专题05 全称量词与存在量词6种常见考法归类讲义（45题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题05 全称量词与存在量词6种常见考法归类（45题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 全称量词命题和存在量词命题的判断 （一）全称量词命题的判断 （二）存在量词命题的判断 考点二 全称量词命题与存在量词命题真假判断 （一）全称量词命题的真假判断 （二）存在量词命题的真假判断 考点三 利用含量词的命题的真假求参数范围 （1） 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 （二）含量词的命题与充分（必要）条件 考点四 全称量词命题的否定及真假判断 考点五 存在量词命题的否定及真假判断 考点六 含有一个量词命题的否定的应用 知识点1：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点2：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． (2)全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． (3)存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． (4)命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 策略方法 1、判断命题真假的三个注意点 (1)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断； (2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题； (3)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可．　　 2、判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题． (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 注：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 图示如下： 3、全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法 4、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 (1)全称量词命题的真假判定 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判定 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，要判断一个存在量词命题为假,必须验证给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)不成立． 图示如下： 5、利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 具体如下： (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．　 6、常见量词及其否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 能 词语的 否定 一个也没有 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在一个x成立 不能 7、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 8、对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 9、全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．　 10、对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 11、存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 12、含有一个量词命题的否定的应用解题策略​ 首先，明确命题否定的真假关系：若原命题的否定为假，则原命题为真；若原命题的否定为真，则原命题为假。据此将问题转化为判断原命题的真假。​ 其次，针对全称命题“∀x，p(x)”：其否定为“∃x，¬p(x)”。若否定为假，则原命题为真，需满足对所有x，p(x)成立（如“∀x，x²+ax+1≥0”为真，需判别式≤0）。​ 针对存在命题“∃x，q(x)”：其否定为“∀x，¬q(x)”。若否定为假，则原命题为真，需存在至少一个x使q(x)成立（如“∃x，x²+ax+1=0”为真，需判别式≥0）。​ 最后，结合多个命题的真假要求（如 p 真且 q 真），分别求出各命题为真时的参数范围，取交集得最终范围，确保每一步转化符合量词命题的逻辑规则。 考点一 全称量词命题和存在量词命题的判断 （1） 全称量词命题的判断 1．（25-26高一·全国月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【解析】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．（2024高二·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【解析】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 3．（2025高一·全国月考）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 【答案】B 【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可； 【解析】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题. 故选：B. 4．【多选】（2025高一·甘肃白银月考）下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【答案】BC 【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可. 【解析】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误； BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确； D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误. 故选：BC. 5．（2025高一·江苏常州月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【分析】根据全称量词的特征即可求解. 【解析】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. （2） 存在量词命题的判断 6．（25-26高一·全国月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【解析】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 7．（25-26高一·全国月考）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【解析】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 8．（25-26高一·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解析】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 9．（2025高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【解析】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 10．（2025高一·安徽亳州月考）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【解析】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 考点二 全称量词命题与存在量词命题真假判断 （1） 全称量词命题的真假判断 11．（2025高一·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【分析】根据全称命题的概念排除BD，然后举反例排除C，即可判断. 【解析】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称命题，排除选项BD； 因为是无理数，而不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称命题且为真命题，符合题意． 故选：A 12．【多选】（2025高一·全国月考）下列全称量词命题中真命题有（   ） A．负数不能开根号 B．