第4章 第2节 导数与函数的单调性-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第二节 导数与函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y= f(x) 在 区 间 (a, b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)内 f'(x)<0 f(x)在(a,b)内 f'(x)=0 f(x)在(a,b)内是 (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必 用导数. (2)有些初等函数(如f(x)=x3+x)的单 调性问题也不必用导数. (3)利用导数研究函数的单调性,要在函数 的定义域内讨论导数的符号. (4)判断函数的单调性时,个别导数等于零 的点不影响所在区间内的单调性. (5)对函数划分单调区间时,需确定导数等 于零的点、函数的不连续点和不可导点. 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f'(x); (3)由f'(x)>0(或<0)解出相应的x的取值 范围. 当f'(x)>0时,f(x)在相应的区间内是增函数; 当f'(x)<0时,f(x)在相应的区间内是减函数. (1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内 单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)(f'(x)不恒等 于0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递 减)的充要条件. 3.单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y= f'(x)在该区间上不变号. (1)根据单调性求参数常用导数不等式 f'(x)≥0或f'(x)≤0求解,注意检验等号. (2)根据单调性求参数要注意函数、导函数 的定义域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数的单调性 (1)(2025·北京模拟)函数f(x)=(x -3)ex 的单调递减区间是 . (2)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2- 2ax-2a2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的 导函数,讨论g(x)的单调性. 【解析】 (1)因为f(x)=(x-3)ex, 所以f'(x)=(x-2)ex, 令f'(x)<0,解得:x<2, 故f(x)在(-∞,2)上单调递减. (2)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞), g(x)=f'(x)=2(x-a)-2lnx-21+ax , 所以g'(x)=2-2x+ 2a x2 = 2x-12 2 +2a-14 x2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 名师大课堂 艺术生必备·数学 当0<a<14 时,g(x)在区间 0,1- 1-4a2 , 1+ 1-4a2 ,+∞ 上是增函数, 在 区 间 1- 1-4a 2 ,1+ 1-4a 2 上 是 减 函数; 当a≥14 时,g(x)在区间(0,+∞)上是增 函数. 【答案】 (1)(-∞,2) (2)见解析 求函数单调性的三点注意 一是含参数的函数的单调性,要依据参数 对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二 次三项式常考虑二次项系数、对应方程的 判别式以及根的大小关系,以此来确定分 界点,分情况讨论. 二是划分函数的单调区间时,要在函数定 义域内讨论,还要确定导数为0的点和函 数的间断点. 三是个别导数为0的点不影响在区间的单调 性,如f(x)=x3,f(x)=3x2≥0(f'(x)=0在 x=0时取到),f(x)在R上是增函数. [小积累] 用导数f'(x)确定函数f(x) 单调区间的三种类型及方法: (1)当不等式f'(x)>0或f'(x)<0可解 时,根据函数的定义域,解不等式f'(x) >0或f'(x)<0求出单调区间. (2)当方程f'(x)=0可解时,根据函数的 定义域,解方程f'(x)=0,求出实数根,把 函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点) 的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起 来,把定义域分成若干个小区间,再确定 f'(x)在各个区间内的符号,从而确定单 调区间. (3)当不等式f'(x)>0或f'(x)<0及方 程f'(x)=0均不可解时,对f'(x)化简,根 据f'(x)的结构特征,选择相应的基本初 等函数,利用其图象与性质确定f'(x)的 符号,得单调区间. [针对训练] 1.已知函数f(x)=a2 (x-1)2-x+lnx(a>0), 讨论f(x)的单调性. 函数单调性的应用问题 角度一 比较大小或解不等式 (1)(2025·河北枣强中学高三月考)已 知定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)- f(-x)-6x+2sinx=0,且x≥0时,f'(x) ≥3-cosx 恒 成 立,则 不 等 式 f(x)≥ f π2-x -3π2+6x+ 2cosx+π4 的解集 为 ( ) A.π4 ,+∞ B.π4,∞􀭠􀭡 􀪁 􀪁 C.π6 ,+∞ D.π6,+∞􀭠􀭡 􀪁 􀪁 (2)(多选)(2025·山东新泰二中高三模拟) 已知f'(x)是定义在 0,π2 上的函数f(x) 的导函数,且cosxf'(x)+sinxf(x)<0恒 成立,则 ( ) A.f π6 > 2f π4 B.3f π6 >f π3 C.f π6 > 3f π3 D.2f π6 > 3f π4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 第四章 导数及其应用 【解析】 (1)由题意得f(x)-3x+sinx= f(-x)+3x-sinx, 令g(x)=f(x)-3x+sinx,则g(x)=g(-x), 则g(x)为偶函数,当x≥0时,f'(x)≥3-cosx, 则g'(x)≥0,则g(x)在R上单调递增.