第7讲：用空间向量研究夹角问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026高二数学上学期常考题型归纳 【第7讲：用空间向量研究夹角问题】 【知识梳理】 一、预备知识：空间向量的核心基础 （一）空间向量的坐标表示 1.空间直角坐标系建立：通常以几何体的公共顶点、对称中心或线面交点为原点，以垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴，建立右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 2.向量坐标求法：若点，，则向量。 3.特殊向量：单位向量（模为1的向量）、方向向量（平行于直线的非零向量）、法向量（垂直于平面的非零向量）。其中，平面法向量可通过平面内两个不共线向量的叉积求解。 （二）空间向量的关键运算 1.数量积：若，，则。 2.模长公式：。 3.夹角公式：设与的夹角为（），则，此为求空间夹角的核心公式。 二、空间三种夹角的向量求法 （一）异面直线所成的角 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，所成的锐角或直角称为异面直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设异面直线、的方向向量分别为、，则。 3.易错点：需取数量积的绝对值，确保结果为锐角或直角。 （二）直线与平面所成的角 1.定义：直线与平面中垂直于该直线在平面内射影的直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则（本质：直线与平面所成角和直线与法向量的夹角互余）。 3.关键提醒：公式中是“”，而非“”，避免与线线角公式混淆。 （三）平面与平面所成的角（二面角） 1.定义：从二面角棱上一点出发，分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（锐角或钝角）称为二面角的平面角，记为，范围是。 2.向量求法：设两个平面的法向量分别为、，则： 若二面角为锐角，则； 若二面角为钝角，则； 核心公式：（符号由二面角实际开合方向判断）。 3.难点突破：法向量的方向不唯一，需通过观察几何体或取特殊点验证二面角的锐角/钝角属性。 三、通用解题步骤与核心技巧 （一）标准化解题流程 1.建系：根据几何体特征建立合适的空间直角坐标系，标注关键点坐标。 2.求向量：求出直线的方向向量、平面的法向量（法向量求解：设，利用平面内两向量列方程组，取一组非零解）。 3.用公式：根据夹角类型代入对应向量公式计算余弦值或正弦值。 4.定结果：结合夹角范围及几何体实际形态，确定夹角的具体值（或三角函数值）。 （二）高频易错点警示 1.建系错误：轴的垂直性不满足（如未以垂线为轴），导致坐标计算出错。 2.法向量求解失误：方程组消元错误，或未取非零解。 3.夹角公式混淆：线面角用“”、线线角与二面角（锐角）用“”，记混易致结果错误。 4.二面角符号判断偏差：仅凭法向量夹角定符号，未结合图形验证，导致钝角与锐角颠倒。 （三）优化技巧 1.特殊点优先：尽量以原点、中点、垂足为坐标原点，简化向量坐标计算。 2.法向量简化：求解法向量时，可设其中一个分量为1（如），减少计算量。 3.几何直观辅助：复杂几何体可通过画草图，辅助判断二面角开合方向、直线与平面的位置关系 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：求异面直线的夹角】 【例题】1．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】 如图，设正方体棱长为4，， 则，. 因， ， 则，故， ，故， 且， 则， 设BE与DF所成的角为，则. 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，然后根据向量夹角的余弦公式求出最大值即可. 【详解】设正方形的中心为点，连接，由条件知垂直于平面于点，又， 由射影定理知．显然点在点之间． 以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，，，则，，． 易知，因此，． 所以． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即取到最大可能值． 故答案为：. 【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．    连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用两点距离的坐标公式可得，进而得到的长最小时的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】因为，是正方形，且它们所在的平面互相垂直，所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，得，则， 所以当时，取得最小值，此时分别为的中点，， 所以， 因此， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为： 【解题策略】 步骤1：建立合适的空间直角坐标系 建立坐标系是向量法解题的基础，核心原则是简化坐标计算，通常按以下思路操作： 1.选原点：优先选择几何体的公共顶点、对称中心、线面交点或垂足作为坐标原点（如正方体的顶点、长方体的对称中心、棱锥的顶点等）。 2.定轴方向：以垂直的棱、对称轴、垂线或平行线为x、y、z轴，确保满足右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长等已知条件，标注出异面直线上关键点（如端点、中点）的空间坐标。 步骤2：求两条异面直线的方向向量 方向向量是描述直线走向的非零向量，求解方法为： 1.确定直线上两点：在每条异面直线上各取两个不同的点（可直接选用步骤1中标注的关键端点）。 2.计算向量坐标：若直线上有两点、，则的方向向量；同理，若直线上有两点、，则的方向向量。 *注：方向向量不唯一，同一直线的方向向量可相差非零常数倍，不影响最终夹角计算结果。* 步骤3：代入异面直线夹角公式计算余弦值 设两条异面直线的方向向量分别为、，所成角为（范围：），则核心公式为： 其中： 向量数量积：（对应坐标乘积之和）； 向量模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 *关键提醒：因异面直线所成角是“锐角或直角”，需取向量夹角余弦值的绝对值，避免出现钝角结果。* 步骤4：确定异面直线的夹角 根据步骤3计算出的值，结合夹角范围，确定最终夹角： 1.若，则（异面直线垂直）； 2.若，则（需排除，因异面直线不平行）； 3.若，则，可根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.建系错误：轴的垂直性不满足（如误将不垂直的棱作为x、y轴），导致坐标和方向向量计算全错； 2.漏取绝对值：忘记公式中的绝对值符号，得到钝角结果，与异面直线夹角范围矛盾； 3.方向向量计算错误：两点坐标相减时顺序颠倒（如误算为）， 【考点二：求直线与平面的夹角】 【例题】1．