对任意的实数，，都有 C．二次函数的图象与x轴恒有交点 D．，，都有 【答案】BC 【分析】在实数范围内，负数可以开奇次方根，即可判断A；作差比较可得B为真命题；根据，可得C为真命题；当时，可得D为假命题. 【解析】对于A：在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故A为假命题； 对于B：对任意的实数，，，即，故B为真命题； 对于C：因为，所以二次函数的图象与轴恒有交点，故C为真命题； 对于D：当时，，故D为假命题. 故选：BC 13．【多选】（2025高一·广东广州·期中）下列说法正确的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．不存在整数n，使是4的倍数 D．，为偶数 【答案】BCD 【分析】根据2是偶数可得选项A错误；分和两种情况讨论，可得选项B正确；分为奇数和偶数两种情况讨论，可得选项C正确；根据相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数可得选项D正确. 【解析】A.2是素数，2也是偶数，故A错误. B.当时，，当时，，故B正确. C.当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 故C正确. D. ，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，选项D正确. 故选：BCD. 14．【多选】（2025高一·河南郑州月考）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，由可判断；对B，由得，可判断；对C，举反例判断；对D，求出的根可判断. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以不存在有理数满足，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，由，解得或，故D正确. 故选：AD. 15．【多选】（2025高一·四川绵阳月考）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A． B．有些梯形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．任何实数都有算术平方根 【答案】AC 【分析】根据题意，利用全称命题的概念及真假的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于中，命题“”是全称量词，且， 所以命题为全称命题，且为真命题，所以A正确； 对于B中，“有些梯形的对角线相等”是存在量词，所以B错误； 对于C中，命题“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直， 所以命题“菱形的对角线互相垂直”是全称命题，且为真命题，所以C正确， 对于D中，命题“负数是没有算数平方根”是全称命题，但命题为假命题，所以D错误. 故选：AC. （2） 存在量词命题的真假判断 16．【多选】（2025高二·福建福州·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解析】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 17．（2025高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】根据全称命题及特称命题的定义分别判断各个小题即可. 【解析】（1），均为偶数，是真命题． （2）0中，方程有两个不相等的实根，是真命题． （3）中，无解，是假命题． （4）时，是假命题． 18．（2025高一·新疆月考）判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 【分析】根据全称量词命题，存在量词命题定义逐项求解判断. 【解析】（1）由题知，为全称量词命题，当时，，故此命题为假命题. （2）由有些偶数能被整除为存在量词命题，如为偶数也能被整除，故此命题为真命题. （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题，但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题. （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题，三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题. 19．（2025高一·江西宜春月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【解析】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 20．（2025高三·全国月考）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【解析】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 考点三 利用含量词的命题的真假求参数范围 （1） 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 21．（2025高一·湖南长沙月考）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 22．（2025高一·江苏苏州月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解析】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 23．（2025高一·广东广州月考）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据命题的真假确定集合中的元素具有的性质，得正确结论． 【解析】“”为真命题，， 因此做这个中含有 上的数， “”为假命题，则中有不小于2的元素， 只有C选项的集合M满足题意. 故选：C． 24．（25-26高一·全国月考）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【解析】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 25．（2025高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【解析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. （二）含量词的命题与充分（必要）条件 26．（2025高一·北京昌平·期末）已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立. 【解析】由” ，使”，即，所以， 即，充分性不成立； 已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立. 综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 27．（2025高三·广东深圳月考）已知条件，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先由基本不等式求出：，再由充要条件的定义判断即可求解 【解析】∵，， ∴：， ∵：， ∴， 所以是的必要不充分条件， 故选：B． 28．（2025·湖南模拟预测）设命题（其中m为常数），则“”是“命题p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由（其中m为常数）得到，进而可得到“”与“命题p为真命题”的逻辑关系 【解析】由（其中m为常数）， 可得，解之得 则由可得，但由 不可得到 则“”是“命题p为真命题”的必要不充分条件 故选：B 29．（2025高二·江苏南通月考）已知命题“，使得”为假命题，，则命题是命题的条件.（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，得出命题的等价形式“”为真命题，注意分和，分别考察，并利用二次函数的性质和不等式恒成立的意义求得，然后根据充分、必要条件的定义作出判定. 【解析】解：由题意得，命题等价于“”为真命题， 等价于或， 解得， 因为是的必要不充分条件， 所以是的必要不充分条件. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判定，涉及不等式恒成立问题，属基础题. 30．（2025高三·河南月考）已知，则是的 条件．（在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入） 【答案】充分不必要 【分析】根据存在量词命题的否定求出命题p的否定，解之可得，结合充分不必要条件的定义即可得出结果. 【解析】由题意知， ：，， 即且，解得， 所以，即q是的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要. 考点四 全称量词命题的否定及真假判断 31．（2025高一·江西南昌月考）命题“”的否定形式是（　　）（其中为常数） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定形式即可得到答案． 