高考预测练(33、34)空间直线、平面的平行、空间直线、平面的垂直-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(三十三) 空间直线、平面的平行 1.(2025·全国高一专题练习)在正方体AB- CD -A1B1C1D1 中,E,F 分 别 是 侧 面 AA1D1D,侧面CC1D1D 的中心,G,H 分别 是线段AB,BC 的中点,则直线EF 与直线 GH 的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 2.若直线a∥平面α,A∉a, 且直线a与点A 位于α的 两侧,B,C∈a,AB,AC 分 别交平面α 于点E,F,若 BC=4,CF=5,AF=3, 则EF的长为 ( ) A.3 B.32 C.34 D. 2 3 3.如图,四边形ABDC 是 梯形,AB∥CD,且 AB 平面α,M 是AC 的中 点,BD 与平面α交于点 N,AB=4,CD=6,则 MN 等于 ( ) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 4.(2025·全国高一专题练习)已知a,b,c为 三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的 平面其中正确的命题 ( ) ①a∥c,b∥c⇒a∥b; ②a∥γ,b∥γ⇒a∥b; ③a∥c,c∥a⇒a∥α; ④a∥γ,a∥α⇒a∥γ; ⑤a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α. A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤ 5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,则下面四 条直线中与平面AB1C平行的是 ( ) A.DB1 B.A1D1 C.C1D1 D.A1D 6.设a,b为两条直线,α,β为两个平面,下列四 个命题中,正确的命题是 ( ) A.若a∥α,b⊂α,则a∥b B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β D.若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面AB1C 与平面AA1D1D 的交线为l,则 ( ) A.l∥A1D B.l∥B1D C.l∥C1D D.l∥D1D 8.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为2的正方形,侧棱 AA1= 3,E 是BC 的中点,F 是棱CC1 上的点,且 CF=13CC1 ,过A1 作平面α,使得平面α∥ 平面AEF,则平面α截直四棱柱ABCD- A1B1C1D1,所得截面图形的面积为 ( ) A.32 B. 19 2 C.3 D.19 9.(多选)α,β,γ 是三个平面,m,n 是两条直 线,下列四个命题中错误的是 ( ) A.若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,则α∥β C.若α∥β,m⊂α,则m∥β D.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —652— 高考预测练 10.(多选)若直线α⊄平面α,且直线a不平行 于平面α.给出下列结论正确的是 ( ) A.α内的所有直线与a 异面 B.α内存在直线与a 相交 C.α内存在唯一的直线与a 平行 D.α内不存在与a 平行的直线 11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB =2,E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若 EF∥平面AB1C,则EF= . 12.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是A1B1,B1C1,BB1 的中点.给出下列 四个推断: ①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1; ③FG∥平面 BC1D1;④平面 EFG∥平面 BC1D1,其中推断正确的序号是 . 13.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 在棱DD1 上且满足D1E=ED,点F 是侧 面 ABB1A 上 的 动 点,且 D1F∥面 AEC,则动点F 在侧面ABB1A1 上的轨迹 长度为 . 14.(预测)(2025·湖南邵阳模拟)如图,在直 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=2,BC =CD= 2,∠DCB=90°,∠DAB=45°,E, F分别为AD,AB 的中点. (1)求证:AD⊥BD; (2)求证:平面BDC1∥平面EFD1; (3)若CC1=2,P 是线段D1F 上的动点, 求直线A1P 与平面BDC1 所成角的正弦 值的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —752— 班级: 姓名: 高考预测练(三十四) 空间直线、平面的垂直 1.