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）求出直线PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的正切值. 【详解】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形，则， 所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ， 则，取平面PAD的法向量为， 所以，且平面， 所以平面； （2）由（1）知：，取平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BO并延长交AC于D，先证O为BD的中点，然后可得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，线面角为，根据平面法向量的求解方式得到平面的一个法向量，再利用求解即可. 【详解】（1）如图①，连接BO并延长交AC于D．    连接OA，，易得平面ABC． 因为平面ABC，平面ABC， 所以，． 又，所以， 即，故． 因为，所以， 则，， 即，故，所以， 故O为BD的中点，又E是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴， 过点A作，建立如图②所示的空间直角坐标系Axyz，    易得， 设，，则， 故，，，，， 则，，， 设平面AEC的法向量为， 则， 则，令，得，故， 设直线AB与平面EAC所成的角为θ， 则 解得，即． 【针对训练】1．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在直三棱柱中，,，为的中点. (1)证明:. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】（1）连接，， ∵，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 在矩形中，易知，则，即， ∵，平面，∴平面， 又∵平面，∴； （2）取的中点，连接，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ∵，，∴， ∵，∴为的中点， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，即 ，令，则，，故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 2．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题）如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见详细解析 (2) 【分析】（1）通过证明来证明平面； （2）通过在A点建立空间直角坐标系，采用坐标法求解与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为，，M为AD中点，所以，，所以四边形MDEF是平行四边形，进一步可得， 因为平面BFM，平面BFM，所以平面BFM． （2）因为平面平面ABCD，平面ADEF，且，即，所以平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以， 因此可以建立空间直角坐标系，如图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 已知，，M为AD中点，则各点坐标为： ，，，，，， 所以，，， 设平面BFM的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设CE与平面BFM所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式， 可得， 其中，，， 所以， 综上，与平面所成角的正弦值为． 3.（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案；（ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得，由此列式求解，即得答案. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）（i）解：在四边形中，因为，，， 故； 又，，则，所以， 结合，则， 以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角，即可得PB的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 则，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）解：因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， ， H，A，O，N四点共面，存在实数a，b，使得， 即， ，解得. 【解题策略】 步骤1：建立空间直角坐标系 坐标系的建立直接影响计算效率，需遵循“垂直、对称、简化”原则： 1.选原点：优先选择几何体的顶点、对称中心、线面垂足或棱的中点（如正方体的顶点、长方体的底面中心、棱锥的顶点等）。 2.定坐标轴：以互相垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴，严格满足右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长、垂直关系等已知条件，标注出直线上的关键点（如端点）以及平面内的关键点（如三个不共线的顶点）的空间坐标。 步骤2：求两个关键向量 直线与平面的夹角计算需用到直线的方向向量和平面的法向量，二者的求解是核心环节。 2.1求直线的方向向量 方向向量描述直线的走向，求解方法为： 在直线上取两个不同的点和； 计算向量，此向量即为直线的方向向量（记为）。 *注：同一直线的方向向量不唯一，可相差非零常数倍，不影响最终结果。* 2.2求平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量（记为），求解步骤为： 1.取平面内两个不共线向量：在平面内选取三个不共线的点、、，计算平面内的两个向量、。 2.列方程组求解法向量：设法向量，根据“法向量垂直于平面内任意向量”，列方程组： 即。 3.赋值确定法向量：方程组有无数解，可对其中一个未知数（如或或）赋非零特殊值（如1、-1），代入求出另外两个未知数，得到一个具体的法向量。 步骤3：代入直线与平面夹角公式计算正弦值 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为（范围：）。 核心关系：直线与平面所成角，与直线方向向量和平面法向量的夹角（范围：）互余或互补后互余，即或。 因此，夹角公式为： 其中： 向量数量积：（对应坐标乘积之和）； 向量模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 *关键提醒：因是“锐角或直角”，需取向量夹角余弦值的绝对值，确保，符合夹角范围。