第4章 微专题(1) 导数中函数的构造问-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, 当x=e时,f(x)取得极小值,且f(e)=lne+ee=2. 所以f(x)的极小值为2. (2)由题意知对任意的x1>x2>0,f(x1)-x1<f(x2)- x2恒成立, 设h(x)=f(x)-x=lnx+kx -x (x>0), 则h(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以h'(x)=1x- k x2 -1≤0在(0,+∞)上恒成立, 故当x>0时,k≥-x2+x=- x-12 2 +14 恒成立, 又- x-12 2 +14≤ 1 4 ,则k≥14 ,故实数k的取值范围 是 1 4 ,+∞ . 第二课时 导数与函数零点 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)f'(x)=-1x2 +e x e= x2ex-e ex2 , 令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增. (2)F'(x)=f(x)=1x+ ex e-3 , 由(1)得∃x1,x2,满足0<x1<1<x2, 使得f(x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2, +∞)上大于0, 即F(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在 (x2,+∞)上单调递增, 而F(1)=0,x→0时,F(x)→ -∞,x→+∞时, F(x)→+∞, 画出 函 数 F(x)的 草 图,如 图 所示. 故F(x)在(0,+∞)上的零点 有3个. 2.解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为R, 又f(0)=1-a=2,得a=-1, 所以f(x)=ex-x+1,求导得f'(x)=ex-1. 易知f(x)在[-2,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增, 所以当x=0时,f(x)在[-2,1]上取得最小值2. (2)由(1)知f'(x)=ex+a,由于ex>0, ①当a>0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数, 当x>1时,f(x)=ex+a(x-1)>0; 当x<0时,取x=-1a , 则f -1a <1+a -1a-1 =-a<0. 所以函数f(x)存在零点,不满足题意. ②当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a). 在(-∞,ln(-a))上,f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(ln(-a),+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=ln(-a)时,f(x)取最小值. 函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+ aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0, 解得-e2<a<0. 综上所述,实数a的取值范围是(-e2,0). 微专题(一) 导数中函数的构造问题 跟踪训练 1.答案:(-2,0)∪(2,+∞) 解析:构 造 函 数g(x)=x2f(x),其 中f(x)为 奇 函 数 且x≠0, 则g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数, 且g(2)=0,g(-2)=-g(2)=0, 当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x[xf'(x)+ 2f(x)]>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-∞,0)上单调 递增, 故x2f(x)>0⇒g(x)>0, 当x<0时,g(x)>0=g(-2),可得-2<x<0; 当x>0时,g(x)>0=g(2),可得x>2. 综上所述,不等式x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 2.A 令φ(x)=exf(x)-ex,x∈R, 则φ'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex =ex[f(x)+f'(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1,∴f(x)+f'(x)-1>0, ∴φ'(x)>0, ∴φ(x)在定义域上是增函数, 不等式exf(x)>ex+1可化为exf(x)-ex>1, 又φ(0)=e0f(0)-e0=1, ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0),故x>0, ∴原不等式的解集为{x|x>0}. 3.B 令g(x)=f(x)sinx,则g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx, 当x∈ -π2 ,0 时恒有f(x)cosx+f'(x)sinx>0,所以 g'(x)>0,则g(x)=f(x)sinx在 -π2 ,0 上单调递增, 所以g -π6 >g -π4 ,则 -12f -π6 >- 22f -π4 ,即 f (-π6 < 2f -π4 ,选 项 A 错 误; g -π6 >g(-π3),则-12f(-π6)>- 32f(-π3), 又f(x)为奇函数,所以-f(-x)=f(x),即f (π6 )> - 3f(- π3 ),选 项 B正 确;g(- π3 )<g(- π4 ),则 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),所以 3f(π3 )< 2f(π4 ),选 项C错误;由 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),得- 3f(π3 )> 2f(-π4 ),选项D错误. 