1.4.2充要条件讲义（3知识点+8题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.4.2 充要条件 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 充要条件 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 知识点2 判断充分性和必要性的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 知识点3 充要条件的证明 1.充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 2.充要条件的应用 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 思路方法总结 1.判断充分必要条件的基本思路 (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； (3)指出条件是结论的什么条件． 2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 3.充分、必要、充要条件的证明 (1)证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． (2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． (3)充要条件证明的两个思路 ①直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． ②集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 典例·举一反三 题型一 充要条件的判断 1．判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）： （Ⅰ），； （Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，； （Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形； （Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等； （Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径． 2．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 3．已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 5．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 命题的真假判断 6．下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 7．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 8．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 10．下列叙述中不正确的是（    ） A．若a，b，，则“”的充要条件是“” B．若a，b，，则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 题型三 充分、必要和充要条件的传递性 11．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 12．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 13．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（    ） A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 15．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 题型四 写出一个充要条件 16．若，则的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 17．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 18．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 19．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 20．已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 题型五 已知充要条件求参数 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 22．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 23．已知集合A={x|a-2<x<a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=的充要条件是（    ） A．0≤a≤2 B．-2<a<2 C．0<a≤2 D．0<a<2 24．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 25．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型六 充要条件的证明 26．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 27．已知，求证：成立的充要条件是. 28．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 29．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是． 30．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，． 题型七 充要条件的综合题型 31．下列各题中，命题p是命题q的什么条件？（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”）（只写答案即可） (1)  且 (2) (3)   (4)某四边形是菱形   某四边形对角线相互垂直 (5)    (6)   32．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 33．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 34．设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 35．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 题型八 新定义题型 36．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 37．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 38．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 39．已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 40．集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 充要条件 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 充要条件 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价. 知识点2 判断充分性和必要性的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 知识点3 充要条件的证明 1.充要条件证明的思路 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. 2.充要条件的应用 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 思路方法总结 1.判断充分必要条件的基本思路 (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； (3)指出条件是结论的什么条件． 2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 3.充分、必要、充要条件的证明 (1)证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． (2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． (3)充要条件证明的两个思路 ①直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． ②集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 典例·举一反三 题型一 充要条件的判断 1．判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）： （Ⅰ），； （Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，； （Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形； （Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等； （Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径． 【答案】（Ⅰ）必要不充分条件；（Ⅱ）充分不必要条件；（Ⅲ）充要条件；（Ⅳ）必要不充分条件；（Ⅴ）充要条件． 【分析】利用充分必要条件的定义即可判断. 【详解】（Ⅰ），，故p是q的必要不充分条件； （Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，则，且，，p是q的充分不必要条件； （Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等即四边形是矩形，q：四边形是矩形，p是q的充要条件； （Ⅳ）p：两个三角形的相似，q：两个三角形全等；p是q的必要不充分条件； （Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，即圆心到直线的距离小于圆的半径，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径，p是q的充要条件． 2．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（　　） A． B．p：，q： C．p：，q： D．p：，q： 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解. 【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件； 对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件； 对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件； 对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件． 故选：BD. 3．已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】一方面，时，可能四点共线，此时不构成四边形，故充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，故必要性成立． 所以甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B. 4．（多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，当开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 5．人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断. 【详解】“学好数学”不一定能推出“成人”，充分性不成立， “成人”能推出“学好数学”，必要性成立， 故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件． 故选：B． 题型二 命题的真假判断 6．下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，满足“”，但方程没有实数根，即选项B不正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 7．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，验证各选项. 【详解】“”⇒“”为真命题， 但当时，“”⇒“”为假命题， 故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； “是无理数”⇒“a是无理数”为真命题， “a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题， 故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； “”⇒“”为假命题，“”⇒“”也为假命题， 故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题； ，故“”是“”的必要条件，故D为真命题． 故选：BD． 8．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 9．下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断A；根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断B；根据不一定推出且成立即可判断C；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断D． 