* 步骤4：确定直线与平面的夹角 根据步骤3计算出的值，结合，确定最终夹角： 1.若，则（直线与平面平行或直线在平面内）； 2.若，则（直线与平面垂直）； 3.若，则，可根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.混淆“正弦”与“余弦”：误将公式写为，忽略直线与平面夹角和“方向向量-法向量夹角”的互余关系； 2.法向量求解错误：平面内向量取共线向量，导致方程组无解；或赋值时计算失误，得到错误法向量； 3.漏取绝对值：忘记公式中的绝对值符号，导致为负，与夹角范围矛盾； 4.建系不垂直：坐标轴不满足两两垂直，导致后续所有向量坐标和运算全错。 【考点三：求二面角平面与平面的夹角】 【例题】1．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设中点为，连接，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，分别为轴建立坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用坐标公式求解即可. 【详解】（1）设中点为，连接， 因为四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为正三角形，则，， 因为，所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）可知两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，， 易知平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，可得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． (1)当时，求证：； (2)当的长最小时，求二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，计算出，得到垂直关系. （2）计算出当时，取得最小值，求出两平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 【详解】（1）由，得，则，又平面， 以为坐标原点，直线分别为轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 当时，分别为的中点，， 则，，因此， 所以. （2）由，得， 则，当且仅当时取等号， 此时， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此，由图形知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 【针对训练】3．（25-26高三上·浙江·开学考试）如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由由题意可得平面平面，，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）由题意，平面平面，，， 因为平面平面，且平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 则二面角的余弦值为. 4．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可得，再由相似的性质可得，最后由线面垂直的判定定理可证； （2）解法一：设交于F点，连接，利用线面垂直的性质易得所求为，分析几何关系利用三角函数易得结果；解法二：以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法求解. 【详解】（1）∵，平面平面， 又二面角为直二面角，则平面平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵，，，则，，， 则， 由勾股定理得， ∵平面，平面，， ∴平面. （2）解法一：设交于F点，连接， 由（1）得平面， 平面， ， ∵平面， ∴，， 设平面与平面夹角为，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴二面角的正切值为. 解法二：由（1）知， 以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题设及（1）得，，，，， 平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 由得，令，得， 设二面角的大小为，则， ∴二面角的正弦值为， ∴二面角的正切值为. 5．（25-26高三上·重庆·开学考试）在圆锥中，母线长为2，四边形为底面圆的内接四边形，若面积的最大值为. (1)求圆锥的体积； (2)若四边形为平行四边形，，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，结合题设及正弦函数性质、圆锥的轴截面知识可得的最大值为，即可得到过底面圆心，为等边三角形，进而求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）由， 因为面积的最大值为，所以的最大值为， 则圆锥轴截面等腰三角形的顶角为锐角，否则的最大值为1， 因为函数在上单调递增， 所以的最大值为，此时过底面圆心，即为等边三角形， 则， 所以圆锥的体积为. （2）由（1）知，为底面圆的直径，则， 即四边形为矩形， 因为，，所以， 如图，以为原点，以所在直线为轴，以平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 【解题策略】 步骤1：建立空间直角坐标系 遵循“垂直、对称、简化计算”原则，确保坐标系为右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴），具体操作： 1.选原点：优先选择几何体的顶点、棱的中点、线面垂足或对称中心（如正方体的顶点、棱锥的底面中心等）。 2.定坐标轴：以互相垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴（例如，底面为直角三角形时，可将直角顶点作为原点，两条直角边为x、y轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长、垂直关系等已知条件，标注出两个平面内所有关键点（如顶点）的空间坐标。 步骤2：求两个平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量，设两个平面分别为和，对应的法向量为（平面的法向量）和（平面的法向量），求解方法完全相同，具体步骤为： 1.取平面内两个不共线向量：在平面内选三个不共线的点、、，计算向量和。 2.列方程组求解法向量：设法向量，根据“法向量垂直于平面内任意向量”，列数量积为零的方程组： 即。 3.赋值确定法向量：方程组有无穷多解，对其中一个未知数（如或）赋非零特殊值，代入求出另外两个未知数，得到具体的；同理求出。 步骤3：计算两个法向量的夹角余弦值 设二面角的大小为（范围：），两个法向量的夹角为（范围：）。