周测评(一) 空间向量及其运算、空间向量基本定理-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（一） 数学·空间向量及其运算、空间向量基本定理 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 」4.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了 24分.在每小题给出的四个选项中，只 一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上 有一项是符合题目要求的) 下两个底面平行，且均为矩形的六面体 题号 1 2 3 现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1,如图所 答案 AB=AA=4,A B=AD=2,A D 1.若(a+2b-3c)+3×（ =1,AB/A1B1,∠BAA1+∠DAA1= xa+yb+zc+(a-2b+c),x+y+z= AG与BD,的交点为0，则Ad ( A-号 B AC的最大值为 () D. C.-4 D.4 2.已知平行六面体ABCD-A1B,C1D1的 各棱长均为1，∠A,AB=∠A1AD 45°，∠DAB=90°，则|ACi|=() D A.82+5 B.18 C.8√3+5 D.21 B 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 A./3 B.2+2 12分.在每小题给出的选项中，有多项 C.√2 D.√2+1 3.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中， 符合题目要求.全部选对的得6分，部 E为C,D1的中点，则A1C在DE上的 分选对的得部分分，有选错的得0分) 投影向量是 ( ) 题号 5 6 答案 5.a,b,c为两两互不垂直且不共线的任意 D 非零向量，则 A.a·b=b·a A晋证 R B.a·b·c=b·c·a c n证 C.a·(h+c)=a·b+a·c D.a·b·(b+c)=a·b2+a·b·c 高二学科素养周测评（一） 数学第1页（共2页） 1 6.如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两 (1)用a,b,c表示AN,AM 两垂直，且OA=OB=OC,则 () (2)若AC=2A1C1,用向量的方法证明 A1N∥平面C:MA. 0 A.(OA+OB+OC)*=3OA B.BC.(CA-CO)=0 C.2OA+OB与OA的夹角的余弦值 10.(30分)如图，在长方体ABCD- 为号 D.三校维OABC的体积为后1(A店· AB,CD,中，A正=号AA,F为AC 的中点 AC).OCI (1)用AB,AD,AA表示向量EF 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 (2)已知AB=2,AD=4,AA1=6,AG 12分) 7.如图，在正六棱柱ABCDEF -ad,D丽-Dd 3 A1B,C1D1E1F1中，与向量BC相反 ①证明：EF⊥AH. 的向量是 (写出两个即可). ②求异面直线GD1与EF所成角 的余弦值. 8.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共 面，且所-号丽+x元+币，则实 数x的值为 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9.(22分)如图，在三棱台ABC-A1B1C 中，M,N分别为棱BC,AB的中点.设 AB=a,AC=b,AA=c. 1 高二学科素养周测评（一）数学第2页（共2页）·数学· 参考答 2024一2025学年度学科素养周测评（一）】 数学·空间向量及其运算、 空间向量基本定理 一、选择题 1.B【解析】xa十yb十zc=(a十2b-3c)+3× (a2b+知)-a-2b+e)=a+3×号0 -a+2h-3×2b+2b-3c+3× 3c-e=2a 十分b一2c,得x=2,y=号，=一2，所以x十 += 2.D【解析】由题意，AB.AA-AD·AA=1 ×1Xa45-号.花-0，又C-丽 +AD+AA;. 所以AC=AB2+AD+AA2+2AB·AD +2AB·AA1+2AD·AA1=3+22, 所以|AC|=√2+1. 