4.(1)D (2)D (1)易知a=12e= lne 2e , b=lnπ2π ,c=ln 33 = ln3 2×3 , 令f(x)=lnx2x (x>0), 则f'(x)=1-lnx2x2 ,f'(x)<0⇒x>e, 所以f(x)在(e,+∞)上单调递减, 又因为e<3<π, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —803— 所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b. (2)构造函数f(x)=(22-x)lnx,x≥10, f'(x)=-lnx+22x-1 , f'(x)=-lnx+22x-1 在[10,+∞)上单调递减, 且f'(10)=-ln10+115-1= 6 5-ln10< 6 5-lne 2= 6 5-2<0 , 所以f'(x)=-lnx+22x-1<0 在[10,+∞)恒成立, 故f(x)=(22-x)lnx在[10,+∞)上单调递减, 所以f(10)>f(11)>f(12), 即12ln10>11ln11>10ln12, 所以1012>1111>1210,即a>b>c. 微专题(二) 函数的公切线问题 跟踪训练 1.答案:2ex-y-e=0 解析:设曲线g(x)=alnx 和曲线f(x)=x2 在公共点 (x0,y0)处的切线相同, 则f'(x)=2x,g'(x)=ax , 由题意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0), 即 2x0= a x0 , x20=alnx0, 解得a=2e,x0=e, 故切点为(e,e), 切线斜率k=f'(x0)=2e, 所以切线方程为y-e=2e(x-e), 即2ex-y-e=0. 2.D 设直线l与f(x)=xlnx相切的切点为(m,mlnm), 由f(x)=xlnx得f'(x)=1+lnx, 可得切线的斜率为1+lnm, 则切线方程为y-mlnm=(1+lnm)(x-m), 将A(0,-1)代入切线方程可得 -1-mlnm=(1+lnm)(0-m), 解得m=1,则切线l的方程为y=x-1, 联立 y=x-1, y=x2+ax 可得x2+(a-1)x+1=0, 由Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3. 3.A 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m,f(m)), (n,g(n)),f'(x)=2x-4, g'(x)=-x-2,g'(n)=f'(m)=g (n-f(m) n-m , 解得m=-n -2 2 +2 ,代入化简得8n3-8n2+1=0, 构造函数h(x)=8x3-8x2+1, h'(x)=8x(3x-2), 则h(x)在(-∞,0),(23 ,+∞)上单调递增, 在(0,23 )上单调递减,极大值h(0)>0,极小值h(23 )< 0,故函数h(x)的图象和x轴有3个交点,方程8n3-8n2 +1=0有三个解,故公切线有3条. 4.D y=x2在点(m,m2)处的切线斜率为2m, y=e x a (a>0)在点(n,e n a )处的切线斜率为e n a , 如果两个曲线存在公切线,那么2m=e n a . 又由斜率公式得到2m= m2-e n a m-n , 由此得到m=2n-2, 则4n-4=e n a 有解, 则y=4x-4,y=e x a 的图象有公共点. 当直线y=4x-4与曲线y=e x a 相切时,设切点为(s,t), 则e s a =4 ,且t=4s-4=e s a , 可得t=4,s=2, 即有切点(2,4),a=e 2 4 , 故a的取值范围是a≥e 2 4. 第五章 三角函数 第一节 任意角和弧度制及三角函数的概念 基础知识必备 1.(1)端点 (2)正 负 零 (3)α+k·360°,k∈Z 2.(1)半径 1弧度的角 (2)π (3)Rα 12lR 3.(1)y x yx (2)yr x r y x 考点知能突破 针对训练 1.答案:-675°和-315° 解析:所有与45°终边相同的角可表示为: β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z), 解得-765360≤k<- 45 360 (k∈Z), 从而k=-2和k=-1, 代入得β=-675°和β=-315°. 2.A 设扇形的弧长为l,则12l ·2=8,即l=8,所以扇形的 圆心角的弧度数为8 2=4. 故选A. 3.D 因为-1≤cosx≤1,且sin(cosx)>0,所以0<cosx ≤1,又sinx<0,所以角x为第四象限角,故选D. 4.A 由 三 角 函 数 定 义 可 知 Q 点 的 坐 标(x,y)满 足x= cos2π3=- 1 2 ,y=sin2π3= 3 2. 所以Q 点的坐标为 -12 ,3 2 . 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 基础知识必备 1.(1)sin2x+cos2x=1 (2)sinxcosx 2.-sinα -sinα sinα cosα cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα tanα -tanα -tanα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —903— (2)由(1)得f(x)=13x 3-12x 2-2x+c, 函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增 函数,在(-1,2)上是减函数, 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=76+c , 极小值为f(2)=c-103. 而函数f(x)恰有三个零点,故必有 7 6+c>0 , c-103<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得-76<c< 10 3. 