二者的关系为：或（取决于法向量的方向是否“同向”或“反向”指向二面角内部）。 法向量夹角的余弦值公式为： 其中： 数量积：（对应坐标乘积之和）； 模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 步骤4：判断二面角的实际大小（核心关键） 由于法向量的方向不唯一（可同向或反向），需通过几何直观或辅助向量判断与的关系，避免结果错误，常用方法有两种： 方法1：几何直观判断法 观察几何体中两个平面的“开合方向”： 若两个法向量分别“指向二面角的内部”和“指向二面角的外部”（即法向量方向“交叉”），则； 若两个法向量同时“指向二面角内部”或同时“指向外部”（即法向量方向“同向”），则。 方法2：辅助向量验证法 在二面角的棱上取一点，在两个平面内分别作垂直于棱的向量（平面内）和（平面内），则与的夹角即为二面角的实际大小。通过计算，对比步骤3中的符号，确定是“法向量夹角”还是“其补角”。 步骤5：确定二面角的最终结果 根据步骤3的余弦值和步骤4的判断，确定二面角的大小： 1.若，则（两平面重合）；若，则（两平面平行且反向）； 2.若，则或，根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.法向量方向判断错误：未验证法向量指向，直接将法向量夹角当作二面角，导致结果为补角； 2.计算失误：数量积或模长计算错误（尤其是符号错误），影响余弦值结果； 3.建系不规范：坐标轴不满足两两垂直，导致所有向量坐标错误； 4.忽略二面角范围：误将二面角范围当作（与线面角混淆），忘记可大于90°。 【考点四：探索性问题】 【例题】1．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设线段的中点为，线段的中点为，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）根据已知，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，令，，结合已知并利用线面角的向量求法列方程求参数，即可得. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接， 依题意，，则，由，得， 而，是梯形的中位线，于是， 而平面，则平面， 而平面，于是，又平面，且和相交， 因此平面，而平面，所以平面平面；    （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由，平面，可得平面， 过作平面，以为原点，构建如下图空间直角坐标系，    则，， 令，，则， 由平面，则平面的一个法向量为， 由题设， 所以，可得（负值舍），所以时满足题设. 2.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【分析】（1）先证明，，由线面垂直判定定理证明平面，所以，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）先证明平面，由此可得，再证明，由此可得，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）设，，由此可得，根据点到平面的距离的向量求法结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面， 所以平面， （2） 由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故， 由（1）平面，平面， 所以，故，又， 所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 【针对训练】1．（2025高二·全国·专题练习）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【分析】（1）取的中点，连接，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到，，两两垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出的长度，进而即可得到点的坐标； （2）先结合（1）求出平面的一个法向量，再根据点到平面的距离公式计算求解即可； （3）设，则，先求平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求出，进而即可得出出点的位置． 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【详解】（1）在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面， （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 【解题策略】 1.建立空间直角坐标系 遵循“简化计算”原则选取原点和坐标轴： 原点选择：优先选几何体的顶点、中点、线面垂直的垂足，或对称中心（如正方体的顶点、棱锥的底面中心）。 轴的确定：以两两垂直的棱、线面垂直的直线或对称轴为x、y、z轴（例如，以柱体的侧棱为z轴，底面内互相垂直的两条边为x、y轴），确保坐标轴两两垂直且尽可能多的顶点落在坐标轴上。 2.参数化待探索对象 根据探索目标（如“是否存在某点”“某线段长度为多少”）设参数，将未知量转化为代数符号： 探索棱上的点：若点P在棱AB上，设（λ为参数），利用A、B的坐标表示出P的坐标（若P在线段AB上，则λ∈[0,1]；若允许在延长线上，则λ∈R）。 探索直线方向：若直线过定点且方向未知，设其方向向量为（可固定一个非零分量为1，如设c=1，减少参数个数）。 探索线段长度：若线段CD的长度为t，根据其与已知线面的位置关系（如平行、垂直），用t表示C、D的坐标。 3.写出已知点的坐标 根据几何体的棱长、角度等已知条件，计算并列出所有关键顶点（如棱的端点、面的顶点）的坐标，为后续向量计算做准备。 二、向量量化：计算核心向量与匹配夹角公式 这一步是连接“坐标”与“夹角”的桥梁，通过方向向量、法向量量化线、面，再用向量公式表达夹角的三角函数值。 1.计算关键向量 根据夹角类型，需准备两类核心向量： 直线的方向向量：若直线过点和，则方向向量。 平面的法向量：在平面内取两个不共线的向量、，设法向量为，解方程组（数量积为0），取一组非零解作为法向量（可简化为整数坐标，方便计算）。 2.按夹角类型套用向量公式 1.异面直线所成角公式：设两条异面直线的方向向量分别为和，所成角为（范围：），则。其中，是两向量的数量积，、分别是两向量的模长，取绝对值是为了保证为锐角或直角。 2.直线与平面所成角公式：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为（范围：），则。由于直线与平面所成角和直线方向向量与平面法向量的夹角互余，因此公式中用正弦值对应。 3.二面角公式：设两个平面的法向量分别为和，二面角的大小为（范围：），则。“”的选择需结合几何体图形判断：若二面角为锐角，取正号；若为钝角，取负号，即通过观察法向量的方向与二面角开合方向的关系确定符号。 三、方程求解：建立方程并解参数 这一步是“代数运算”的核心，通过题目给出的夹角条件，建立含参数的方程并求解。 1.