高考预测练(15、16)导数与函数的单调性、导数与函数的极值、最值、综合应用-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(十五) 导数与函数的单调性 1.(2025·陕西渭南模拟)已知函数f(x)=ex (ax-1)的大致图象如图所示,则不等式 f(x)f'(x)<0的解集为 ( ) A.(-2,-1) B.(1,2) C. -12,1 D.(2,+∞) 2.(2025·河北沧州质量检测)函数f(x)=2x -5lnx-4的单调递减区间是 ( ) A.(0,3) B.(3,+∞) C.(-∞,52 ) D.0,52 3.若函数f(x)=(x+1)lnx-ax在(0,+∞) 具有单调性,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,2) 4.(多选)(2025·吉林外国语学校校考质量检 测)函数f(x)=xlnx的一个单调递增区间 是 ( ) A.(e,+∞) B.1e ,+∞ C.(0,1e ) D.(1e ,1) 5.(预测)(多选)(2025·浙江杭州二模)设函 数f(x)=(x3-x)lnx,则 ( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在区间(0,1)上单调递增 D.x=1为f(x)的极小值点 6.已知函数y=lnx+ax 在[2,+∞)单调递 增,则实数a的取值范围是 . 7.若函数f(x)=(x-m)2+lnx在区间(1,2) 有单调递增区间,则实数 m 的取值范围是 . 8.若函数f(x)=2ax-(x+2)lnx是(0,+∞)的 减函数,则实数a的最大值为 . 9.(2025·陕西咸阳高三统考质量检测)已知 函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)若a=1,求函数f(x)的极值; (2)求函数f(x)的单调区间. 10.已 知 函 数 f(x)= -2a2lnx+12x 2+ ax(a∈R). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —722— 班级: 姓名: 高考预测练(十六) 导数与函数的极值、最值、综合应用 1.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3- 3ax2+1,则 ( ) A.当a>1时,f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的 对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x) 的对称中心 2.已知函数f(x)=x(x-m)2 在x=1处有极 大值,则m 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 3.若函数f(x)=x3-ax2+4x-8在x=2处 取得极小值,则a= ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 4.(多选)(2025·哈尔滨高三哈师大附中质量 检测)如 图 所 示 是y=f(x)的 导 数y= f'(x)的图象,列结论中正确的有 ( ) A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)∪(4,+∞) B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在 区 间(2,4)单 调 递 减,在 区 间 (-1,2)单调递增 D.x=2是f(x)的极小值点 5.已知函数f(x)=13x 3-2x2+2ax-3,若函 数f(x)在(0,2)有极值,则实数a可以为 ( ) A.0 B.1 C.32 D.2 6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f'(x)的图象经过点(1,0)(2,0),如图所 示,则列说法中正确结论的序号为 . ①当x=32 时函数取得极小值; ②f(x)有两个极值点; ③当x=2时函数取得极小值; ④当x=1时函数取得极大值. 7.若函数f(x)=x3-12x2+36x+1,则f(x) 的极大值点为 . 8.已知函数f(x)=x3-3x-1在区间[-3,2]的 最大值为M,最小值为N,则MN= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —822— 高考预测练 9.已知函数f(x)=x3+ax+b,且满足f(x) 的导数y=f'(x)的最小值为-34. (1)求a值; (2)若函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大 值与最小值的和为7,求b值. 10.已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极 值2. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)在区间[-2,3]的最值. 11.