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的 取值范围是 -76 ,10 3 . 和函数零点有关的参数范围问题 (1)函数在定义域上单调,满足零点存在性 定理. (2)若函数不是严格的单调函数,则求最小 值或最大值结合图象分析. (3)分离参数后,数形结合,讨论参数所在 直线与函数图象交点的个数. [针对训练] 2.已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0). (1)若f(0)=2,求实数a 的值,并求此时 f(x)在[-2,1]上的最小值; (2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取 值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 微专题(一) 导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一 个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等 式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比 较大小、解不等式、恒成立等问题. 导数型构造函数 考向一 利用f(x)与x构造 已知函数f(x)的定义域为[0,+∞), 导函数为f'(x),若f'(x)<f (x) x+1 恒成立, 则 ( ) A.f(2)>f(3) B.2f(1)>f(3) C.f(5)>2f(2) D.3f(5)>f(1) 【解析】 设函数g(x)=f (x) x+1 ,x≥0, 因为f'(x)<f (x) x+1 ,x≥0, 所以(x+1)f'(x)-f(x)<0, 则g'(x)= (x+1)f'(x)-f(x) (x+1)2 <0, 所以g(x)在定义域上是减函数, 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5), 即f(1) 2 > f(2) 3 > f(3) 4 > f(5) 6 . 所以4f(2)>3f(3),2f(1)>f(3),2f(2) >f(5),3f(1)>f(5). 【答案】 B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 第四章 导数及其应用 【规律方法】 (1)出现nf(x)+xf'(x)的形 式,构造函数F(x)=xnf(x); (2)出现xf'(x)-nf(x)的形式,构造函数 F(x)=f (x) xn . [跟踪训练] 1.(2025·常州模拟)已知 f(x)是定义在 (-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,f'(x)是 f(x)的 导 函 数,当 x>0 时,xf'(x)+ 2f(x)>0,若f(2)=0,则不等式x2f(x)> 0的解集是 . 考向二 利用f(x)与ex 构造 (2025·黄山模拟)已知定义域为 R 的函数f(x),其导函数为f'(x),且满足 f'(x)-2f(x)<0,f(0)=1,则 ( ) A.e2f(-1)<1 B.f(1)>e2 C.f(12 )<e D.f(1)>ef(12 ) 【解析】 设g(x)=f (x) e2x , 则g'(x)=f' (x)·e2x-2f(x)e2x (e2x)2 =f' (x)-2f(x) e2x , 因为f'(x)-2f(x)<0在R上恒成立, 所以g'(x)<0在R上恒成立, 故g(x)是减函数, 所以g(-1)>g(0), f(-1) e-2 =e2f(-1)>f (0) e0 =1,故 A 不 正确; g(1)<g(0),即f (1) e2 <f (0) e0 , 即f(1)<e2f(0)=e2,故B不正确; g(12 )<g(0), 即 f 12 e1 <f (0) e0 =1, 即f(12 )<e,故C正确; g(12 )>g(1),即 f 12 e1 >f (1) e2 , 即f(1)<ef(12 ),故D不正确. 【答案】 C 【规律方法】 (1)出现f'(x)+nf(x)的形 式,构造函数F(x)=enxf(x); (2)出现f'(x)-nf(x)的形式,构造函数 F(x)=f (x) enx . [跟踪训练] 2.函数f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式ex· f(x)>ex+1的解集为 ( ) A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或0<x<1} 考向三 利用f(x)与sinx,cosx构造 (2025·重庆模拟)已知偶函数f(x) 的定义域为 -π2 ,π 2 ,其导函数为f'(x), 当0≤x<π2 时,有f'(x)cosx+f(x)sinx >0成立,则关于x 的不等式f(x)>2f π 3 cosx的解集为 ( ) A.-π3 ,π 3 B.π3 ,π 2 C.-π2 ,-π3 ∪ π3,π2 D.-π3 ,0 ∪ π3,π2 【解析】 构 造 函 数g(x)=f (x) cosx ,-π2< x<π2 , g'(x)=f' (x)cosx-f(x)(cosx)' (cos2x) =f' (x)cosx+f(x)sinx (cos2x) , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 名师大课堂 艺术生必备·数学 当0≤x<π2 时,g'(x)>0, 所以函数g(x)在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 上单调递增, 因为函数f(x)为偶函数,所以函数g(x)也 为偶函数, 且函数g(x)在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 上单调递增, 所以函数g(x)在 -π2 ,0 上单调递减, 因为x∈ -π2 ,π 2 ,所以cosx>0, 关于x 的不等式f(x)>2f π3 cosx 可变 为f(x) cosx> f π3 cosπ3 ,即g(x)>g π3 , 所以g(|x|)>g π3 , 则 |x|>π3 , -π2<x< π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得π 3<x< π 2 或-π2<x<- π 3. 