(2025·湖南师大附中月考(六))空间中有 两个不同的平面α,β和两条不同的直线m, n,则下列命题为真命题的是 ( ) A.若α⊥β,m⊥α,m⊥n,则n⊥β B.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n C.若n⊂α,n∥β,m⊂β,m∥α,则α∥β D.若n⊥β,且α⊥β,则n∥α 2.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时 垂直,则这条直线和三角形的第三边AB 的 位置关系是 ( ) A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1 的六个面中, 与AA1 垂直的平面有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025·福建漳州第二次质检)(多选)已知 a,b,c是三条不同的直线,α,β,γ是三个不 同的平面,则下列命题中不正确的是( ) A.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=c,则c⊥α B.若α⊥β,α⊥γ,α⊂α,α⊥β,c⊂γ,则a⊥c C.若α∥β∥γ,c∥γ,α⊂α,b⊂β,则a∥b∥c D.若a⊥α,b⊥β,c⊥γ,a∥b∥c,则α∥β∥γ 5.(2025·福建厦门第四次质量检测)(多选) 如图,一个漏斗的上面部分可视为长方体 ABCD-A'B'C'D',下面部分可视为正四棱锥 P-ABCD,O为正方形ABCD 的中心,两部分 的高都是该正方形边长的一半,则 ( ) A.A'O⊥AB B.A'O∥平面APD C.平面AA'P⊥平面BDP D.CC'与A'P 为相交直线 6.在三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC, △ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M 是AB 边上的一动点,则PM 的最小值为 ( ) A.2 3 B.2 7 C.4 3 D.4 7 7.如图所示,AB 是圆O 的 直径,C 是异于A,B 两点 的圆周上的任意一点,PA 垂直于圆O 所在的平面, 则 △PAB, △PAC, △ABC,△PBC中,直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,在四面体 D-ABC 中,若AB=CB, AD=CD,E 是AC 的中点,则下列结论正 确的是 ( ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平 面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面 ADC⊥ 平面BDE 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —852— 高考预测练 9.(2025·广东汕头一模)(多选)正方体AB- CD-A1B1C1D1 中,AB → =2AE→,BC→=2BF→, A1B1 → =-3B1H →,C1B1 → =-3B1G →,则下列两 个平面的位置关系中,不成立的是 ( ) A.平面EFGH∥平面A1AC B.平面EFGH∥平面A1C1D C.平面EFGH⊥平面BDD1 D.平面EFGH⊥平面A1BD 10.(2025·云南昆明一模)(多选)如图,长方 形的长为2 2,宽为2,A,B,C,D 分别为 长方 形 四 条 边 的 中 点,沿 AB,BC,CD, DA,AC折叠,使长方形的四个顶点重合 于点P,所得四面体B'-ACD 称为“萨默维 尔”四面体,在此四面体中,下列结论正确 的是 ( ) A.AC⊥B'D B.平面B'CD⊥平面ACD C.直线AC与平面B'CD 所成角为π4 D.平面AB'C 与平面B'CD 的夹角为π3 11.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,△ABC为正三角形,AA1=AB=6, 则AB1 与平面BCC1 所成角的正切值为 . 12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 为线段DD1 的中点,则点A 到直线 B1E 的距离 . 13.已知平面五边形ABCDE 如图1所示,其 中AD∥BC,AB⊥BC,AD=2BC=4,AB = 6,△ADE 是 正 三 角 形.现 将 四 边 形 ABCD 沿AD 翻折,使得CE=3 2,得到 的图形如图2所示. 图1 图2 求证:平面ABCD⊥平面ADE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —952— 班级: 姓名: 若直线l与平面α相交,直线l上仍存在两个在平面α 不 同侧的点到平面α的距离相等,则故C错误;如果a,b是 异面直线,A,B∈a,C,D∈b,则A,B,C,D 异面,则AC, BD 是异面直线,故D正确.