(2025·福建厦门第一次质检)设 函 数 f(x)=x(ex-a)2. (1)当a=0时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)是增函数,求a的取值范围; (3)当0<a<1时,设x0 为f(x)的极小值 点,证明:-12e<f (x0)<0. 12.(预测)(2025·湖北新高考联考协作体模 拟)罗尔中值定理是微分学中的一个重要 定理,与拉格朗日中值定理和柯西中值定 理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中 值定理:若定义域为R的函数f(x)的导函 数记为f'(x),且函数f(x)满足条件①在 闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内 可导;③f(a)=f(b),那么至少存在一个 ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.已知函数f(x) =ex-ax2-(e-a-1)x-1,a∈R在区间 (0,1)内有零点,其中,e=2.718…是自然 对数的底数,则实数a的取值范围为 ( ) A. 12,1 B. 12,e2 C. 12,e-2 D.(e-2,1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —922— 班级: 姓名: 7.A f'(x)=3x2+4ax+1,由题意可知,切线的斜率k= tan3π4=-1 ,则 f (1)=2+2a+b=0 f'(1)=3+4a+1=-1 ,解得:a=-54, b=12 ,所以a+b=-34. 故选:A. 8.B 直线x-2y+2-2ln2=0,即y=12x+1-ln2 , 对于f(x)=ax-lnx,则f'(x)=a-1x , 设切点坐标为(x0,ax0-lnx0),切 线 斜 率k=f'(x0) =a-1x0 , 则切线方程为y-(ax0-lnx0)= a- 1 x0 (x-x0),即 y= a-1x0 x+1-lnx0, 由题意可得 a-1x0 =12 1-lnx0=1-ln2 ,解得 x0=2 a=1 .故选:B. 9.ABD (3x)'=3xln3,A正确;(x2lnx)'=(x2)'lnx+x2(ln x)'=2xln+x,B正确;(sinxcosx)'=(sinx)'cosx+ sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,D 正 确;因 为 cosx x '=-xsinx-cosxx2 ,所 以 C项 错 误,其 余 都 正 确.故选:ABD. 10.BC 由f(x)=x3-3x+1,得f'(x)=3x2-3,设切点 坐标为(t,t3-3t+1),则f'(t)=3t2-3,则过切点的切 线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t+1,把点(1,-1) 代入,可得-1=(3t2-3)(1-t)+t3-3t+1,整理得: (t-1)2(2t+1)=0,即t=1或t=-12. 当t=-12 时, 切线方程为9x+4y-5=0;当t=1时,切线方程为y= -1.故选:BC. 11.答案:-2 解析:因为f(x)=2x3+ax2+bx, 所以f'(x)=6x2+2ax+b, 又f(x)的图象过点P(1,3), 所以3=2+a+b,所以a+b=1, 又曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=bx,直线y =bx过点P(1,3), 所以b=3,则a=-2. 12.答案:e 解析:由已知得y1'=x2,y2'= a x , 设切点为 b,b33 ,b>0,则该点也在曲线y2=alnx上, 则b 3 3=alnb , 因为两曲线相切,所以两曲线在切点处的切线相同, 因为y1'|x=b=b2,y2'|x=b= a b ,所以b2=ab , 则a=b3,a>0, 代入b 3 3=alnb ,得a 3=alnb ,所以lnb=13 ,解得b=e 1 3, 则a=e. 13.答案:12 解析:∵f(x)=aln(x-1),∴f'(x)= ax-1 , ∴f'(2)=a,又f(2)=0, ∴曲线f(x)=aln(x-1)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=a(x-2), 根据题意可知直线y=a(x-2)也是曲线g(x)=eax-2 的切线, 设直线y=a(x-2)与曲线g(x)=eax-2切于点(x0, eax0-2), ∵g'(x)=aeax-2,∴g'(x0)=aeax0-2, ∴ a=aeax0-2, eax0-2=a(x0-2), 解得a=12. 14.B 设f(x)=x3-x2,则f'(x)=3x2-2x,f″(x)=6x -2,所以f'(0)=0,f″(0)=-2,则曲线在点(0,0)处的 曲率K= |-2| (1+02) 3 2 =2,曲率半径p=12 ,故曲线y=x3 -x2在点(0,0)处的向心加速度的大小为 v20 1 2 =2v20.故 选B. 