第4章 第4节 第2课时 导数与函数零点-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第二课时 导数与函数零点 判断函数零点个数 (2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a (x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.当x∈ (-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有 一个交点.则a= ( ) A.-1 B.12 C.1 D.2 【解析】 由题意知f(x)=g(x),则a(x+ 1)2-1=cosx+2ax,即cosx=a(x2+1)- 1.令h(x)=cosx-a(x2+1)+1.易 知 h(x)为偶函数,由题意知h(x)在(-1,1)上 有唯一零点,所以h(0)=0,即cos0-a(0+ 1)+1=0,得a=2,故选D. 【答案】 D 判断函数零点个数的3种方法 直接法 令f(x)=0,则方程解的个数 即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函 数,看其交点的个数 定理法 利用零点存在性定理判定,可 结合最值、极值去解决 [针对训练] 1.已知f(x)=1x+ ex e-3 ,F(x)=lnx+e x e- 3x+2. (1)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)判断函数F(x)在(0,+∞)上零点的个数. 已知零点个数求参数范围 函数 f(x)=13x 3+ ax2+bx+c(a,b,c∈R)的 导函数的图象如图所示: (1)求 a,b 的 值 并 写 出 f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)有三个零点,求c的取 值范围. 【解】 (1)因为f(x)=13x 3+ax2+bx+c, 所以f'(x)=x2+2ax+b. 因为f'(x)=0的两个根为-1,2, 所以 -1+2=-2a, -1×2=b, 解得a=-12,b=-2, 由导函数的图象可知(图略),当-1<x<2 时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x<-1或x>2时,f'(x)>0,函数f(x) 单调递增, 故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1) 和(2,+∞), 单调递减区间为(-1,2). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 名师大课堂 艺术生必备·数学 (2)由(1)得f(x)=13x 3-12x 2-2x+c, 函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增 函数,在(-1,2)上是减函数, 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=76+c , 极小值为f(2)=c-103. 而函数f(x)恰有三个零点,故必有 7 6+c>0 , c-103<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得-76<c< 10 3. 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的 取值范围是 -76 ,10 3 . 和函数零点有关的参数范围问题 (1)函数在定义域上单调,满足零点存在性 定理. (2)若函数不是严格的单调函数,则求最小 值或最大值结合图象分析. (3)分离参数后,数形结合,讨论参数所在 直线与函数图象交点的个数. [针对训练] 2.已知函数f(x)=ex+ax-a(a∈R且a≠0). (1)若f(0)=2,求实数a 的值,并求此时 f(x)在[-2,1]上的最小值; (2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取 值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 微专题(一) 导数中函数的构造问题 导数中的函数构造问题是高考考查的一 个热点内容,经常以客观题出现,通过已知等 式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比 较大小、解不等式、恒成立等问题. 导数型构造函数 考向一 利用f(x)与x构造 已知函数f(x)的定义域为[0,+∞), 导函数为f'(x),若f'(x)<f (x) x+1 恒成立, 则 ( ) A.f(2)>f(3) B.2f(1)>f(3) C.f(5)>2f(2) D.3f(5)>f(1) 【解析】 设函数g(x)=f (x) x+1 ,x≥0, 因为f'(x)<f (x) x+1 ,x≥0, 所以(x+1)f'(x)-f(x)<0, 则g'(x)= (x+1)f'(x)-f(x) (x+1)2 <0, 所以g(x)在定义域上是减函数, 从而g(1)>g(2)>g(3)>g(5), 即f(1) 2 > f(2) 3 > f(3) 4 > f(5) 6 . 所以4f(2)>3f(3),2f(1)>f(3),2f(2) >f(5),3f(1)>f(5). 【答案】 B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 55 第四章 导数及其应用 所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增, 当x=e时,f(x)取得极小值,且f(e)=lne+ee=2. 