故选BD. 8.BD 三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点,而这三条 直线不共面,A错误;△ABC 所在平面与平面α 相交,由 平面基本事实知,公共点P,Q,R 都在交线上,B正确;一 个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直 线,则这两角相等或互补,C错误;当三个平面互相平行 时,三个平面分空间成4部分;当两个平面平行,与第三 个都相交或三个平面相交于一条直线时,三个平面分空 间成6部分;当三个平面两两相交,有3条交线,且3条交 线平行时,三个平面分空间成7部分;当三个平面两两相 交,有3条交线,且3条交线交于一点时,三个平面分空间 成8部分,所以三个平面最多把空间分成8部分,D正确. 故选BD. 9.答案:② 解析:由正方体的性质易知当P 为A1C1 的中点时,此时 P∈B1D1,而DD1∥BB1,所以B,D,D1,B1共面,则BP、 DD1在 平 面 BDD1B1 上,故 ① 不 符 题 意;因 为AA1∥ CC1,即A,C,C1,A1共面,易知P∈平面ACC1A1,而B∉ 平面ACC1A1,P∈A1C1,P∉AC,故BP 与AC 异面,故 ②符合题 意;当 P、C1 重 合 时,易 知 AB∥D1C1,AB= D1C1,则四边形AB1C1D1是平行四边形,则此时AD1∥ BP,故③不符合题意;当P、C1 重合时,显然B1C,BP 相 交,故④不符合题意.故答案为:② 10.答案:α∥β或α与β相交 解析:由a∥b,a⊂α,b⊂β,得α∥β或α 与β 相交,如图 所示: 故答案为:α∥β或α与β相交. 11.答案:②④ 解析:对①,连接GM,∵G,M 为中点,∴GM∥AB,又 AB∥HN,∴GM∥HN,故直线 GH,MN 共面,故① 错误; 对②,G、H、N 三点共面,但 M∉面GHN,因此直线GH 与MN 异面,故②正确;对③,如图,连接GM,∵G,M 为 中点,∴GM∥AB,又 AB∥HN,∴GM∥HN,故直线 GH,MN 共面,故③错误; 对④,G、M、N 共面,但 H∉面GMN,∴GH 与MN 异 面.故④正确.故答案为:②④. 12.答案:相交或异面 解析:若c∥b,因为c∥a,则a∥b,与已知a、b是异面直 线矛盾,所以直线c与直线b不平行,则当直线c与直线 b在同一平面则相交,当直线c与直线b 不在同一平面 则异面,故答案为:相交或异面. 高考预测练(三十三) 1.C 如图, 连接AD1,CD1,AC, 因为E,F 分别为AD1,CD1的中点, 由三角形的中位线定理知EF∥AC,GH∥AC, 所以EF∥GH. 故选C 2.B ∵BC∥α,BC⊂平面ABC,平面ABC∩α=EF, ∴EF∥BC,∴AFAC= EF BC ,即 3 5+3= EF 4 ,∴EF=32. 故 选B. 3.B 因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平 面α=MN,所以AB∥MN.又M 是AC 的中点,所以MN 是梯形ABDC 的中位线,故 MN=12 (AB+CD)=5.故 选B. 4.A 由题意, ①a∥c,b∥c,故a∥b,故正确;②a∥γ,b∥γ,则a与b 有 可能平行、相交、异面,故错误;③a∥c,c∥a,则a∥α或 a⊂α,故错误;④a∥γ,a∥α;则γ与α可能平行或相交,故 错误;⑤a⊄α,b⊂α,a∥b,由线面平行的判定定理可得 a∥α,故正确.故选A. 5.D 因为 DB1∩平面 AB1C =B1,故 A错误;假设A1D1 ∥平面AB1C,因为在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中, A1D1∥AD,又 AD⊄ 平 面 AB1C,所 以 AD ∥ 平 面 AB1C,显然不成立,故 B错 误;与选项B同理可证C1D1 不满足题 意,故 C错 误;在 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1∥DC且A1B1=DC,所以四边形A1B1CD 是平 行四边形,则A1D∥B1C,又A1D⊄平面AB1C,B1C⊂平 面AB1C,所以A1D 平面AB1C,故D正确.故选D. 6.D 如图1,满足a∥α,b⊂α,但a,b不平行,A错误; 图1 B错误,如图2,满足a∥α,b∥β,α∥β,但a,b不平行,B 错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —163— 图2 如图3,满足a⊂α,b⊂β,a∥b,但α,β不平行,C错误; 图3 若a⊄α,b⊂α,a∥b,由线面平行的判断定理可得a∥α,D 正确.