【详解】对于A， 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， 由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，故B正确； 对于C， 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D， 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，故D正确； 故选：BD． 10．下列叙述中不正确的是（    ） A．若a，b，，则“”的充要条件是“” B．若a，b，，则“”的充要条件是“” C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】A选项，推出恒成立，需要满足，A错误；B选项，举出反例，得到必要性不成立；C选项，求出方程有一个正根和一个负根，需要满足，从而得到C正确；D选项，举出反例得到充分性不成立. 【详解】A选项，当时，要想恒成立，则， 满足， 当时，需要， 所以恒成立，需要满足， 故“”的充要条件不是“”，A错误； B选项，若，且，此时不能得到，故必要性不成立，B错误； C选项，方程有一个正根和一个负根，则要满足， 解得， 由于，但， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确； D选项，当时，满足，但不满足，充分性不成立，D错误. 故选：ABD 题型三 充分、必要和充要条件的传递性 11．已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 12．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判断即可. 【详解】依题意是的充分不必要条件，是的充分条件， 是的必要条件，是的必要条件，， 所以是的充要条件，A、C错误;是的充分不必要条件, D错误; 是的充要条件，B正确. 故选：B 13．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 14．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（    ） A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案. 【详解】依题意得，，，， 由，得，但不一定能推出，故A不正确； 由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故B正确； 因为不一定能推出，不一定能推出，所以C不正确； 因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故D不正确. 故选：ACD 15．已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 题型四 写出一个充要条件 16．若，则的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】或，再利用不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：∵或或或， 又， ∴的一个充要条件是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质等价转化不等式，属于基础题． 17．的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 18．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 19．设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 20．已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 【答案】A 【分析】结合不等式的性质即可求解，结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】解：且， 故的充要条件为都不为2． 故选：A． 题型五 已知充要条件求参数 21．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 22．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 23．已知集合A={x|a-2<x<a+2}，B={x|x≤-2或x≥4}，则A∩B=的充要条件是（    ） A．0≤a≤2 B．-2<a<2 C．0<a≤2 D．0<a<2 【答案】A 【分析】根据集合的交集，列出不等式，即可求得参数范围. 【详解】选A.A∩B=⇔⇔0≤a≤2. 故A∩B=的充要条件是0≤a≤2. 故选：. 【点睛】本题考查由集合交集的结果求参数范围，属简单题. 24．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 25．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 题型六 充要条件的证明 26．求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析 【分析】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【详解】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 27．已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 28．求证：关于x的方程有两个同号且不相等的实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】结合判别式、根与系数关系，先证得充分性，然后证得必要性. 【详解】①充分性： 因为， 所以方程的判别式，且两根积， 所以方程有两个同号且不相等的实根. ②必要性： 若方程有两个同号且不相等的实根， 设两根为， 则有，解得. 综合①②可知，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是，命题得证. 29．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】证明（必要性） ∵，∴ ∴ （充分性） ∵，∴ ∴ 即，∴，得证． 30．设a，b，．求证：，，的充要条件是，，． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可. 【详解】证明：（必要性）由，，，显然有，，． （充分性）用反证法：假设，，不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0． 由a，b，c的对称性，不妨设 由得，从而由，得，即 故，于是．这与矛盾，于是假设不成立． 因此，，，． 题型七 充要条件的综合题型 31．下列各题中，命题p是命题q的什么条件？（填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”）（只写答案即可） (1)  且 (2) (3)   (4)某四边形是菱形   某四边形对角线相互垂直 (5)    (6)   【答案】(1)必要不充分条件 (2)充要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充分不必要条件 (6)充分不必要条件 【分析】举反例或推导，根据充分与必要条件的判定判断即可. 【详解】（1）且，则必有；但当时满足，但不满足且，故“”是“且”的必要不充分条件 （2）根据单调递增可得，是的充要条件 （3）则或，则且，故“”是“”的必要不充分条件 （4）菱形对角线互相垂直，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，故“某四边形是菱形”是“某四边形对角线相互垂直”的充分不必要条件 （5）由倒数性质可得，则；但不能推出，也可能为负数，故“”是“”的充分不必要条件 （6）因为，故则，但不一定有，故“”是“”的充分不必要条件 32．已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 33．已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 34．设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：先证充分性：，讨论： i当，继续讨论： ①时，，，所以； ②时，，，所以； ③时，所以； 当时，有成立 ii当，即或 ①当时， ②当时，，， 再证必要性：，两边平方有： ，， 综上：成立的充要条件是. （2）因为， 所以成立的充要条件. 35．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 题型八 新定义题型 36．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 37．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. （2）证明：由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. （3）证明： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 38．已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是为封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集 (2)命题是假命题，命题是真命题 (3)证明见解析 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合，因为，所以是封闭集； 对于集合， 令， 则，所以集合是封闭集. （2）对于命题令，， 令， 则， 所以集合是封闭集，同理集合是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题若，不妨令， 则有，又因为集合是封闭集， 则，同理， 因此，所以是封闭集， 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合， 当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合， 同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 39．已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)具有性质，不具有性质； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合. （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“期待子集”即可. 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 取，满足，，是偶数， 因此集合具有性质； 集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取或或，均有，不满足条件②， 所以不具有性质. （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令，解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”. （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.   再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 40．集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【答案】(1) (2)2 (3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【分析】（1）根据集合的新定义分别求解的值即可； （2）由（1）得，从而得集合，先求解，从而得； （3）（ⅰ）先证充分性，设，从而得的元素，进而求得；再证必要性，设，其中，确定集合中的最小元素与最大元素，从而确定的元素，进而求解；（ⅱ）分别验证，，时，结合新定义判断即可. 【详解】（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 综上，结合集合中元素的互异性，. （2）（2）由（1）知，且， 且同时成立，解得，所以， 又， 所以. （3）（3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且. 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故. 再证必要性.设，其中. 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为， 所以中间三个元素可以是，也可以是， 它们是对应相等的，所以有， 即. 故，得证. （ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知， 设，其中， 此时中的元素为，这与条件矛盾. ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2. （注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可.） ③若，设，其中. 结合知，，其中， 至少存在两个不同的正整数，使得. 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数. 注意到 （*）， 这是中的个不同的元素. 根据的定义我们有， 即，（★） 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 因此，与（★）矛盾， 当时，有， 由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 因为，所以，此时，矛盾. 注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素. 综上，的取值只能为2. 【点睛】关键点点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$