由f(x) ≥f π2-x -3π2+6x+2cosx+π4 , 得f(x)-3x+sinx≥f π2-x -3π2-x + sin π2-x ,即g(x)≥g π2-x , 则|x|≥ π2-x ,所以x≥π4. 故选B. (2)根据题意,令g(x)=f (x) cosx ,x∈ 0,π2 , 则g'(x)=f' (x)·cosx+sinx·f(x) cos2x , 由x∈ 0,π2 ,且cosx·f'(x)+sinx· f(x)<0恒成立,得g'(x)<0, 即函数g(x)为减函数. 由π 6< π 3 ,得 g π6 >g π3 ,即 f π6 cosπ6 > f π3 cosπ3 ,整理可得f π6 > 3f π3 . 由π 6< π 4 ,得g π6 >g π4 , 即 f π6 cosπ6 > f π4 cosπ4 ,整理可得2f π6 >3f π4 . 故选CD. 【答案】 (1)B (2)CD 角度二 根据函数的单调性求参数 已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax 2+ 2x,a≠0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递 减区间,求a的取值范围. (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上 单调递减,求a的取值范围. 【解】 (1)易知h(x)=lnx-12ax 2-2x, x∈(0,+∞),h'(x)=1x-ax-2. 因 为 h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所 以当x∈(0,+∞)时,1x-ax-2<0 有解, 则a>1 x2 -2x 有解.令G(x)=1 x2 -2x ,x∈ (0,+∞),所以只要a>G(x)min即可.而 G(x)= 1x-1 2 -1,所以G(x)min=-1,所 以a>-1且a≠0. (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以当 x∈[1,4]时,h'(x)=1x-ax-2≤0 恒成 立,即a≥1 x2 -2x 恒成立,令G(x)=1 x2 -2x , x∈[1,4],则a≥G(x)max.因为x∈[1,4], 所以1 x∈ 1 4 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,而G(x)= 1x-1 2 -1,所 以G(x)max=- 7 16. 所以a≥-716 且a≠0. 1.利用导数比较函数值的大小或解不等式 的常用技巧 利用题目条件,构造辅助函数,把比较函数 值的大小或求解不等式的问题转化为先利 用导数研究函数的单调性问题,再由单调 性比较函数值的大小或解不等式. 2.由函数的单调性求参数的取值范围的 方法 (1)可导函数在区间(a,b)上单调,实际 上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x) ≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从 而转化为求函数的最值的问题,求出参 数的取值范围. (2)可导函数在区间(a,b)上存在单调区 间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0) 在该区间上存在解集,即f'(x)max>0 (或f'(x)min<0)在该区间上有解,从而 转化为不等式问题,求出参数的取值 范围. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性, 当区间I上含有参数时,可先求出f(x) 的单调区间,令I是其单调区间的子集, 从而求出参数的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 名师大课堂 艺术生必备·数学 [针对训练] 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex -lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最 小值为 ( ) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 3.已知函数f(x)=xsinx,x∈R,则f π5 , f(1),f -π3 的大小关系为 ( ) A.f -π3 >f(1)>f π5 B.f(1)>f -π3 >f π5 C.f π5 >f(1)>f -π3 D.f -π3 >f π5 >f(1) 4.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取 值范围; (2)若函数f(x)在(-1,1)上为单调减函 数,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)的单调递减区间为(-1,1), 求实数a的值; (4)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调, 求实数a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三节 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值与导数 (1)极大值与导数 x x0 左侧 x0 x0 右侧 f'(x)f'(x)>0 f'(x0)=0 f'(x)<0 f(x) 增↗ ↘减 (2)极小值与导数 x x0 左侧 x0 x0 右侧 f'(x)f'(x)<0 f'(x0)=0 f'(x)>0 f(x) ↘减 增↗ (1)f'(x0)=0与x0 是f(x)极值点的关系. 函数f(x)可导,则f'(x0)=0是x0 为 f(x)的极值点的必要不充分条件.例如, f(x)=x3,f'(0)=0,但x=0不是极值点. (2)极大值(或极小值)可能不止一个,可能 没有,极大值不一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间内部,区 间的端点不能成为极值点. 2.函数的最值与导数 求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: 第一步求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 第二步将第一步求得的极值与 比 较,得到f(x)在[a,b]的最大值与最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 第四章 导数及其应用 汽油,故选项C错;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率 比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省 油,故选项D对. 