专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类讲义（75题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 与二次函数乘积的恒成立问题 （4） 双变量的一元二次不等式恒成立问题 （5） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 策略方法 1.一元二次不等式的概念辨析 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2.解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 3.解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 4.三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 5.根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 6.简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 7.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 8.一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 9. 解决—元二次方程实根分布问题核心步骤 （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 10.解不等式应用题的步骤 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 1．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 4．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 5．（2025高一·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . （二）不含参一元二次不等式的解法 6．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 7．（2025高一·山东德州·阶段练习）不等式的解集是 . 8．（2025高二·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 9．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（2025高一·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （1） 对二项式系数的讨论 11．（2025高一·陕西商洛·阶段练习）已知函数 (1)若不等式的解集是，求的取值范围； (2)，解不等式． 12．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. （2） 对判别式的讨论 13．（2025高一·全国·课后作业）解关于x的不等式. 14．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式 (1)当不等式的解集为，求实数a，c的值； (2)当时，不等式恒成立，求此时a的取值范围； (3)当，时，求解关于的不等式. （3） 对两根大小的讨论 15．（2025高一·北京·期中）解关于的不等式． 16．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 17．（2025高一·全国·课前预习）解关于的不等式． 18．（2025高一·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 19．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 20．（25-26高一·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 22．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（2025高二·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 25．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 26．【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 27．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 28．【多选】（2025高一·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 29．【多选】（2025高一·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 30．【多选】（2025高一·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 31．（2025高一·上海虹口·期中）已知，如果关于x的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 . 32．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 33．（2025高一·江苏常州·阶段练习）集合，若集合A中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 ． 34．（2025高一·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 35．（2025高一·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 考点四 简单的分式不等式的解法 36．（25-26高三·广东·开学考试）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 37．（25-26高三·福建莆田·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 ． 40．（2025高一·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 41．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 42．（2025高一·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．（2025高二·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 44．（2025高一·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 45．（2025高一·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 46．（2025高一·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（2025高一·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．（2025高一·广东深圳·阶段练习）若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2025高一·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2025高一·安徽·阶段练习）若命题“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3） 与二次函数乘积的恒成立问题 51．（2025高一·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 52．（2025高一·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 53．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . （4） 双变量的一元二次不等式恒成立问题 54．（2025高二·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 55．（2025高一·重庆渝北·期中）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．18 D．36 （5） 一元二次不等式的有解问题 56．（2025高一·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 57．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 58．（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 59．（2025高一·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．（2025高一·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 考点六 一元二次方程的实根分布问题 61．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 62．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 63．（2025高一·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（2025高一·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 65．（2025高一·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 66．（2025高一·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 67．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 68．（2025高一·全国·课后作业）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 69．（2025高一·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 70．（2025高一·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 考点七 一元二次不等式的实际应用 71．（2025高一·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（2025高一·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是 73．（2025高一·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 74．（2024高二·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 75．（2025高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 与二次函数乘积的恒成立问题 （4） 双变量的一元二次不等式恒成立问题 （5） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 策略方法 1.一元二次不等式的概念辨析 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2.解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　 3.解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 4.三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 5.根据一元二次不等式解集求参数 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 6.简单的分式不等式的解法 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？ 答案　>0与(x－3)(x＋2)>0等价；≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 7.