故选D. 7.A 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1,B1C=平面BCC1B1∩ 平面AB1C,平面AB1C∩平面ADD1A1=l,∴l∥B1C. ∵A1D∥B1C,∴l∥A1D,故A正确;因为B1D 与B1C相 交,所以l与B1D 不平行,故B错误;因为C1D 与B1C不 平行,所以l与C1D 不平行,故C错误;因为DD1 与B1C 不平行,所以l与DD1不平行,故D错误;故选A. 8.A 如图,取B1,C1的中点 M,在BB1 上取一点 H,使得 B1H= 1 3BB1 ,连接A1M,HM,A1H,如图, 则A1M∥AE,HM∥EF,A1M∩HM=M,AE∩EF=E, A1M,HM⊂平面 A1HM,AE,EF⊂平面 AEF,∴平面 AEF∥平面A1HM;即过A1点平行于平面AEF 的平面 截四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的图形是三角形 A1HM, 其中B1H= 1 3BB1=1 ,A1H= 5,A1M= 5,MH= 2, cos∠MA1H= A1M2+A1H2-HM2 2·A1M·A1H =45 , ∴sin∠MA1H= 3 5 ,S△A1MH= 1 2A1M ·A1Hsin∠MA1H= 3 2 ,故选A. 9.BD 若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,由面面平行的性质可得 m∥n,故A项正确;m⊂α,n⊂α,m∥β,则α与β平行或相 交,故B项错误;若α∥β,m⊂α,由面面平行的性质可得m ∥β,故C项正确;若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α与β平行或相 交,故D项错误.故选BD. 10.BD 由直线a⊄平面α,且直线a不平行于平面α,可知 直线a与平面α相交,设交点为O,则平面α内必存在过 点O 的直线,这些直线与a相交,故 A错误,B正确;假 设α内存在直线与a 平行,由于直线a⊄平面α,则直线a 平行于平面α,与题意矛盾,则α内不存在与a 平行的直 线,C错误,D正确,故选BD. 11.答案:2 解析:根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面AB- CD, 且平面ABCD∩平面AB1C=AC 所以EF∥AC. 又E 是AD 的中点,所以F 是CD 的中点.因为在 Rt △DEF 中,DE=DF=1,故EF= 2. 12.答案:①③ 解析:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F,G 分别是A1B1,B1C1,BB1的中点, 所以FG∥BC1,因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1, 因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D, 所以FG∥平面AA1D1D,故①正确; 因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交, 所以EF 与平面BC1D1相交,故②错误; 因为 E,F,G 分 别 是 A1B1,B1C1,BB1 的 中 点,所 以 FG∥BC1,因为FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1, 所以FG∥平面BC1D1,故③正确; EF 与平面BC1D1 相交,所以平面EFG 与平面BC1D1 相交,故④错误.故答案为:①③. 13.答案:52 解 析:如 图,取 ABB1A1 的 中 点 G,并 连 接 GD1、 GB、BD1, 因为E 在棱DD1 上且满足D1E=ED,即E 是棱DD1 的中点, 所以BG∥CE,又BG⊄平面AEC,CE⊂平面AEC, 所以BG∥平面AEC,同理可证D1G∥平面AEC, 又BG∩GD1=G,所以平面BGD1∥平面AEC,又BG⊂ 平面BGD1, 所以BG∥平面AEC,所以动点F 在侧面ABB1A1 上的 轨迹即为BG, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —263— 因 为 正 方 体 的 棱 长 为 1,由 勾 股 定 理 有:BG = BA2+AG2= 52. 14.解:(1)证明:∵DC=BC= 2,∠DCB=90°,∴BD= (2)2+(2)2=2,又AD=2,∴BD=AD=2, 又∠DAB=45°,∴∠ABD=45°, ∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD. (2)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD, ∴AD⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴DD1⊥AD,DD1⊥BD, ∴DA,DB,DD1两两垂直. 