【解析】命题“”的否定形式是“”． 故选：C. 32．（25-26高一·全国·单元测试）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定概念可得答案. 【解析】由题可得原命题的否定为“”. 故选：C 33．（25-26高三·重庆南岸月考）设命题，，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【解析】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题p的否定为：，. 故选：D 34．（25-26高三·广东深圳月考）已知命题p：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对全称（存在）量词命题进行否定的方法：全称量词命题，的否定为：，．存在量词命题，的否定为：，． 【解析】命题：，的否定为：，． 故选：C 35．（25-26高一·广西月考）已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 【答案】C 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【解析】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 考点五 存在量词命题的否定及真假判断 36．（2025高一·全国月考）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由存在量词命题的否定形式可得出结论. 【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定：. 故选：B. 37．（2025高一·全国月考）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案. 【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以是. 故选：A 38．（25-26高一·河南驻马店月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 39．【多选】（25-26高一·全国月考）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 【答案】AD 【分析】解法一：根据存在命题的否定是全称量词命题进行判断B即可；根据ACD原命题的否定是全称量词命题，再判断原命题的否定是否为真命题进行判断即可. 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 【解析】解法一：对于A，是存在量词命题， 其否定为：，即，是全称量词命题，且为真命题； 对于B，所有的正方形都是矩形是全称量词命题，其否定为存在量词命题； 对于C，是存在量词命题， 其否定为：，，即，因为恒成立，故其是假命题； 对于D，至少有一个实数，使是存在量词命题， 其否定为：任意实数，都有，因为，所以不存在使得，故其为真命题． 解法二：存在量词与全称量词命题一真一假，只需找选项中是存在量词命题，且为假命题的即可． 只有ACD是存在量词命题，且A中，所以A为假命题， C中恒成立，所以C为真命题， D中任意实数，都有，所以D为假命题． 故选：AD． 40．（2025高三·全国月考）已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【答案】B 【分析】求出的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定. 【解析】由题意， 在命题p：“，”中， 因为，所以或， 故命题p为真命题，C，D错误； 命题p的否定为“，”，A错误，B正确． 故选：B. 考点六 含有一个量词命题的否定的应用 41．（2025高二·江苏无锡·期中）若命题“”使的否定是假命题，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】试题分析：因为命题“，使”的否定是假命题，所以命题“，使”是真命题，即从而实数的取值范围是或. 考点：命题的真假 42．（2025高三·全国月考）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据是真命题、是真命题求出实数的取值范围，再由若命题是假命题、是真命题可得答案. 【解析】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 43．（2025高一·全国月考）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先判断命题的真假性，然后根据全称命题，特称命题的真假性求参数. 【解析】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 44．（2025高一·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据p为假命题可得为真命题，由此得，求得答案. 【解析】由题意命题p:的否定为：为真命题， 即，故 ，即， 故选：D 45．（2025高一·江苏月考）已知命题，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由p的否定为真命题知方程的判别式，求解即可. 【解析】因为p的否定为真命题，所以命题为假命题， 则方程的判别式，即 ． 故实数m的取值范围为． 故答案为： $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题05 全称量词与存在量词6种常见考法归类（45题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 全称量词命题和存在量词命题的判断 （一）全称量词命题的判断 （二）存在量词命题的判断 考点二 全称量词命题与存在量词命题真假判断 （一）全称量词命题的真假判断 （二）存在量词命题的真假判断 考点三 利用含量词的命题的真假求参数范围 （1） 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 （二）含量词的命题与充分（必要）条件 考点四 全称量词命题的否定及真假判断 考点五 存在量词命题的否定及真假判断 考点六 含有一个量词命题的否定的应用 知识点1：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点2：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． (2)全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． (3)存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． (4)命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 策略方法 1、判断命题真假的三个注意点 (1)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断； (2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题； (3)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可．　　 2、判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题． (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 注：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 图示如下： 3、全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法 4、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 (1)全称量词命题的真假判定 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判定 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，要判断一个存在量词命题为假,必须验证给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)不成立． 图示如下： 5、利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意． (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 具体如下： (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 注：(1)含参数的全称量词命题为真时，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．　 