不相等，故D错误 6.ABC【解析】设直线l的斜率为k,由图象可 知：要使直线L与线段AB的延长线有公共点， 则k即<k,<及AB,