第4章 第3节 导数与函数的极值、最值-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

f π3 .又x∈ 0,π2 时,得f'(x)=sinx+xcosx>0, 所以f(x)在 0,π2 上是增函数.所以f π5 <f(1)< f π3 .所以f -π3 >f(1)>f π5 ,故选A. 4.解:(1)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f'(x) =3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2 对x∈ R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时, f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤ 0,即实数a的取值范围为(-∞,0]. (2)由题意知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所 以a≥3x2在(-1,1)上恒成立, 因为当-1<x<1时,3x2<3,所以a≥3,所以a的取值 范围为[3,+∞). (3)由题意知f'(x)=3x2-a,则f(x)的单调递减区间 为 - 3a3 , 3a 3 , 又f(x)的单调递减区间为(-1,1), 所以 3a 3 =1 ,解得a=3. (4)由题意知:f'(x)=3x2-a,当a≤0时,f'(x)≥0,此 时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不合题意,故a>0. 令f'(x)=0,解得x=± 3a3 . 因为f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以f'(x)=0在 (-1,1)上有解,需0< 3a3 <1 ,得0<a<3, 所以实数a的取值范围为(0,3). 第三节 导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.(1)极大值f(x0) (2)极小值f(x0) 2.极值 端点处的函数值f(a),f(b) 考点知能突破 针对训练 1.ABD 根 据 导 函 数 f'(x)的 图 象 可 知,f(x)在 区 间 -12 ,0 上单调递减,在区 间[0,4]上 单 调 递 增,所 以 f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A、B、 D正确,选项C错误. 2.答案:-4 解析:f'(x)=(x-2)'[(x-1)(x-a)]+(x-2)[(x-1) (x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',因 为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=0,即(2-1) (2-a)=0,则a=2,经检验,满足题意,所以f(x)=(x- 1)(x-2)2,所以f(0)=-4. 3.A f'(x)=2x (2x+1)-2x2 (2x+1)2 =2x (x+1) (2x+1)2 , x∈ -13 ,1 ,当f'(x)=0时,x=0; 当-13≤x≤0 时,f'(x)<0;当0<x≤1时,f'(x)>0, 所以f(x)在 -13 ,0 上是减函数,在(0,1]上是增函数. 所以f(x)min=f(0)=0.又f - 1 3 =13,f(1)=13.所 以f(x)的最大值与最小值的和为13. 故选A. 4.解:(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时, f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+1x= 1-x x ,令f'(x)=0, 得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. 所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在 (0,+∞)上的最大值为-1. (2)f'(x)=a+1x ,x∈(0,e],1x∈ 1 e ,+∞ . ①若a≥-1e ,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函 数,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意; ②若a<-1e ,令f'(x)>0得a+1x>0 ,结合x∈(0,e], 解得0<x<-1a ,令f'(x)<0得a+1x<0 ,结合x∈(0, e],解得-1a<x≤e. 从而f(x)在 0,-1a 上为增函数, 在 -1a ,e 上 为 减 函 数,所 以f(x)max=f -1a = -1+ln -1a . 令-1+ln -1a =-3,得ln -1a =-2,即a=-e2. 因为-e2<-1e ,所以a=-e2 为所求.故实数a的值为 -e2. 5.答案:227a 3 解析:容积V=(a-2x)2x,0<x<a2 ,则V'=2(a-2x) ×(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),由V'=0得 x=a6 或x=a2 (舍去),则x=a6 为V 在定义域内唯一的 极大值点也是最大值点,此时Vmax= 2 27a 3. 第四节 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)解法一:第1步:求f'(x) 因为f(x)=5cosx-cos5x, 所以f'(x)=-5sinx+5sin5x. 第2步:令f'(x)=0,求出导函数的零点,讨论函数f(x) 的单调性 令f'(x)=0,得sinx=sin5x,又x∈ 0,π4 ,所以x= 5x或x=π-5x, 所以x=0或x=π6 , 所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示: x 0 0,π6 π6 π6,π4 f'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步:求f(x)在区间 0,π4 的最大值 因为f π6 =5cosπ6-cos5π6=3 3, 所以函数f(x)=5cosx-cos5x 在区间 0,π4 的最大 值为3 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —603— [针对训练] 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex -lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最 小值为 ( ) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 3.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则f π5 , f(1),f -π3 的大小关系为 ( ) A.f -π3 >f(1)>f π5 B.f(1)>f -π3 >f π5 C.f π5 >f(1)>f -π3 D.f -π3 >f π5 >f(1) 4.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取 值范围; (2)若函数f(x)在(-1,1)上为单调减函 数,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)的单调递减区间为(-1,1), 求实数a的值; (4)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调, 求实数a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三节 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值与导数 (1)极大值与导数 x x0 左侧 x0 x0 右侧 f'(x)f'(x)>0 f'(x0)=0 f'(x)<0 f(x) 增↗ ↘减 (2)极小值与导数 x x0 左侧 x0 x0 右侧 f'(x)f'(x)<0 f'(x0)=0 f'(x)>0 f(x) ↘减 增↗ (1)f'(x0)=0与x0 是f(x)极值点的关系. 