以点D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DB 所在直线 为y 轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如 图,则D(0,0,0),B(0,2,0),E(1,0,0),F(1,1,0),则DB→ =(0,2,0),EF→=(0,1,0), 设DD1=h(h>0), 则C1(-1,1,h),D1(0,0,h), ∴DC1 →=(-1,1,h),ED1→=(-1,0,h), 设平面BDC1的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 n1·DB →=2y1=0, n1·DC1 →=-x1+y1+hz1=0, 令x1=h,得n1=(h,0,1), 设平面EFD1的法向量为n2=(x,y,z), 则 n2·ED1 →=-x+hz=0, n2·EF →=y=0, 令x=h,得n2=(h,0,1), ∵n1∥n2,且平面BDC1 与平面EFD1 不重合,∴平面 BDC1∥平面EFD1. (3)当CC1=2时,n1=(2,0,1)为平面BDC1 的一个法 向量,D1(0,0,2), 则FD1 →=(-1,-1,2), 设FP→=λFD1→=λ(-1,-1,2)=(-λ,-λ,2λ),λ∈ [-0,1], ∴P(1-λ,1-λ,2λ),∵A1(2,0,2), ∴A1P →=(-1-λ,1-λ,2λ-2), 设直线A1P 与平面BDC1所成角为θ, 则 sinθ =|cos<A1P →,n1>|= |A1P →·n1| |A1P →|·|n1| = |2(-1-λ)+2λ-2| 5· (-1-λ)2+(1-λ)2+(2λ-2)2 = 4 5 5 6λ2-8λ+6 = 4 5 5 6 λ-23 2 +103 ≤2 65 ,当且仅当λ=23 时,等号 成立, ∴直线A1P 与 平 面BDC1 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为2 6 5 . 高考预测练(三十四) 1.B 若α⊥β,m⊥a,m∥n,则n与β相交或n⊂β或n∥β,A 错误;若α⊥β,m⊥a,n⊥β,则直线m,n的方向向量分别 是平面α,β的法向量,而两平面垂直,所以它们的法向量 垂直.即m⊥n,B正确;若n⊂α,n∥β,m⊂β,m∥α,则α∥β 或α与β相交,C错误;若n⊥β,且α⊥β,则n∥α或n⊂α, D错误.故选B. 2.B 因为三角形的两边 AC,BC 有 交 点C,且 直 线l和 AC,BC 同时垂直,所以该直线垂直平面ABC,故该直线 与AB 垂直.故选B. 3.B 在正方体中,侧棱都和底面垂直,故在正方体ABCD -A1B1C1D1 的 六 个 面 中,与 AA1 垂 直 的 平 面 有 平 面 ABCD 和平面A1B1C1D1,共两个.故选B. 4.BC 若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=c,则根据面面垂直的性质定理 与判定定理可得c⊥α,所以A中命题正确;若α⊥β,α⊥γ, a⊂α,α⊥β,c⊂γ,则a与c平行,异面或相交,所以B中命 题错误; 若α∥β∥γ,c∥γ,a⊂α,b⊂β,则直线c与直线a,b可能异 面,可能平行,也可能相交,所以C中命题错误;由a⊥α,a ∥b,可得b⊥α,又b⊥β,则α∥β,同理可得β∥γ,所以α∥β ∥γ,所以D中命题正确.故选BC. 5.BCD 设正方形ABCD 的边长为2,由正四棱锥性质可 得PO⊥平面ABCD,故PO=AA'=1, 因为A'A⊥平面ABCD,所以A'O 在底面ABCD 内的射 影为AO, 又AO 不与AB 垂直,所以 A'O 不与AB 垂直,故 A不 正确; 由题意知PO∥AA'且PO=AA',则四边形POA'A 是平 行四边形, 所以A'O∥AP,又A'O⊄平面APD,AP⊂平面APD, 所以A'O∥平面APD,故B正确; 因为PO∥CC'∥AA',O∈平面CC'A'A,所以PO⊂平面 CC'A'A, 平面AA'P 即为平面CC'A'A, 因为A'A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以A'A⊥BD, 又因为BD⊥AC,A'A∩AC=A, 所以BD⊥平面CC'A'A, 又BD⊂平面BDP, 所以平面BDP⊥平面CC'A'A, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —363— 即平面AA'P⊥平面BDP,故C正确; 由C可知CC'与A'P 都在平面CC'A'A 中且不平行,故 CC'与A'P 为相交直线,故D正确.故选BCD. 6.B 如图,连接CM,因为PC⊥平面 ABC,CM⊂平面 ABC,所以PC⊥ CM,因 为 PC =4,所 以 PM = PC2+CM2 = 16+CM2,要 求 PM 的最小值只需求出CM 的最小 值即可,在△ABC 中,当CM⊥AB 时CM 有最小值,此时有CM=4× 3 2=2 3 ,所 以 PM 的 最 小 值 为 2 7.故选B. 7.D ∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC. ∴△ABC为直角三角形. 