高考预测练(十五) 1.B 由f(x)=ex(ax-1),得f'(x)=ex(ax-1+a), 由题图知x=1是函数f(x)的极小值点, 则f'(1)=e(2a-1)=0,解得a=12 , 当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0, 则x=1是函数f(x)的极小值点, 故f(x)=ex 12x-1 ,f'(x)=ex 12x-12 , 不等式f(x)f'(x)<0⇔14e 2x(x-1)(x-2)<0,解得 1<x<2, 所以不等式f(x)f'(x)<0的解集为(1,2).故选B. 2.D f'(x)=2-5x ,定义域为(0,+∞),令f'(x)<0,解 得0<x<52 ,所以f(x)在 0,52 单调递减.故选:D. 3.C 由f(x)=(x+1)lnx-ax⇒f'(x)=lnx+1x+1- a,当函数f(x)=(x+1)lnx-ax 在(0,+∞)单调递增 时,f'(x)≥0恒成立,得a≤lnx+1x+1 ,设g(x)=lnx +1x+1⇒g' (x)=1x- 1 x2 =x-1 x2 ,当x>1时,g'(x)> 0,g(x)单调递增,当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递 减,所以g(x)min=g(1)=2,因此有a≤2,当函数f(x)= (x+1)lnx-ax在(0,+∞)单调递减时,f'(x)≤0恒成 立,得a≥lnx+1x+1 ,设g(x)=lnx+1x+1⇒g' (x)= 1 x- 1 x2 =x-1 x2 ,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当 0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)min= g(1)=2,显然无论a取何实数,不等式f'(x)≤0不能恒 成立,综所述,a的取值范围是(-∞,2),故选:C. 4.ABD 由题意f'(x)=lnx+1,f'(x)=lnx+1>0,x> 1 e ,因此f(x)的增区间是 1e ,+∞ ,因此ABD正确,C 错误.故选:ABD. 5.BD f(x)的定义域为(0,+∞),故f(x)为非奇非偶函 数,故A错误;f(x)=(x3-x)lnx=x(x+1)(x-1)lnx,且 x>0,故x+1>0,当x>1时,lnx>0,此时f(x)>0,当 0<x<1时,lnx<0,此时f(x)>0,当x=1时,f(x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —833— 0,因此f(x)≥0,B正确;f'(x)=(3x2-1)lnx+x2-1, 当x∈ 33,1 时,3x2-1>0,lnx<0,x2-1<0,此时 f'(x)<0,因此f(x)在 33,1 上单调递减,故C错误; f'(x)=(3x2-1)lnx+x2-1,当x>1时,3x2-1>0, lnx>0,x2-1>0,故f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)上 单调递增,由C知f(x)在 33,1 上单调递减,故x=1为 f(x)的极小值点,D正确.故选BD. 6.答案:a≤2 解析:由y=lnx+ax 得y'=1x- a x2 , 由于函数y=lnx+ax 在[2,+∞)单调递增,故y'=1x- a x2 ≥0在x∈[2,+∞)恒成立,因此在a≤x 对任意的 x∈[2,+∞)恒成立,所以a≤2,故答案为:a≤2. 7.答案:-∞,94 解析:f'(x)=2(x-m)+1x (x>0),由题意f'(x)>0在 (1,2)有解, 即m<x+12x 在(1,2)有解, 根据对勾函数的性质可知,y=x+12x 在(1,2)单调递增, 所以在x=2时取最大值, 故m<2+14= 9 4 ,故实数m 的取值范围是 -∞,94 . 故答案为:-∞,94 8.答案:1+ln 2/ln 2+1 解析:由函数f(x)=2ax-(x+2)lnx 是(0,+∞)的减 函数, 则f'(2)=2a-lnx-x+2x ≤0 在(0,+∞)恒成立, 即2a≤lnx+x+2x 在(0,+∞)恒成立, 设g(x)=lnx+1+2x ,则g'(x)=1x- 2 x2 =x-2 x2 , 当x∈(0,2)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减 当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增, 可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以a≤1+ln 2,即实数 a的最大值为1+ln 2. 故答案为:1+ln 2. 9.答案:(1)函数f(x)的极大值为-1,无极小值 (2)答案见解析 解析:(1)当a=1时,f(x)=lnx-x,其定义域为(0,+∞), ∴f'(x)=1x-1= 1-x x . 