2.答案:(1)120 (2)80 解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而 且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出 的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系 应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m 描述,将表中数据代入可得 a(60-120)2+m=116, a(100-120)2+m=84, 解得 a=0.01,m=80, 所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种 植成本取到最低值80元/100kg. 3.答案:10 解析:设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天 支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他 费 用 每 天 比 前 一 天 少200× 0.03=6(元),所以x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).从而有y= 1 x (3x2-3x+300)+200×1.8=300x +3x+357≥417 ,当 且仅当300 x =3x ,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 第四章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 基础知识必备 1.f (x0+Δx)-f(x0) Δx 常数A f (x0+Δx)-f(x0) Δx A (x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 2.lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx 3.0 nxn-1 cosx -sinx axlna ex 1xlna 1 x 4.(3)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (4)f' (x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)2] (g(x)≠0) 5.y'u·u'x 考点知能突破 针对训练 1.ABC 对于A: 1lnx '=- 1ln2x·(lnx)'=- 1xln2x, 对于B:(x2ex)'=(x2+2x)ex, 对于C:(xcosx)'=cosx-xsinx, 对于D:x-1x '=1+1x2.故选ABC. 2.A 函数y=x2 与y=lnx+a的导函数分别为y'=2x, y'=1x. 设切点的横坐标为t(t>0), 则 t2=lnt+a, 2t=1t. 解得a=1+ln22 .故选A. 3.答案:2ex-y=0 解析:设切点坐标为(t,e2t), 因为f(x)=e2x,所以f'(x)=2e2x,f'(t)=2e2t,则曲线 y=f(x)在点(t,e2t)处的切线方程为y-e2t=2e2t(x-t). 由于该直线过原点,故-e2t=-2te2t,得t=12 ,则过原点 且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2ex,即2ex-y =0. 4.答案:4 解析:设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标 为(x0,ex0+x0+a),由y=ex+x+a得y'=ex+1,所以 y'|x=x0=e x0+1=2,解得x0=0,所以切点坐标为(0,1+ a),又切点(0,1+a)在切线y=2x+5上,所以1+a=5, 解得a=4. 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.单调递增 单调递减 常数函数 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=a(x-1)-1+1x= (x-1)(ax-1) x , 令f'(x)=0,则x1=1,x2= 1 a , ①若a=1,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增 函数; ②若0<a<1,则1a>1 , 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数, 当x∈ 1,1a 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 当x∈ 1a ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)是增函数; ③若a>1,则0<1a<1 , 当x∈ 0,1a 时,f'(x)>0,f(x)是 增 函 数,当 x∈ 1 a ,1 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 综上所述,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当0<a<1时,f(x)在(0,1)上是增函数,在 1,1a 上是 减函数,在 1 a ,+∞ 上是增函数; 当a>1时,f(x)在 0,1a 上是增函数,在 1a,1 上是 减函数,在(1,+∞)上是增函数. 2.C 因为函数f(x)=aex-lnx,所以f'(x)=aex-1x. 因 为函数f(x)=aex-lnx 在(1,2)单调递增,所以f'(x) ≥0在(1,2)恒成立,即aex-1x≥0 在(1,2)恒成立,易知 a>0,则0<1a≤xe x 在(1,2)恒成立.设g(x)=xex,则 g'(x)=(x+1)ex.当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调 递增,所以在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,所以1a≤e ,即a≥ 1 e=e -1,故选C. 3.A 因为f(x)=xsinx,所以f(-x)=(-x)sin(-x)= xsinx=f(x).