函数f(x)可导,则f'(x0)=0是x0 为 f(x)的极值点的必要不充分条件.例如, f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极值点. (2)极大值(或极小值)可能不止一个,可能 没有,极大值不一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间内部,区 间的端点不能成为极值点. 2.函数的最值与导数 求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: 第一步求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 第二步将第一步求得的极值与 比 较,得到f(x)在[a,b]的最大值与最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 第四章 导数及其应用 (1)极值是一个局部性概念,反映的是函数 在某个点附近的大小情况,并不意味它在 函数的整个定义域内最大或最小;最值是 一个整体性的概念,函数的最值是比较某 个区间内的所有函数值得出的. (2)连续函数在某一个闭区间上的最值必 在极值点或区间端点处取得;定义在开区 间(a,b)内的函数不一定存在最大(小)值. (3)连续函数的极值个数不确定,而函数在某 一闭区间上的最大值和最小值是唯一的. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用导数解决函数的极值问题 角度一 根据图象判断函数的极值 (多选)已知函数f(x)的定义域为[-1,5], 部分对应值如表, x -1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,下列 关于函数f(x)的结论正确的是 ( ) A.函数f(x)的极大值点有2个 B.函数f(x)在[0,2]上是减函数 C.当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则 t的最大值为4 D.当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个 零点 【解析】 由f'(x)的图象可知,当x=0时, 函数f(x)取得 极 大 值;当x=4时,函 数 f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大 值点,故A中结论正确; 易知函数f(x)在[0,2]上是减函数,故B 中结论正确; 当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则t 满足0≤t≤5,即t的最大值是5, 故C中结论错误; 令y=f(x)-a=0,得f(x)=a, 当f(2)≤1,1<a<2时, 易知f(x)=a有四个根; 当1<f(2)<2,1<a<2时, 易知f(x)=a不一定有四个根, 故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确, 故D中结论错误,故选AB. 【答案】 AB 由图象判断函数y=f(x)的极值,要 抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴 的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点; (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y =f'(x)的值的正负,从而可得函数y= f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度二 求函数的极值 (多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数 f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( ) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 【解析】 因为f(x)=(x-1)2(x-4),所以 f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x- 1)(x-3),令f'(x)=0,解得x=1或x=3, 当x<1或x>3时,f'(x)>0,当1<x<3 时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区 间为(-∞,1),(3,+∞),单调递减区间为 (1,3),故x=1是函数f(x)的极大值点, x=3是函数f(x)的极小值点,所以A正确. 当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,即0< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 名师大课堂 艺术生必备·数学 x2<x<1,又函数f(x)在(0,1)上单调递 增,所以f(x2)<f(x),所以B错误. 当1<x<2时,1<2x-1<3,函数f(x)在 (1,3)上单调递减,所以-4=f(3)<f(2x -1)<f(1)=0,所以C正确. 当-1<x<0时,f(2-x)-f(x)=(2-x -1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=(x- 1)2(-x-2)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2 (-2x+2)=-2(x-1)3>0,所以f(2-x) >f(x),所以D正确.综上,选ACD. 【答案】 ACD 1.求函数f(x)的极值的一般解题步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f'(x); (3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域 内的所有根; (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0 左右两侧值的符号. 2.根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式:根据极值点处导数为0和极值 这两个条件列方程组,利用待定系数法 求解. (2)验证:求解后验证根的合理性. 角度三 已知函数的极值求参数 (2024·全国甲卷(理))(12分)已知函 数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x. (1)当a=-2时,求f(x)的极值; (2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. [解] (1)第1步:给出定义域,并求导 当a=-2时,f(x)=(1+2x)ln(1+x)- x,x∈(-1,+∞), f'(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln (1+x) - 11+x+1. 第2步:判断函数的单调性 易知f'(x)在(-1,+∞)上单调递增,且 f'(0)=0, 所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,当x∈(0, +∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-1,0)上 单 调 递 减,在(0, +∞)上单调递增, 第3步:根据极值的定义给出结论 所以当x=0时,f(x)取得极小值,为f(0) =0,f(x)无极大值. (2)第1步:求导 f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x,x∈(-1,+∞), 则f'(x)=-aln(1+x)- (a+1)x 1+x ,设g(x) =-aln(1+x)- (a+1)x 1+x ,则 g'(x)= - a1+x- a+1 (1+x)2 . 