又PA⊥☉O 所 在 平 面,AC,AB,BC 都 在☉O 所 在 平 面内, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,∴△PAC、△PAB 是直 角三角形, 又 PA∩AC=A,PA,AC⊂ 平 面 PAC,∴BC⊥ 平 面PAC. ∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC,∴△PBC是直角三角形, 从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角三角形. 故选D. 8.C 因为AB=CB,且E 是AC 的中点,所以BE⊥AC,同 理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面 ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C. 9.ABD 如 图,设 上、下 底 面 的 中 心 分 别 为 K,L,HG∩ D1B1=I,DB∩EF=J, 根据题意易知E,F 为相应线段的中点,H 为线段A1B1 的靠近B1的三等分点,G 为B1C1 的靠近B1 的三等分 点,则I为KB1的靠近B1的三等分点,J为LB 的中点. 显然,延长A1A,HE 必定相交,所以平面EFGH 与平面 A1AC相交,所以A不成立; 平面A1C1D∥平面B1AC,若平面EFGH∥平面A1C1D, 则平面EFGH∥平面B1AC,与它们相交矛盾,B不成立; 因为AC⊥平面BDD1,EF∥AC,所以EF⊥平面BDD1, 因为EF⊂平面EFGH,所以平面EFGH⊥平面BDD1,C 成立; AC1⊥平面A1BD,若平面EFGH⊥平面A1BD,注意到 AC1⊄平面EFGH, 则AC1∥平面EFGH,又AC∥平面EFGH,AC1∩AC= A,AC1,AC⊂平面ACC1,所以平面ACC1∥平面EFGH, 这与CC1和GF 相交矛盾,D不成立.故选ABD. 10.ACD 由题意可得,B'C=CD=AD=AB'= 3,AC= B'D=2,由题意可知P 是B'D 的中点,因为AB'=AD, CB'=CD,所以AP⊥B'D,CP'⊥B'D,又AP∩CP=P, AP,CP⊂平面ACP,所以B'D⊥平面ACP,又AC⊂平 面ACP,所以AC⊥B'D,故A正确; 由于AP= 2,CP= 2,则AP2+CP2=AC2,所以AP⊥ CP,又CP∩B'D=P,CP,B'D⊂平面B'CD,所以AP⊥ 平面B'CD,则∠ACP 为直线AC 与平面B'CD 所成角, 因为CP=AP= 2,所以∠ACP=π4 ,故C正确; 过P 作PO⊥B'C 于O,连接OA,因为AP⊥平面B'CD, B'C⊂平面B'CD,所以AP⊥B'C,又DP∩AP=P,AP, OP⊂平面AOP,所以B'C⊥平面AOP,因为OA⊂平面 AOP,所以B'C⊥OA,故∠AOP(∠AOP 为锐角)为平面 AB'C 与 平 面B'CD 的 夹 角,由 等 面 积 法 可 得 OP= CP·B'P B'C = 2×1 3 ,又AP= 2,所以tan∠AOP=APOP= 3,故∠AOP=π3 ,故D正确; 因为AP⊥平面B'CD,而AP⊄平面ACD,且AP 与平 面ACD 不平行,所以平面B'CD 与平面ACD 不垂直, 故B错误,故选ACD. 11.答案: 155 解析:D 为BC 中点,连接B1D,AD,如图所示, 在三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面ABC,则BB1 ⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,则BB1⊥AD,△ABC 为 正三角形,D 为BC 中点,则BC⊥AD,BB1,BC⊂平面 BCC1,BB1∩BC=B,AD⊥平 面 BCC1,AB1 在 平 面 BCC1内的射影为DB1,则AB1 与平面BCC1 所成角为 ∠AB1D,AA1=AB=6,则BD=3,AD= AB2-BD2 =3 3,B1D= BB1+BD2=3 5, Rt△AB1D 中,tan∠AB1D= AD B1D =3 3 3 5 = 155 , 所以AB1与平面BCC1所成角的正切值为 15 5 . 12.答案:53 /1 3 5 解析:正方体中,A1B1⊥平面 ADD1A1,A1E ⊂ 平 面 ADD1A1,则A1B1⊥A1E,又 因为 A1E= 12+ 12 2 = 5 2 ,B1E = 12+ 52 2 = 3 2 ,所 以 A1 到 直 线 B1E 的 距离为 A1B1·A1E B1E = 1× 52 3 2 = 53. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —463— 13.解:如图,取AD 的中点O,连接EO,CO. 因为VADE 是 等 边 三 角 形,O 为AD 的 中 点,所 以 EO ⊥AD. 因为AD=4,所以EO= 42-22=2 3. 因为AD=2BC,∠ABC=90°,AD∥BC, 所以四边形ABCO 为矩形.所以CO=AB= 6. 又因为CE=3 2,所以CE2=EO2+CO2,即EO⊥CO. 因为EO⊥AD,EO⊥CO,CO∩AD=O,CO、AD⊂平面 ABCD, 所以EO⊥平面ABCD,又因为EO⊂平面ADE, 所以平面ABCD⊥平面ADE. 高考预测练(三十五) 1.C 依题知,∵AD1 → =AB→+BB1 → +B1D1 → =-CD→+CC1 → + BD→,∴x=-1,y=z=1,∴x+y+z=1.