代入条件列方程 将题目中“夹角为α”“夹角的正弦值为k”等已知条件代入上述对应公式，得到只含所设参数（如λ、a、b、c、t）的代数方程。 2.求解参数 通过代数运算化简方程，求解参数的所有可能值： 若为一次方程，直接求解； 若为二次方程，求出所有实数根； 若含多个参数（如方向向量的a、b、c），通过比例关系消参后求解。 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·河南·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得 C． D．若点满足，则点的轨迹长度为 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．存在点，使得平面 D．若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题 5．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 四、解答题 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 11．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 12．（24-25高三下·云南·期中）如图，在六面体 中，平面 平面 ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)若 平面 ，，，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 B A BCD ABD 1．B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 2．A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 3．BCD 【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD． 【详解】延长到，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确； ， ， , ， ，C正确； ，， ，则．即， 所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行． 4．ABD 【分析】设正方体的棱长为，对于A，根据等体积转化，可证明体积为定值；对于B，取、中点、，连接、、、，证明平面平面，则点的轨迹为线段；对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出、即可判断；对于D，利用线面角的向量公式，得到点的轨迹方程，即可判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 5． 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 6．(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 7．(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果； （2）设， 利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度． 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 8．(1)证明见详解 (2)存在，点为靠近的三等分点 【分析】（1）台补锥，根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 可得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 9．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先证明，,再利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）取线段的中点，连接，，先利用平行四边形证明，再利用线面平行的判定定理求解即可； （3）过点作圆柱的母线，以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，再利用夹角公式求解即可. 【详解】（1）依题意可得为圆的一条直径，则． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 所以平面． （2）取线段的中点，连接，． 在中，，． 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． （3）过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直． 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，，则，，，，所以，． 设为平面的法向量， 所以令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 结合，解得，，所以． 10．(1)证明见解析 (2)存在，点是线段的中点 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【详解】（1）取线段的中点，连接，    在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 11．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题干条件，结合勾股定理可证，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）∵，，∴，∴. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵，，，平面，平面，∴平面. 又平面，. （2）由（1）可知，，，故以为坐标原点，，，分别为，，建立空间直角坐标系如图所示. 则由题可知，，，，， ∴，，. 平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，， ∴平面的一个法向量为. ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为. 12．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，中点分别为，，由面面平行性质定理证明，再证明，，由此证明，由平行的传递性证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）结论空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）设，中点分别为，，连接，； 由于平面平面，平面平面， 平面平面， 所以， 又是的中点，则， 由于，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 同理，可得 又，所以．   