第2步:找出原不等式成立的一个必要条件 因 为 当x≥0时,f(x)≥0,且f(0)=0, f'(0)=0, 所以g'(0)=-2a-1≥0,得a≤-12 , 故a≤-12 是 原 不 等 式 成 立 的 一 个 必 要 条件. 第3步:证明该必要条件也是充分条件 下面证明其充分性: 当a≤-12 ,x≥0时,g'(x)≥ 12(1+x)- 1 2(1+x)2 = x 2(1+x)2 ≥0, 所 以 f'(x)在[0,+ ∞)上 单 调 递 增,且 f'(x)≥f'(0)=0, 所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x) ≥f(0)=0. 综上,a的取值范围是 -∞,-12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . [针对训练] 1.(多选)定义在区间 -12 ,4􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的函数 f(x)的 导 函 数 f'(x)的 图 象 如 图 所示,则下列结论正确的是 ( ) A.函数f(x)在区间[0,4]上单调递增 B.函数f(x)在区间 -12 ,0􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 49 第四章 导数及其应用 2.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)= (x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)= . 利用导数求函数的最值 (2025·贵州贵阳市检测)已知函数 f(x)=x-1x -lnx. (1)求f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在 1e ,e􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最大值和最 小值(其中e是自然对数的底数). 【解】 (1)f(x)=x-1x -lnx=1- 1 x-lnx , f(x)的定义域为(0,+∞). 因为f'(x)=1x2 -1x= 1-x x2 , 所以f'(x)>0⇒0<x<1,f'(x)<0⇒x>1,所 以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上 单调递减. (2)由(1)得f(x)在 1e ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上单调递增,在 (1,e]上单调递减, 所以f(x)在 1e ,e􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的极大值为f(1)= 1-11-ln1=0. 又f 1e =1-e-ln1e=2-e,f(e)=1-1e -lne=-1e ,且f 1e <f(e). 所以f(x)在 1e ,e􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最大值为0,最小值 为2-e. 求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递 减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为 最小值. (2)若函数在区间[a,b]内有极值,则要先 求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a), f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最 小值,可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个 极值点,这个极值点就是最大(或最小)值 点,此结论在导数的实际应用中经常用到. [提醒] 求函数在无穷区间(或开区间)上 的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究 其单调性,并通过单调性和极值情况,画出 函数的大致图象,然后借助图象观察得到 函数的最值. [针对训练] 3.函数f(x)= x 2 2x+1 在 -13 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最小值 与最大值的和为 ( ) A.13 B. 2 3 C.1 D.0 4.(2025·广东五校联考)已知函数f(x)=ax +lnx,其中a为常数. (1)当a=-1时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3, 求a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 50 名师大课堂 艺术生必备·数学 用导数解决生活中的优化问题 某企业拟建造如图所 示的容器(不计厚度,长度 单位:米),其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计 要求容器的体积为64π 3 立方米.假设该容器 的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形 部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分 每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建 造费用为y千元. (1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数 的定义域. (2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l 为何值时,该容器的建造费用最小,并求出 最小建造费用. 【解】 (1)因为容器的体积为64π3 立方米, 所以4πr 3 3 +πr 2l=643π ,解得l=64 3r2 -43r , 所以圆柱的侧面积为 2πrl=2πr 643r2- 4 3r =128π3r -8πr 2 3 , 两端两个半球的表面积之和为4πr2, 所以y=f(r)= 128π3r - 8πr2 3 ×3+4πr2×4 =128πr +8πr 2, 又l=64 3r2 -43r>0⇒r<2 4 3, 所以定义域为(0,2 4 3). (2)因为y'=-128πr2 +16πr=16π (r3-8) r2 , 所以令y'>0,得2<r<2 4 3; 令y'<0,得0<r<2, 当r∈(2,2 4 3)时,f(r)为增函数; 当r∈(0,2)时,f(r)为减函数, 所以当r=2,l=83 时, 该容器的建造费用最小为96π千元. 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立 实际问题的数学模型,写出实际问题中变 量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f'(x)=0处的 点的函数值的大小,最大(小)者为最大 (小)值. (4)回归实际问题作答. [针对训练] 5.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角 截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一 个无盖方盒,该方盒容积的最大值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四节 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式 导数法证明不等式 已知函数f(x)=xlnx-2x. (1)求f(x)的单调区间、极值; (2)若x>y>0,试确定f(x)-f(y)与 xlny-ylnx的大小关系,并给出证明. 【解】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x) =lnx+1-2=lnx-1,令f'(x)=0得x=e. 将x,f'(x),f(x)变化情况列表: x (0,e) e (e,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 第四章 导数及其应用