令f'(x)=1-xx =0 ,则x=1. ∴当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时, f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴函数f(x)的极大值为f(1)=-1,无极小值. (2)∵f(x)=lnx-ax,∴f'(x)=1x-a= 1-ax x , 当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增; 当a>0时,由f'(x)=0,得x=1a , 若0<x<1a ,则f'(x)>0,若x>1a ,则f'(x)<0,f(x) 单调递减, 当a>0时,f(x)的单调递增区间为 0,1a ,单调递减区 间为 1 a ,+∞ , 综,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为 0,1a ,单调递 减区间为 1 a ,+∞ . 10.解:(1)当a=1时,f(x)=-2lnx+12x 2+x, f'(x)=-2x+x+1 ,所以f'(1)=-2+1+1=0,f(1) =32 ,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=32. (2)f'(x)=x 2+ax+2a2 x = (x+2a)(x-a) x , ①当a=0时,f'(x)=x>0,所以函数在(0,+∞)单调 递增; ②当a>0时,令f'(x)=0,则x1=-2a(舍)或x2=a, f'(x)<0,0<x<a,当x∈(0,a)时,函数f(x)单调 递减; f'(x)>0,x>a,当x∈(a,+∞)时,函数f(x)单调 递增. ③当a<0时,令f'(x)=0,则x1=-2a或x2=a(舍), f'(x)<0,0<x<-2a,当x∈(0,-2a)时,函数f(x)单 调递减; f'(x)>0,x>-2a,当x∈(-2a,+∞)时,函数f(x)单 调递增. 综所述:当a=0时,函数在(0,+∞)单调递增; 当a>0时,当x∈(0,a)时,函数f(x)单调递减 当x∈(a,+∞)时,函数f(x)单调递增; 当a<0时,当x∈(0,-2a)时,函数f(x)单调递减; 当x∈(-2a,+∞)时,函数f(x)单调递增. 高考预测练(十六) 1.AD 由题可知,f'(x)=6x(x-a). 对于A,当a>1时,由f'(x)<0得0<x<a,由f'(x)>0 得x<0或x>a,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0, a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且当x→-∞时, f(x)→-∞,f(0)=1,f(a)=-a3+1<0,当x→+∞ 时,f(x)→+∞,故f(x)有三个零点,A正确;对于B,当 a<0时,由f'(x)<0得a<x<0,由f'(x)>0得x>0 或x<a,则f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调 递减,在(0,+∞)上单调递增,故x=0是f(x)的极小值 点,B错误; 对于C,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x) →-∞,故曲线y=f(x)必不存在对称轴,C错误; 对于D,解法一(配方、平移) f(x)=2x3-3ax2+1= 2(x-a2 )3-32a 2(x-a2 )+1-a 3 2 ,令t=x-a2 ,则f(x) 可转化为g(t)=2t3-32a 2t+1-a 3 2 ,由y=2t3-32a 2t 为奇函数,且其图象关于原点对称,可知g(t)的图象关于 点(0,1-a 3 2 )对称,则f(x)的图象关于点 a2,1-a 3 2 对 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —933— 称,故存在a=2,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称 中心,D正确.故选AD. 解法二(二级结论) 任意三次函数f(x)=ax3+bx2+cx +d(a≠0)的图象均关于点 -b3a,f -b3a 成中心对 称,D正确.故选AD. 2.C ∵f'(x)=(x-m)(3x-m), ∴f'(1)=(1-m)(3-m)=0, ∴m=1或m=3, 当m=1时,f'(x)=(x-1)(3x-1), 令f'(x)>0,得x<13 或x>1; 令f'(x)<0,得13<x<1 ; 从而f(x)在 -∞,13 单调递增,在 13,1 单调递减, 在(1,+∞)单调递增,所以f(x)在x=1处有极小值,不 合题意, 当m=3时,经检验,满足题意;综,m=3. 故选:C 3.A 由题意可得f'(x)=3x2-2ax+4,则f'(2)=3×22 -4a+4=0,解得a=4. 当a=4时,f'(x)=3x2-8x+4=(x-2)(3x-2), 当x<23 或x>2时,f'(x)>0,则f(x)在 -∞,23 , (2,+∞)单调递增, 当2 3<x<2 时,f'(x)<0,则f(x)在 32 ,2 单调递减, 所以,函数f(x)=x3-ax2+4x-8在x=2处取得极小 值,此时a=4. 故选:A 4.BC 由导函数的图象可知,当-3<x<-1或2<x<4 时,f'(x)<0;当-1<x<2或x>4时,f'(x)>0;所以 f(x)的单调递增区间为(-1,2)和(4,+∞),单调递减区 间为(-3,1)和(2,4).故A错误,C正确;所以x=-1或 x=4是f(x)的极小值点;故B正确;所以x=2是f(x) 取得极大值点;故D错误.