3.D【解析】设正方体的棱长为1，AB=a,AD =b,AA1=c,则|a|=|b|=|c|=1,a·b= b·c=c·a=0, 因为A,C=AC=AB+AD=a+b,DE DDi+D,正=DD+号D,C=e+2a, 所以A,C·D正=a+b)…(e+2)=ad +be++b-- 1 DE=P+T-发，所以A,C在正 上的投影向量是|A,CosA,C,D成)D园 DE AG证证 DEP 4.C【解析】设∠BAA,=a,则∠DAA,-2 3 a,由题意得A0=AA+A10=AA+号A1B 参考答案及解析 案及解析 +2A,D=AA+A店+AD,AC=A +AD 所以Ad·AC-(AA+A店+AD)· A店+A)=AA·A店+AA·A市+A +是A2+号A店·AD=16cs。十 8cos(5-a)+4+1=45ine+12cosa+5= 85sime+）+5,当∠BAA,=a=若时， A可·AC取得最大值，且最大值为83+5. 二、选择题 5.AC【解析】数量积满足交换律、分配律，故A、 C正骑，对于B,因为a·b∈R,故a·b·c∥e, 同理b·c·a∥a,但a与c不共线，故B错误； 对于D,a·b·(b+c)=a·b·b十a·b·c, 且a·b·b≠a·b2,故D错误. 6.ABD【解析】对于A,因为OA,OB,OC两两 垂直，所以0A·Oi=OB.OC=OA,OC= 0,故(OA+Oi+OC)2=0A+Oi2+O心+ 20A.0i+20B.O元+20A.OC=3OA, 故A正确： 对于B,BC·(CA-CO)=(O元-OB).OA =0心.OA-Oi.OA=0-0=0,故B正确： 对于C,(20A+OB)·OA=2OA+OA·OB =20A,|20A+0i1=√(20A+0B7 =J40+40i.0+0B=51Oi1, 所以2OA+O店与0OA的夹角的余弦值为 (2OA+OB)·OA 20A3 120A+o·1o1510·1o= 25 ,故C错误， 对于D,AB·AC=Oi-OA)· (OC-OA)-OB.OC-OB.OA-OA.OC +0A=0A, 因为Sm=号O,所以三棱缘0ABC的体 1 衡水真题密卷 积为号S·1OC=号×号A店·Ad⊙)· 1OC=|A店.AC)·OC,故D正确， 三、填空题 7C,CB,E萨，E下，号Di,号D,A等【解析】 与心相反的向量有C丽，CB,E序，E可，号D, D,A茶.（写出其中的两个即可） 8.一1【解析】由题意，根据向量共面定理可得 名+z+写1，脚x=1. 四、解答题 9.(1)解：因为M,N分别为棱BC,AB的中点，所 以AN-AA+AN=-e+2a A,M=AA+AM=A,A+号(A店+AC)= -+2a+b)=a+2b-c 1 (2)证明：因为AM=2(A店+AC),所以AM =2a+b, 因为AC=AA+AC,所以AC=c+2b, 设AN=xAM+yAC1,所以由(1)可知-c+ 2a=xx2a+b)+y×(e+2b: 解得x=1,y=-1,所以A,N-AM-AC, 所以向量A,N,AM,AC共面，又A1N丈平 面C1MA, 所以AN∥平面C:MA. 10.1)解：成=A-A应=2AC-号AA- 2店+A)-号AM-名A+2A茄 号A (2)①证明：因为Ai=A+号DD=A市+ 号A,AB=2,AD=4,AM,=6,店·A=0. AD·AA,=0,AB.AA,=0,所以E.Ai 1 学科素养周测评 (+号市-am)·(庙+号AA)- 号亦-号-名×16-号×36=0，所以 EF⊥AH. ②解：G而，=币+D元=}A+A,所以 1面1=+=a动+a m,=2+市-am =√+a动+=3.6而·所 =(A市+AA)·(侵A店+2A市-号AA =专A市-号AA=-10, 所以cos(GD,·EF)= GD1·EF IGD,|·EFI -10-10√37 337 111 所以异面直线GD,与EF所成角的余弦值为 -10/37_10w37 111 111Γ· 2024一2025学年度学科素养周测评（二） 数学·空间向量及其运算的坐标表示 一、选择题 1.A【解析】由A(0,1,1),B(3,2,-1),得AB= (3,1,-2),则BC=AC-AB=(-7,-4,4). 2.A【解析】由题意知|a|=√1十(-2)2+2 =3,b|=1,则a☒b=|a|2-a·b=9-a·b -空得ab一号所以o<a6>治 =7又<ab>∈D,司，所以<a,b>-导 3.C【解析】AB=(6,3,9),AC-(x+1,2-x, 3),由∠BAC为锐角，得AB·AC>0,且AB 与AC不共线，于是6(x十1)+3(2-x)+3× 9>0解得>-18又由告2号-号得 6 x=1,即AB与AC不共线时，x≠1，所以x的