故选C. 2.B 由题意得BD1 → =BA→+AD→+DD1 → =AD→-AB→+AA1 →, AC→=AB→+AD→,则BD1 →·AC→=(AD→-AB→+AA1 →)·(AB→ +AD→)=AD2 → -AB2 → +AA1 →·AB→+AA1 →·AD→=1-1+1 ×1×cos60°+1×1×cos60°=1,故选B. 3.D ∵OB=OC, 所以OA→·BC→=OA→·(OC→-OB→)=OA→·OC→-OA→·OB→= |OA→|·|OC→|cosπ3-|OA → |·|OB→|cosπ3= 1 2 OA → OC→ - OB→ =0,所以cos<OA→,BC→>=0,故选D. 4.D ∵|a|= 13,|b|=5,a 与b 夹 角 的 余 弦 值 为 -9 1365 ,∴a 在 b 上 的 投 影 向 量 为a ·b |b| · b 5 = 13×5× -9 1365 5 · b 5 = - 9 5 · b 5 = - 9 25b. 故 选D. 5.B 根据向量加法法则可得:AC1 → =AB→+BC→+CC1 →,即 AC1 → =AB→+BC→-C1C →,因 为AC1 → =xAB→+2yBC→+ 3zC1C →,所以x=1,2y=1,3z=-1,所以x=1,y=12 , z=-13 ,所以x+y+z=1+12- 1 3= 7 6. 故选B. 6.B 对于空间任一点O 和不共线三点A,B,C,若点P 满 足OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R)且x+y+z=1, 则P,A,B,C 四点共面.而OP→=16OA → +13OB → +12OC →, 其中1 6+ 1 3+ 1 2=1 ,所以P,A,B,C四点共面.故选B. 7.B a=(1,2,-y),b=(x,1,2),则a-b=(1-x,1,-y -2),2b=(2x,2,4) 由2b∥(a-b),可 得 2 (1-x)-2x=0 4(1-x)-2x(-y-2)=0 ,解 之 得 x=12 y=-4 故选B. 8.D 根据题意,向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则ka+b =(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),若向量ka+b与2a- b互相垂直,则有(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4= 0,解可得:k=75 ;故选D. 9.C 如图建立坐标系, 设AD=a(a>0),AP=x(0<x<2),则P(a,x,2),C(0, 2,2),D1(0,0,0),∴D1P → =(a,x,2),CP→=(a,x-2,0), ∵D1P⊥PC,∴D1P →·CP→=0,即a2+x(x-2)=0,所以 a= -x2+2x= -(x-1)2+1,当0<x<2时,所 以 -(x-1)2+1∈(0,1],所以a∈(0,1].故选C. 10.BD 根据题意,依次分析选项: BM→=BB1 → +B1M → =AA1 → +12 (BA→+BC→)=12b- 1 2a+ c,A错误,AC1 → =AB→+AD→+CC1 → =a+b+c,B正确: AC1 → =a+b+c,则|AC1 → |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2a·b+2a·c+2b·c=6,则|AC1 → |= 6,C错误:对于 AB→·AC1 → =a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2,则 cosAB→,AC1 → = AB→·AC1 → |AB→|·|AC1 → | = 63 ,D正确.故选BD. 11.AB ∵AB→=(2,2,0)-(0,1,0)=(2,1,0),∴|AB→|= 22+12+02= 5,故 A正确;∵AC→=(-1,3,1)-(0, 1,0)=(-1,2,1),∴AB→·AC→=(2,1,0)·(-1,2,1)= -2+2+0=0,∴AB→⊥AC→,故B正确;由点C 关于平面 Oxy对称的点为(-1,3,-1),故C错误;因为cos<AB →· BC→>= AB →·BC→ |AB→||BC→| = (2,1,0)·(-3,1,1) 5× 11 = 5511 ,所以 D错误.故选AB. 12.答案:2 32,32,3 22 解析:|a+b|= 3|a-b|两边平方化简得:2a2-8a·b+ 2b2=0,① 因为a=(1,1,2),所以|a|= 1+1+2=2, 又|b|=2,代入①得:8-8a·b+8=0,解得:a·b=2, (a+b)·a=a2+a·b=4+2=6, 所以,a+b在a 上的投影向量坐标为 (a+b)·a |a| · a |a|= 6 2 ·(1,1,2) 2 = 32,32,3 22 . 故答案为:2, 32,32,3 22 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —563—