故选:BC. 5.BC 由题意知,f'(x)=x2-4x+2a 在(0,2)有 变 号 零点, 又易知f'(x)=x2-4x+2a在(0,2)单调递减,故f'(x) ∈(2a-4,2a), 可得 2a>0, 2a-4<0, 解得0<a<2.故选:BC. 6.答案:②③④ 解析:由图象可知,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0;当x∈ (1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0. 所以函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,2)单调递减, 在(2,+∞)单调递增, 所以函数f(x)有两个极值点,当x=1时函数取得极大 值,当x=2时函数取得极小值,故①错误,②③④正确. 故答案为:②③④ 7.答案:2 解析:f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6), 令f'(x)=0,解得x=2或6, 当x<2或x>6时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当2<x<6时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 故f(x)在x=2取得极大值,故极大值点为2. 故答案为:2 8.答案:-19 解析:因为f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-3,2], f'(x)>0,1<x≤2或-3≤x<-1, f'(x)<0,-1<x<1, 所以f(x)在[-3,-1),(1,2]单调递增,在[-1,1]单调 递减. 因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1, 所以 M=1,N=-19,故 MN=-19. 故答案为:-19 9.解:(1)∵f'(x)=3x2+a,则f'(x)的最小值为f'(0)=a, 由题意可得:a=-34. (2)由(1)可得:f(x)=x3-34x+b ,x∈[1,2],则f'(x) =3x2-34 ,x∈[-1,2], 令f'(x)>0,解得12<x≤2 或-1≤x<-12 ;令f'(x) <0,解得-12<x< 1 2 ; 则 f (x)在 -1,-12 , 12,2 单 调 递 增,在 -12 ,1 2 单调递增, 且f 12 = 12 3 -34× 1 2+b=- 1 4+b ,f -12 = -12 3 +34× 1 2+b= 1 4+b , f(-1)=-1-34 (-1)+b=-14+b ,f(2)=23-34× +b=132+b , 且-14+b< 1 4+b< 13 2+b , 所以函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值 f(x) max= 13 2+b ,最小值 f(x) min=- 1 4+b , 又∵函数y=f(x)在区间[-1,2]的最大值与最小值的 和为7, 则13 2+b+ - 1 4+b =254+2b=7,解得b=38. 10.解:(1)f(x)=ax3+bx,f'(x)=3ax2+b. ∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2, ∴f(1)=a+b=2,f'(1)=3a+b=0, 解得a=-1,b=3, ∴f(x)=-x3+3x, 经验证在x=1处取得极大值2, 故a=-1,b=3. (2)f'(x)=-3(x+1)(x-1), 令f'(x)>0,解得-1<x<1, 令f'(x)<0,解得x>1或x<-1, 因此f(x)在[-2,-1)单调递减,在(-1,1)单调递增, 在(1,3]单调递减, f(3)=-18<f(-1), 故函数f(x)的最小值是-18, f(-2)=2=f(1),故函数f(x)的最大值是2. 11.解:(1)当a=0时,f(x)=xe2x,f'(x)=(2x+1)e2x, 当x∈ -∞,-12 时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈ -12,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —043— 所以f(x)的单调递增区间为 -12,+∞ ,单调递减区 间为 -∞,-12 . (2)由题意,知f'(x)=(ex-a)(2xex+ex-a),设g(x) =2xex+ex-a,则g'(x)=2ex+2xex+ex=(2x+3)ex, 当x∈ -∞,-32 时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈ -32,+∞ 时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x=-32 时,g(x)取得极小值g -32 =-2e-32-a. (ⅰ)当a≤-2e- 3 2时,g(x)≥0,ex-a>0,所以f'(x)>0, f(x)单调递增,符合题意; (ⅱ)当-2e- 3 2<a≤0时,y=ex-a>0,又g(x)存在零 点,即存在区间使得g(x)<0,所以f'(x)≥0不恒成立, 不合题意. (ⅲ)当a>0时,若f'(x)≥0,因为y=ex-a的零点为x =lna,且g -32 =-2e-32-a<0, 所以g(x)与y=ex-a有唯一相同零点且零点两侧函数 值符号相同, 所以g(lna)=2alna=0,解得a=1, 此时,当x>0时2xex+ex-1>ex-1>0; 当x<0时2xex+ex-1<ex-1<0, 则f'(x)≥0. 