所以确定平面，又平面平面， 平面平面， 所以， 由于是的中位线，则， 所以， 而平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为，，， 所以，则． 由于平面， 所以以为原点，、、分别轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，     ，所以， 取，则， 所以为平面的一个法向量．     设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 13．(1)证明见解析； (2)①；②； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）①由（1）中信息，求出点Q到平面的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且平面，所以平面. （2）①在四边形中，，则，而， 则梯形的面积，由点Q为棱的中点， 得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积. ②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 14．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点为，连接，，易得，，再由线面垂直的判定和性质，即可证； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，求出直线与平面的方向向量和法向量，最后应用向量法求夹角余弦值； （3）构建合适的空间直角坐标系，设，则，应用异面直线夹角的向量求法及已知列方程求得，即可得. 【详解】（1）取中点为，连接，， ，， ，， 又，、平面， 平面，又平面， ． （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，易知，，两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， ， 设直线与平面所成角为，则，又， 直线与平面所成角的余弦值为. （3）以为原点，以为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 为等腰三角形，， ，则，，， 设，则，则，， 故， 或（舍），又， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026高二数学上学期常考题型归纳 【第7讲：用空间向量研究夹角问题】 【知识梳理】 一、预备知识：空间向量的核心基础 （一）空间向量的坐标表示 1.空间直角坐标系建立：通常以几何体的公共顶点、对称中心或线面交点为原点，以垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴，建立右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 2.向量坐标求法：若点，，则向量。 3.特殊向量：单位向量（模为1的向量）、方向向量（平行于直线的非零向量）、法向量（垂直于平面的非零向量）。其中，平面法向量可通过平面内两个不共线向量的叉积求解。 （二）空间向量的关键运算 1.数量积：若，，则。 2.模长公式：。 3.夹角公式：设与的夹角为（），则，此为求空间夹角的核心公式。 二、空间三种夹角的向量求法 （一）异面直线所成的角 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，所成的锐角或直角称为异面直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设异面直线、的方向向量分别为、，则。 3.易错点：需取数量积的绝对值，确保结果为锐角或直角。 （二）直线与平面所成的角 1.定义：直线与平面中垂直于该直线在平面内射影的直线所成的角，记为，范围是。 2.向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则（本质：直线与平面所成角和直线与法向量的夹角互余）。 3.关键提醒：公式中是“”，而非“”，避免与线线角公式混淆。 （三）平面与平面所成的角（二面角） 1.定义：从二面角棱上一点出发，分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（锐角或钝角）称为二面角的平面角，记为，范围是。 2.向量求法：设两个平面的法向量分别为、，则： 若二面角为锐角，则； 若二面角为钝角，则； 核心公式：（符号由二面角实际开合方向判断）。 3.难点突破：法向量的方向不唯一，需通过观察几何体或取特殊点验证二面角的锐角/钝角属性。 三、通用解题步骤与核心技巧 （一）标准化解题流程 1.建系：根据几何体特征建立合适的空间直角坐标系，标注关键点坐标。 2.求向量：求出直线的方向向量、平面的法向量（法向量求解：设，利用平面内两向量列方程组，取一组非零解）。 3.用公式：根据夹角类型代入对应向量公式计算余弦值或正弦值。 4.定结果：结合夹角范围及几何体实际形态，确定夹角的具体值（或三角函数值）。 （二）高频易错点警示 1.建系错误：轴的垂直性不满足（如未以垂线为轴），导致坐标计算出错。 2.法向量求解失误：方程组消元错误，或未取非零解。 3.夹角公式混淆：线面角用“”、线线角与二面角（锐角）用“”，记混易致结果错误。 4.二面角符号判断偏差：仅凭法向量夹角定符号，未结合图形验证，导致钝角与锐角颠倒。 （三）优化技巧 1.特殊点优先：尽量以原点、中点、垂足为坐标原点，简化向量坐标计算。 2.法向量简化：求解法向量时，可设其中一个分量为1（如），减少计算量。 3.几何直观辅助：复杂几何体可通过画草图，辅助判断二面角开合方向、直线与平面的位置关系 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：求异面直线的夹角】 【例题】1．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为 ． 【针对训练】3．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．    5．（2025高三·全国·专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，异面直线与所成角的余弦值为 ． 【解题策略】 步骤1：建立合适的空间直角坐标系 建立坐标系是向量法解题的基础，核心原则是简化坐标计算，通常按以下思路操作： 1.选原点：优先选择几何体的公共顶点、对称中心、线面交点或垂足作为坐标原点（如正方体的顶点、长方体的对称中心、棱锥的顶点等）。 2.定轴方向：以垂直的棱、对称轴、垂线或平行线为x、y、z轴，确保满足右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长等已知条件，标注出异面直线上关键点（如端点、中点）的空间坐标。 步骤2：求两条异面直线的方向向量 方向向量是描述直线走向的非零向量，求解方法为： 1.确定直线上两点：在每条异面直线上各取两个不同的点（可直接选用步骤1中标注的关键端点）。 