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式． 将分式不等式转化为整式同解不等式的变形方法如下表：　 分式不等式 整式同解不等式 ＞0 与或同解；与y1y2＞0同解 ＜0 与或同解；与y1y2＜0同解 ≥0 与同解 ≤0 与同解 特别地，形如＞a(a≠0)的分式不等式，可同解变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 8.一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)对于x∈R恒成立的条件是 (2)在解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意．　 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 9. 解决—元二次方程实根分布问题核心步骤 （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 10.解不等式应用题的步骤 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 1．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【解析】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 2．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【解析】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 3．（2025高一·全国·课后作业）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m为常数） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)不是 (6)不是 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据一元二次不等式的定义判断. 【解析】（1）符合一元二次不等式的定义，所以（1）是一元二次不等式. （2）符合一元二次不等式的定义，所以（2）是一元二次不等式. （3）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. （4）不是，因为x的最高次数为3，不符合一元二次不等式的定义. （5）不是，因为当时，它为一元一次不等式；当时，它为二元二次不等式. （6）不是，因为当时，不符合一元二次不等式的定义. 4．【多选】（2025高一·全国·课后作业）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【解析】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 5．（2025高一·全国·课堂例题）若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【解析】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： （二）不含参一元二次不等式的解法 6．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式变形为，再求出变形后的一元二次不等式的解，即可得解. 【解析】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 7．（2025高一·山东德州·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【解析】由得到， 令，因为， 又图象开口向上，所以图象恒在轴上方， 则的解集为， 故答案为：. 8．（2025高二·北京·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【解析】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 9．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【解析】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 10．（2025高一·云南玉溪·期末）在上定义运算，则满足的实数的取值范围为 【解析】， 化简得，， 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （1） 对二项式系数的讨论 11．（2025高一·陕西商洛·阶段练习）已知函数 (1)若不等式的解集是，求的取值范围； (2)，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）时，，可得的取值范围； （2）对分类讨论，可求不等式的解集. 【解析】（1）因为当时，， 所以的解集不可能是， 所以不等式的解集是，的取值范围为； （2）当时，不等式变形为，不等式的解集为， 当时，不等式可变形为，又， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可变形为， 若，则，则不等式的解集为， 若，，则不等式的解集为， 若，则，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解集问题，解题关键是掌握三个二次之间的关系，一般解一元二次不等式，我们都是把二次项系数化为正数，然后求解，而在二次项系数含有参数时，应分类讨论再结合二次函数的图象与性质求得不等式的解. 12．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【解析】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2） 对判别式的讨论 13．（2025高一·全国·课后作业）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【解析】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. 14．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式 (1)当不等式的解集为，求实数a，c的值； (2)当时，不等式恒成立，求此时a的取值范围； (3)当，时，求解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）分析可知的两根为，且，利用韦达定理分析求解； （2）由题意可得：恒成立，分和，结合判别式列式求解； （3）分类讨论判别式的符号，结合二次不等式运算求解. 【解析】（1）由题意可知：的两根为，且， 则，解得. （2）由题意可得：恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）当，时，可得， 若，即时，由（2）可知：不等式解集为； 若，即时，则，解得； 若，即时，令，解得， 且， 由解得或； 综上所述：若时，不等式解集为； 若时，不等式解集为； 若时，不等式解集为. （3） 对两根大小的讨论 15．（2025高一·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【解析】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 16．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【解析】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 17．（2025高一·全国·课前预习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【解析】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 18．（2025高一·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）根据不等式的解集以及根与系数关系即可求；. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【解析】（1）由题意不等式的解集为或， 所以，解得. （2）由题意，可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集. 【解析】由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 20．（25-26高一·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【解析】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 21．（25-26高一·全国·课前预习）已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解析】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 22．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【解析】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 23．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【解析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 24．（2025高二·福建漳州·期末）已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【解析】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 25．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【解析】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 26．【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【解析】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 27．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【解析】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 28．【多选】（2025高一·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【解析】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 29．【多选】（2025高一·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【解析】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 30．【多选】（2025高一·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集与方程的根的关系可判断，结合韦达定理及一元二次不等式的解法可判断；利用基本不等式的求和的最小值可判断； 【解析】对于：不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故正确， 对于：可变为，解得或，故错误， 对于，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故正确； 对于，是对应方程的根，所以，故正确. 故选：ACD. （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 31．（2025高一·上海虹口·期中）已知，如果关于x的不等式的解集中恰有3个整数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】因式分解求的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【解析】关于x的不等式即, , 化简得 ∵的解集中的整数恰有3个, 故二次函数开口向上,又因为所以. ∴不等式的解集为,因为所以, 所以解集里的整数是三个. ∴, ∴化简得, ∵, ∴, ∴ 综上有 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题. 32．（2025高一·江苏苏州·阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【解析】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 33．