所以f(x)的极小值为2. (2)由题意知对任意的x1>x2>0,f(x1)-x1<f(x2)- x2恒成立, 设h(x)=f(x)-x=lnx+kx -x (x>0), 则h(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以h'(x)=1x- k x2 -1≤0在(0,+∞)上恒成立, 故当x>0时,k≥-x2+x=- x-12 2 +14 恒成立, 又- x-12 2 +14≤ 1 4 ,则k≥14 ,故实数k的取值范围 是 1 4 ,+∞ . 第二课时 导数与函数零点 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)f'(x)=-1x2 +e x e= x2ex-e ex2 , 令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增. (2)F'(x)=f(x)=1x+ ex e-3 , 由(1)得∃x1,x2,满足0<x1<1<x2, 使得f(x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2, +∞)上大于0, 即F(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在 (x2,+∞)上单调递增, 而F(1)=0,x→0时,F(x)→ -∞,x→+∞时, F(x)→+∞, 画出 函 数 F(x)的 草 图,如 图 所示. 故F(x)在(0,+∞)上的零点 有3个. 2.解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为R, 又f(0)=1-a=2,得a=-1, 所以f(x)=ex-x+1,求导得f'(x)=ex-1. 易知f(x)在[-2,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增, 所以当x=0时,f(x)在[-2,1]上取得最小值2. (2)由(1)知f'(x)=ex+a,由于ex>0, ①当a>0时,f'(x)>0,f(x)在R上是增函数, 当x>1时,f(x)=ex+a(x-1)>0; 当x<0时,取x=-1a , 则f -1a <1+a -1a-1 =-a<0. 所以函数f(x)存在零点,不满足题意. ②当a<0时,令f'(x)=0,得x=ln(-a). 在(-∞,ln(-a))上,f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(ln(-a),+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=ln(-a)时,f(x)取最小值. 函数f(x)不存在零点,等价于f(ln(-a))=eln(-a)+ aln(-a)-a=-2a+aln(-a)>0, 解得-e2<a<0. 综上所述,实数a的取值范围是(-e2,0). 微专题(一) 导数中函数的构造问题 跟踪训练 1.答案:(-2,0)∪(2,+∞) 解析:构 造 函 数g(x)=x2f(x),其 中f(x)为 奇 函 数 且x≠0, 则g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数, 且g(2)=0,g(-2)=-g(2)=0, 当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x[xf'(x)+ 2f(x)]>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为函数g(x)为奇函数,故函数g(x)在(-∞,0)上单调 递增, 故x2f(x)>0⇒g(x)>0, 当x<0时,g(x)>0=g(-2),可得-2<x<0; 当x>0时,g(x)>0=g(2),可得x>2. 综上所述,不等式x2f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 2.A 令φ(x)=exf(x)-ex,x∈R, 则φ'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex =ex[f(x)+f'(x)-1]. 又f(x)+f'(x)>1,∴f(x)+f'(x)-1>0, ∴φ'(x)>0, ∴φ(x)在定义域上是增函数, 不等式exf(x)>ex+1可化为exf(x)-ex>1, 又φ(0)=e0f(0)-e0=1, ∴原不等式等价于φ(x)>φ(0),故x>0, ∴原不等式的解集为{x|x>0}. 3.B 令g(x)=f(x)sinx,则g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx, 当x∈ -π2 ,0 时恒有f(x)cosx+f'(x)sinx>0,所以 g'(x)>0,则g(x)=f(x)sinx在 -π2 ,0 上单调递增, 所以g -π6 >g -π4 ,则 -12f -π6 >- 22f -π4 ,即 f (-π6 < 2f -π4 ,选 项 A 错 误; g -π6 >g(-π3),则-12f(-π6)>- 32f(-π3), 又f(x)为奇函数,所以-f(-x)=f(x),即f (π6 )> - 3f(- π3 ),选 项 B正 确;g(- π3 )<g(- π4 ),则 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),所以 3f(π3 )< 2f(π4 ),选 项C错误;由 3f(-π3 )> 2f(-π4 ),得- 3f(π3 )> 2f(-π4 ),选项D错误. 4.(1)D (2)D (1)易知a=12e= lne 2e , b=lnπ2π ,c=ln 33 = ln3 2×3 , 令f(x)=lnx2x (x>0), 则f'(x)=1-lnx2x2 ,f'(x)<0⇒x>e, 所以f(x)在(e,+∞)上单调递减, 又因为e<3<π, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —803—