2.计算向量坐标：若直线上有两点、，则的方向向量；同理，若直线上有两点、，则的方向向量。 *注：方向向量不唯一，同一直线的方向向量可相差非零常数倍，不影响最终夹角计算结果。* 步骤3：代入异面直线夹角公式计算余弦值 设两条异面直线的方向向量分别为、，所成角为（范围：），则核心公式为： 其中： 向量数量积：（对应坐标乘积之和）； 向量模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 *关键提醒：因异面直线所成角是“锐角或直角”，需取向量夹角余弦值的绝对值，避免出现钝角结果。* 步骤4：确定异面直线的夹角 根据步骤3计算出的值，结合夹角范围，确定最终夹角： 1.若，则（异面直线垂直）； 2.若，则（需排除，因异面直线不平行）； 3.若，则，可根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.建系错误：轴的垂直性不满足（如误将不垂直的棱作为x、y轴），导致坐标和方向向量计算全错； 2.漏取绝对值：忘记公式中的绝对值符号，得到钝角结果，与异面直线夹角范围矛盾； 3.方向向量计算错误：两点坐标相减时顺序颠倒（如误算为）， 【考点二：求直线与平面的夹角】 【例题】1．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB． 【针对训练】1．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，在直三棱柱中，,，为的中点. (1)证明:. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（北京市房山区2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题）如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值． 3.（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)证明：平面平面； (2)若，，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）设，N为PC的中点且H，A，O，N四点共面，求实数的值. 【解题策略】 步骤1：建立空间直角坐标系 坐标系的建立直接影响计算效率，需遵循“垂直、对称、简化”原则： 1.选原点：优先选择几何体的顶点、对称中心、线面垂足或棱的中点（如正方体的顶点、长方体的底面中心、棱锥的顶点等）。 2.定坐标轴：以互相垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴，严格满足右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长、垂直关系等已知条件，标注出直线上的关键点（如端点）以及平面内的关键点（如三个不共线的顶点）的空间坐标。 步骤2：求两个关键向量 直线与平面的夹角计算需用到直线的方向向量和平面的法向量，二者的求解是核心环节。 2.1求直线的方向向量 方向向量描述直线的走向，求解方法为： 在直线上取两个不同的点和； 计算向量，此向量即为直线的方向向量（记为）。 *注：同一直线的方向向量不唯一，可相差非零常数倍，不影响最终结果。* 2.2求平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量（记为），求解步骤为： 1.取平面内两个不共线向量：在平面内选取三个不共线的点、、，计算平面内的两个向量、。 2.列方程组求解法向量：设法向量，根据“法向量垂直于平面内任意向量”，列方程组： 即。 3.赋值确定法向量：方程组有无数解，可对其中一个未知数（如或或）赋非零特殊值（如1、-1），代入求出另外两个未知数，得到一个具体的法向量。 步骤3：代入直线与平面夹角公式计算正弦值 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为（范围：）。 核心关系：直线与平面所成角，与直线方向向量和平面法向量的夹角（范围：）互余或互补后互余，即或。 因此，夹角公式为： 其中： 向量数量积：（对应坐标乘积之和）； 向量模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 *关键提醒：因是“锐角或直角”，需取向量夹角余弦值的绝对值，确保，符合夹角范围。* 步骤4：确定直线与平面的夹角 根据步骤3计算出的值，结合，确定最终夹角： 1.若，则（直线与平面平行或直线在平面内）； 2.若，则（直线与平面垂直）； 3.若，则，可根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.混淆“正弦”与“余弦”：误将公式写为，忽略直线与平面夹角和“方向向量-法向量夹角”的互余关系； 2.法向量求解错误：平面内向量取共线向量，导致方程组无解；或赋值时计算失误，得到错误法向量； 3.漏取绝对值：忘记公式中的绝对值符号，导致为负，与夹角范围矛盾； 4.建系不垂直：坐标轴不满足两两垂直，导致后续所有向量坐标和运算全错。 【考点三：求二面角平面与平面的夹角】 【例题】1．（25-26高三上·河北·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． (1)当时，求证：； (2)当的长最小时，求二面角的余弦值 【针对训练】3．（25-26高三上·浙江·开学考试）如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 4．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）如图，在矩形中，，，，将沿翻折得到四棱锥，且二面角为直二面角. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 5．（25-26高三上·重庆·开学考试）在圆锥中，母线长为2，四边形为底面圆的内接四边形，若面积的最大值为. (1)求圆锥的体积； (2)若四边形为平行四边形，，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【解题策略】 步骤1：建立空间直角坐标系 遵循“垂直、对称、简化计算”原则，确保坐标系为右手直角坐标系（右手四指从x轴绕向y轴，拇指指向z轴），具体操作： 1.选原点：优先选择几何体的顶点、棱的中点、线面垂足或对称中心（如正方体的顶点、棱锥的底面中心等）。 2.定坐标轴：以互相垂直的棱、对称轴或垂线为x、y、z轴（例如，底面为直角三角形时，可将直角顶点作为原点，两条直角边为x、y轴）。 3.标坐标：根据几何体的棱长、边长、垂直关系等已知条件，标注出两个平面内所有关键点（如顶点）的空间坐标。 步骤2：求两个平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量，设两个平面分别为和，对应的法向量为（平面的法向量）和（平面的法向量），求解方法完全相同，具体步骤为： 1.取平面内两个不共线向量：在平面内选三个不共线的点、、，计算向量和。 2.列方程组求解法向量：设法向量，根据“法向量垂直于平面内任意向量”，列数量积为零的方程组： 即。 