综上,a的取值范围为(-∞,-2e- 3 2)∪{1}. (3)证明:当0<a<1时,g -12 =-a<0,g(0)>0, 设x1为g(x)的零点,则- 1 2<x1<0 , 因为g(lna)=2alna<0,所以x1>lna, 所以当x∈(-∞,lna)时,y=ex-a<0,g(x)<0,所以 f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(lna,x1)时,y=ex-a>0,g(x)<0,所以f'(x) <0,f(x)单调递减, 当x∈(x1,+∞)时,y=ex-a>0,g(x)>0,所以f'(x) >0,f(x)单调递增, 所以x1=x0,且2x0ex0+ex0-a=0, 即ex0-a=-2x0ex0, 所以f(x0)=(ex0-a)2x0=(-2x0ex0)2x0=4x30e2x0, 设h(x)=4x3e2x -12<x<0 , 则h'(x)=4(2x+3)x2e2x>0, 则h(x)单调递增, 所以h(x)<h(0)=0,h(x)>h -12 =-12e, 所以-12e<f (x0)<0. 12.D 设f(x)在区间(0,1)内的零点为x1,则有f(x1)= f(0)=0,由罗尔中值定理可知,存在x2∈(0,x1),使 f'(x2)=0,同理,由f(x1)=f(1)=0及罗尔中值定理 可知,存在x3∈(x1,1),使f'(x3)=0,故f'(x)=0在 (0,1)上至少有两个不等实根,令g(x)=f'(x)=ex- 2ax-(e-a-1),则g'(x)=ex-2a在(0,1)上单调递 增,当a≤12 ,x∈(0,1)时,g'(x)>0,此时g(x)单调递 增,故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一个实根;同理可 知,当a≥e2 ,x∈(0,1)时,g'(x)<0,此时g(x)单调递 减,故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一个实根;当12<a <e2 时,令g'(x)=0,可得x=ln(2a)∈(0,1),且g(x) 在(0,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),1)上单调递增,故 当1 2<a< e 2 且x∈(0,1)时,g(x)min=g(ln(2a));又 g 12 =e12 +1-e< 2.89+1-e=2.7-e<0,故 g(x)min=g(ln(2a))<0,则 由 零 点 存 在 定 理 知 g(0)=2+a-e>0, g(1)=1-a>0, 故e-2<a<1.故选D. 高考预测练(十七) 1.C 与43°角终边重合的角为:α=43°+k·360°(k∈Z),则 当k=-1时,α=-317°,故C正确.经检验,其他选项都 不正确.故选:C. 2.A 因为40°=40× π180rad ,所以该扇形的面积为S=12 × π180×40 ×92=9π.故选:A 3.C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+ π 2 ,n∈Z,此 时α表示的范围与π4≤α≤ π 2 表示的范围一样;当k=2n +1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+n+ π 2 ,n∈Z,此时 α表示的范围与π4+π≤a≤ π 2+n 表示的范围一样,故 选:C. 4.C 因为角α第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+ k·360°(k∈Z), 所以45°+k·180°<a2<90°+k ·180°(k∈Z), 当k是偶数时,设k=2n(n∈Z),则45°+n·360°<α2< 90°+n·360°(n∈Z), 此时α 2 为第一象限角; 当k是奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则225°+n·360°< α 2<270°+n ·360°(n∈Z),此时α2 为第三象限角;综上 所述:α 2 为第一象限角或第三象限角, 因为 cosα2 =-cos α 2 ,所以cosα2≤0 ,所以α 2 为第三 象限角.故选:C. 5.A 设扇形的半径为r,圆心角为α(0<α<2π),由题意, 得 1 2r 2α=4 2r+rα=10 , 由2r+rα=10得,r= 102+α ,代入1 2r 2α=4, 得2α2-17α+8=0,解得α=12 或α=8(舍去). 故扇形圆心角的弧度数为1 2. 故选:A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —143—