所以函数f(x)是偶函数,所以f -π3 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —503— f π3 .又x∈ 0,π2 时,得f'(x)=sinx+xcosx>0, 所以f(x)在 0,π2 上是增函数.所以f π5 <f(1)< f π3 .所以f -π3 >f(1)>f π5 ,故选A. 4.解:(1)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f'(x) =3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2 对x∈ R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时, f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤ 0,即实数a的取值范围为(-∞,0]. (2)由题意知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所 以a≥3x2在(-1,1)上恒成立, 因为当-1<x<1时,3x2<3,所以a≥3,所以a的取值 范围为[3,+∞). (3)由题意知f'(x)=3x2-a,则f(x)的单调递减区间 为 - 3a3 , 3a 3 , 又f(x)的单调递减区间为(-1,1), 所以 3a 3 =1 ,解得a=3. (4)由题意知:f'(x)=3x2-a,当a≤0时,f'(x)≥0,此 时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不合题意,故a>0. 令f'(x)=0,解得x=± 3a3 . 因为f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以f'(x)=0在 (-1,1)上有解,需0< 3a3 <1 ,得0<a<3, 所以实数a的取值范围为(0,3). 第三节 导数与函数的极值、最值 基础知识必备 1.(1)极大值f(x0) (2)极小值f(x0) 2.极值 端点处的函数值f(a),f(b) 考点知能突破 针对训练 1.ABD 根 据 导 函 数 f'(x)的 图 象 可 知,f(x)在 区 间 -12 ,0 上单调递减,在区 间[0,4]上 单 调 递 增,所 以 f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.所以选项A、B、 D正确,选项C错误. 2.答案:-4 解析:f'(x)=(x-2)'[(x-1)(x-a)]+(x-2)[(x-1) (x-a)]'=(x-1)(x-a)+(x-2)[(x-1)(x-a)]',因 为x=2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=0,即(2-1) (2-a)=0,则a=2,经检验,满足题意,所以f(x)=(x- 1)(x-2)2,所以f(0)=-4. 3.A f'(x)=2x (2x+1)-2x2 (2x+1)2 =2x (x+1) (2x+1)2 , x∈ -13 ,1 ,当f'(x)=0时,x=0; 当-13≤x≤0 时,f'(x)<0;当0<x≤1时,f'(x)>0, 所以f(x)在 -13 ,0 上是减函数,在(0,1]上是增函数. 所以f(x)min=f(0)=0.又f - 1 3 =13,f(1)=13.所 以f(x)的最大值与最小值的和为13. 故选A. 4.解:(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时, f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+1x= 1-x x ,令f'(x)=0, 得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. 所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(x)在 (0,+∞)上的最大值为-1. (2)f'(x)=a+1x ,x∈(0,e],1x∈ 1 e ,+∞ . ①若a≥-1e ,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函 数,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不符合题意; ②若a<-1e ,令f'(x)>0得a+1x>0 ,结合x∈(0,e], 解得0<x<-1a ,令f'(x)<0得a+1x<0 ,结合x∈(0, e],解得-1a<x≤e. 从而f(x)在 0,-1a 上为增函数, 在 -1a ,e 上 为 减 函 数,所 以f(x)max=f -1a = -1+ln -1a . 令-1+ln -1a =-3,得ln -1a =-2,即a=-e2. 因为-e2<-1e ,所以a=-e2 为所求.故实数a的值为 -e2. 5.答案:227a 3 解析:容积V=(a-2x)2x,0<x<a2 ,则V'=2(a-2x) ×(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),由V'=0得 x=a6 或x=a2 (舍去),则x=a6 为V 在定义域内唯一的 极大值点也是最大值点,此时Vmax= 2 27a 3. 第四节 导数的综合应用 第一课时 导数与不等式 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)解法一:第1步:求f'(x) 因为f(x)=5cosx-cos5x, 所以f'(x)=-5sinx+5sin5x. 第2步:令f'(x)=0,求出导函数的零点,讨论函数f(x) 的单调性 令f'(x)=0,得sinx=sin5x,又x∈ 0,π4 ,所以x= 5x或x=π-5x, 所以x=0或x=π6 , 所以x,f'(x),f(x)的关系如表所示: x 0 0,π6 π6 π6,π4 f'(x) 0 大于0 0 小于0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 第3步:求f(x)在区间 0,π4 的最大值 因为f π6 =5cosπ6-cos5π6=3 3, 所以函数f(x)=5cosx-cos5x 在区间 0,π4 的最大 值为3 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —603—