（2025高一·江苏常州·阶段练习）集合，若集合A中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由题意可知，因为且A中有且只有3个整数，所以这3个整数为0，1，2， 再结合二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围即可． 【解析】解：， 因为且A中有且只有3个整数， 故这3个整数为0，1，2， 故， 即， 解得或， 即实数a的取值范围为或 故答案为：或 34．（2025高一·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【解析】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 35．（2025高一·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【解析】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 考点四 简单的分式不等式的解法 36．（25-26高三·广东·开学考试）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【解析】由， 则. 故选：C. 37．（25-26高三·福建莆田·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，明确集合，再根据交集的概念求. 【解析】由. 所以集合， 所以. 故选：A 38．（25-26高三·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分式不等式转化为等价的不等式组求解. 【解析】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 39．（25-26高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【解析】由等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 40．（2025高一·贵州遵义·期末）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解． 【解析】，即， 解得：或， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 41．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【解析】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 42．（2025高一·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【解析】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 43．（2025高二·山东临沂·阶段练习）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【解析】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 44．（2025高一·江西·开学考试）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【解析】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 45．（2025高一·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【解析】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 46．（2025高一·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【解析】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 47．（2025高一·河北邢台·阶段练习）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【解析】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 48．（2025高一·广东深圳·阶段练习）若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成在时恒成立，再利用基本不等式，即可求出结果. 【解析】因为，由得到， 由题知，在时恒成立，又，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：C. 49．（2025高一·全国·随堂练习）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【解析】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 50．（2025高一·安徽·阶段练习）若命题“，”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，只需，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【解析】由题可知恒成立，只需， 因为，当且仅当时，即当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：B. （3） 与二次函数乘积的恒成立问题 51．（2025高一·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【解析】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 52．（2025高一·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【解析】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 53．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. （4） 双变量的一元二次不等式恒成立问题 54．（2025高二·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【解析】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 55．（2025高一·重庆渝北·期中）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．18 D．36 【答案】C 【分析】先由不等式对任意恒成立求出，接着由和求出，再由得，求出的最大值即可得解. 【解析】因为不等式对任意恒成立， 所以， 因为， 所以，又，，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为18. 故选：C. （5） 一元二次不等式的有解问题 56．（2025高一·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 57．（2025高一·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【解析】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 58．（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【解析】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 59．（2025高一·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【解析】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 60．（2025高一·湖北荆州·阶段练习）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【解析】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 考点六 一元二次方程的实根分布问题 61．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【解析】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 62．（2025高一·全国·专题练习）若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求参数的取值范围. 【解析】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 63．（2025高一·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【解析】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 64．（2025高一·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 65．（2025高一·天津河西·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【解析】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 66．（2025高一·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解析】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 67．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【分析】A，根据一元二次方程两实根可得，列出不等式，求解即可得出充要条件，再根据包含关系得到A正确；B，由已知可知判别式条件及两根之积为负列出不等式组，求解即可；C项，由已知可知判别式条件及两根之和以及两根之积为正列出不等式组；D项，由已知可知判别式条件列出不等式，求解即可． 【解析】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 68．（2025高一·全国·课后作业）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【解析】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，， 解得， 综上，， 即关于x的方程没有一个负根时，， 所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是， 故选:B. 69．（2025高一·全国·单元测试）已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【解析】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，    故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象，    由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 70．（2025高一·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 【答案】 【分析】设方程在上的两个根分别为，则，当时，，分析和的范围即可求解. 【解析】设方程在上的两个根分别为， 则， 则当时，， 又． ． 考点七 一元二次不等式的实际应用 71．（2025高一·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【解析】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 72．（2025高一·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 73．（2025高一·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【解析】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C 74．（2024高二·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【解析】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 75．（2025高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． $$