3.赋值确定法向量：方程组有无穷多解，对其中一个未知数（如或）赋非零特殊值，代入求出另外两个未知数，得到具体的；同理求出。 步骤3：计算两个法向量的夹角余弦值 设二面角的大小为（范围：），两个法向量的夹角为（范围：）。二者的关系为：或（取决于法向量的方向是否“同向”或“反向”指向二面角内部）。 法向量夹角的余弦值公式为： 其中： 数量积：（对应坐标乘积之和）； 模长：，（坐标平方和的算术平方根）。 步骤4：判断二面角的实际大小（核心关键） 由于法向量的方向不唯一（可同向或反向），需通过几何直观或辅助向量判断与的关系，避免结果错误，常用方法有两种： 方法1：几何直观判断法 观察几何体中两个平面的“开合方向”： 若两个法向量分别“指向二面角的内部”和“指向二面角的外部”（即法向量方向“交叉”），则； 若两个法向量同时“指向二面角内部”或同时“指向外部”（即法向量方向“同向”），则。 方法2：辅助向量验证法 在二面角的棱上取一点，在两个平面内分别作垂直于棱的向量（平面内）和（平面内），则与的夹角即为二面角的实际大小。通过计算，对比步骤3中的符号，确定是“法向量夹角”还是“其补角”。 步骤5：确定二面角的最终结果 根据步骤3的余弦值和步骤4的判断，确定二面角的大小： 1.若，则（两平面重合）；若，则（两平面平行且反向）； 2.若，则或，根据题目要求保留“反三角函数形式”或“具体角度值”（如30°、45°、60°等特殊角）。 核心易错点提醒 1.法向量方向判断错误：未验证法向量指向，直接将法向量夹角当作二面角，导致结果为补角； 2.计算失误：数量积或模长计算错误（尤其是符号错误），影响余弦值结果； 3.建系不规范：坐标轴不满足两两垂直，导致所有向量坐标错误； 4.忽略二面角范围：误将二面角范围当作（与线面角混淆），忘记可大于90°。 【考点四：探索性问题】 【例题】1．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥中，，为等腰直角三角形，为斜边，其中．    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【针对训练】1．（2025高二·全国·专题练习）如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解题策略】 1.建立空间直角坐标系 遵循“简化计算”原则选取原点和坐标轴： 原点选择：优先选几何体的顶点、中点、线面垂直的垂足，或对称中心（如正方体的顶点、棱锥的底面中心）。 轴的确定：以两两垂直的棱、线面垂直的直线或对称轴为x、y、z轴（例如，以柱体的侧棱为z轴，底面内互相垂直的两条边为x、y轴），确保坐标轴两两垂直且尽可能多的顶点落在坐标轴上。 2.参数化待探索对象 根据探索目标（如“是否存在某点”“某线段长度为多少”）设参数，将未知量转化为代数符号： 探索棱上的点：若点P在棱AB上，设（λ为参数），利用A、B的坐标表示出P的坐标（若P在线段AB上，则λ∈[0,1]；若允许在延长线上，则λ∈R）。 探索直线方向：若直线过定点且方向未知，设其方向向量为（可固定一个非零分量为1，如设c=1，减少参数个数）。 探索线段长度：若线段CD的长度为t，根据其与已知线面的位置关系（如平行、垂直），用t表示C、D的坐标。 3.写出已知点的坐标 根据几何体的棱长、角度等已知条件，计算并列出所有关键顶点（如棱的端点、面的顶点）的坐标，为后续向量计算做准备。 二、向量量化：计算核心向量与匹配夹角公式 这一步是连接“坐标”与“夹角”的桥梁，通过方向向量、法向量量化线、面，再用向量公式表达夹角的三角函数值。 1.计算关键向量 根据夹角类型，需准备两类核心向量： 直线的方向向量：若直线过点和，则方向向量。 平面的法向量：在平面内取两个不共线的向量、，设法向量为，解方程组（数量积为0），取一组非零解作为法向量（可简化为整数坐标，方便计算）。 2.按夹角类型套用向量公式 1.异面直线所成角公式：设两条异面直线的方向向量分别为和，所成角为（范围：），则。其中，是两向量的数量积，、分别是两向量的模长，取绝对值是为了保证为锐角或直角。 2.直线与平面所成角公式：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为（范围：），则。由于直线与平面所成角和直线方向向量与平面法向量的夹角互余，因此公式中用正弦值对应。 3.二面角公式：设两个平面的法向量分别为和，二面角的大小为（范围：），则。“”的选择需结合几何体图形判断：若二面角为锐角，取正号；若为钝角，取负号，即通过观察法向量的方向与二面角开合方向的关系确定符号。 三、方程求解：建立方程并解参数 这一步是“代数运算”的核心，通过题目给出的夹角条件，建立含参数的方程并求解。 1.代入条件列方程 将题目中“夹角为α”“夹角的正弦值为k”等已知条件代入上述对应公式，得到只含所设参数（如λ、a、b、c、t）的代数方程。 2.求解参数 通过代数运算化简方程，求解参数的所有可能值： 若为一次方程，直接求解； 若为二次方程，求出所有实数根； 若含多个参数（如方向向量的a、b、c），通过比例关系消参后求解。 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·河南·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得 C． D．若点满足，则点的轨迹长度为 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．存在点，使得平面 D．若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 三、填空题 5．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 四、解答题 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 8．（24-25高二下·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 9．（24-25高二下·广西贵港·期中）如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 11．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 12．（24-25高三下·云南·期中）如图，在六面体 中，平面 平面 ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)若 平面 ，，，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（24-25高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)用几何法证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图1，是底边为2的等腰三角形，且，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若直线与所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$