6、常见量词及其否定 词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 能 词语的 否定 一个也没有 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在一个x成立 不能 7、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 8、对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 9、全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．　 10、对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 11、存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 12、含有一个量词命题的否定的应用解题策略​ 首先，明确命题否定的真假关系：若原命题的否定为假，则原命题为真；若原命题的否定为真，则原命题为假。据此将问题转化为判断原命题的真假。​ 其次，针对全称命题“∀x，p(x)”：其否定为“∃x，¬p(x)”。若否定为假，则原命题为真，需满足对所有x，p(x)成立（如“∀x，x²+ax+1≥0”为真，需判别式≤0）。​ 针对存在命题“∃x，q(x)”：其否定为“∀x，¬q(x)”。若否定为假，则原命题为真，需存在至少一个x使q(x)成立（如“∃x，x²+ax+1=0”为真，需判别式≥0）。​ 最后，结合多个命题的真假要求（如 p 真且 q 真），分别求出各命题为真时的参数范围，取交集得最终范围，确保每一步转化符合量词命题的逻辑规则。 考点一 全称量词命题和存在量词命题的判断 （1） 全称量词命题的判断 1．（25-26高一·全国月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．（2024高二·黑龙江·学业考试）下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 3．（2025高一·全国月考）下列命题是全称量词命题的是（   ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得是质数 D．存在一个实数x，使得 4．【多选】（2025高一·甘肃白银月考）下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 5．（2025高一·江苏常州月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 （2） 存在量词命题的判断 6．（25-26高一·全国月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 7．（25-26高一·全国月考）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 8．（25-26高一·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 9．（2025高二·湖南·学业考试）下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 10．（2025高一·安徽亳州月考）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 考点二 全称量词命题与存在量词命题真假判断 （1） 全称量词命题的真假判断 11．（2025高一·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 12．【多选】（2025高一·全国月考）下列全称量词命题中真命题有（   ） A．负数不能开根号 B．对任意的实数，，都有 C．二次函数的图象与x轴恒有交点 D．，，都有 13．【多选】（2025高一·广东广州·期中）下列说法正确的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．不存在整数n，使是4的倍数 D．，为偶数 14．【多选】（2025高一·河南郑州月考）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2025高一·四川绵阳月考）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A． B．有些梯形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．任何实数都有算术平方根 （2） 存在量词命题的真假判断 16．【多选】（2025高二·福建福州·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（2025高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． (1)是偶数； (2)； (3)； (4)． 18．（2025高一·新疆月考）判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 19．（2025高一·江西宜春月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 20．（2025高三·全国月考）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 考点三 利用含量词的命题的真假求参数范围 （1） 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 21．（2025高一·湖南长沙月考）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 22．（2025高一·江苏苏州月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025高一·广东广州月考）若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一·全国月考）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．无法确定 （二）含量词的命题与充分（必要）条件 26．（2025高一·北京昌平·期末）已知函数，则“，使”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（2025高三·广东深圳月考）已知条件，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 28．（2025·湖南模拟预测）设命题（其中m为常数），则“”是“命题p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（2025高二·江苏南通月考）已知命题“，使得”为假命题，，则命题是命题的条件.（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 30．（2025高三·河南月考）已知，则是的 条件．（在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入） 考点四 全称量词命题的否定及真假判断 31．（2025高一·江西南昌月考）命题“”的否定形式是（　　）（其中为常数） A． B． C． D． 32．（25-26高一·全国·单元测试）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三·重庆南岸月考）设命题，，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 34．（25-26高三·广东深圳月考）已知命题p：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 35．（25-26高一·广西月考）已知命题：，则（    ） A．是真命题， B．是真命题， C．是假命题， D．是假命题， 考点五 存在量词命题的否定及真假判断 36．（2025高一·全国月考）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 37．（2025高一·全国月考）已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 38．（25-26高一·河南驻马店月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 39．【多选】（25-26高一·全国月考）下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数，使 40．（2025高三·全国月考）已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 考点六 含有一个量词命题的否定的应用 41．（2025高二·江苏无锡·期中）若命题“”使的否定是假命题，则实数的取值范围为 42．（2025高三·全国月考）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 43．（2025高一·全国月考）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 44．（2025高一·天津·期中）已知，若的否定为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（2025高一·江苏月考）已知命题，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为 . $$