【答案】 C 【规律方法】 函数f(x)与sinx,cosx相结 合构造可导函数的几种常见形式 (1)F(x)=f(x)sinx, F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx; (2)F(x)= f (x) sin(x) , F'(x)=f' (x)sinx-f(x)cosx sin2x ; (3)F(x)=f(x)cosx, F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx; (4)F(x)=f(x)/cosx, F'(x)=f' (x)cosx+f(x)sinx cos2x . [跟踪训练] 3.(2025·成都统考)记函数f(x)的导函数为 f'(x),若 f(x)为 奇 函 数,且 当 x∈ -π2 ,0 时恒有f(x)cosx+f'(x)sinx>0 成立,则 ( ) A.f -π6 > 2f -π4 B.f π6 >- 3f -π3 C.3f π3 > 2f π4 D.2f -π4 >- 3f π3 构造函数比较大小 (1)(2025·榆林统考)已知a= ln 9 4e ,b=ln16 9 3 e ,c=2ln54- 1 4 ,则( ) A.a<c<b B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a (2)(2025·咸阳模拟)已知a= 12023 ,b= e- 2022 2023,c= cos 12023 2023 ,则 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 【解析】 (1)a=ln 9 4e =2ln32- 1 2 , b=ln16 9 3 e =2ln43- 1 3 , 构造函数f(x)=2ln(x+1)-x(0<x<1), 则f'(x)= 2x+1-1= 1-x x+1 , 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上 单调递增,所以f(14 )<f(13 )<f(12 ),所 以c<b<a. (2)设f(x)=ex-x-1, 所以f'(x)=ex-1, 令f'(x)<0⇒x<0,令f'(x)>0⇒x>0, 所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在 (0,+∞)上单调递增, 则f(x)≥f(0)=0,即ex -x-1≥0, 得ex≥x+1. 所以b=e- 2022 2023>-20222023+1= 1 2023=a ,即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 微专题(一) 导数中函数的构造问题 b>a; 又0<cos 12023<1 , 所以c= cos 12023 2023 < 1 2023=a , 即a>c,所以b>a>c. 【答案】 (1)D (2)B 【规律方法】 构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数,利用单调性,比较函数 值的大小; (2)构造不同的函数,通过比较两个函数的 函数值进行比较大小. [跟踪训练] 4.(1)(2025·山西联考)设a=12e ,b=lnπ2π , c=ln 33 ,则 ( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b (2)已知a=1012,b=1111,c=1210,则a,b,c 的大小关系为 ( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 微专题(二) 函数的公切线问题 函数的公切线问题,是导数的重要应用之 一,利用导数的几何意义,通过双变量的处理, 从而转化为零点问题,主要利用消元与转化, 考查构造函数、数形结合能力,培养逻辑推理、 数学运算素养. 求两函数的公切线 (2025·湘潭模拟)已知直线l是曲线 y=ex-1与y=lnx+1的公切线,则直线l 的方程为 . 【解析】 设直线l与曲线y=ex-1相切于 点P(a,ea-1),与曲线y=lnx+1相切于 点Q(b,lnb+1), 则ea=1b= lnb-ea+2 b-a , 整理得(a-1)(ea-1)=0, 解得a=1或a=0, 当a=1时,l的方程为y=ex-1; 当a=0时,l的方程为y=x. 【答案】 y=ex-1或y=x 【规律方法】 求切线方程时,注意区分曲线 在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 是y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0);求过某点 的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已 知点在切线上求解. [跟踪训练] 1.(2025·南平模拟)已知曲线y=alnx 和曲 线y=x2 有唯一公共点,且这两条曲线在该 公共点处有相同的切线l,则直线l的方程 为 . 与公切线有关的求值问题 (2025·德阳模拟)已知曲线y=ex 在 点(x1,y1)处的切线与曲线y=lnx 在点 (x2,y2)处的切线相同,则(x1+1)(x2-1) 等于 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 【解析】 根据常用函数的导数可知 y=ex⇒y'=ex, y=lnx⇒y'=1x , 则两函数在点(x1,y1)和(x2,y2)处的切线 分别为 y-y1=ex1(x-x1), y-y2= 1 x2 (x-x2), 化简得y=ex1x+(1-x1)ex1, y=1x2 x+lnx2-1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58 名师大课堂 艺术生必备·数学