第4章 第1节 导数的概念及运算-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第一节 导数的概念及运算 1.函数y=f(x)在x=x0 处的导数 定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定 义,x0∈(a,b),若 Δx 无限趋近于0 时,比值Δy Δx= 无限趋近于一 个 ,则称常数A 为函数f(x) 在x=x0 处的导数,记作f'(x0) 记法 当Δx→0时, → 几何 意义 是曲线y=f(x)在点 处的 ,相应的切线方程为 . 2.函数f(x)的导函数:称函数f'(x)= 为f(x)的导函数. 函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变 化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的 快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线 越“陡”. 3.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)= f(x)=xn(n∈Q*) f'(x)= f(x)=sinx f'(x)= f(x)=cosx f'(x)= f(x)=ax (a>0且a≠1) f'(x)= f(x)=ex f'(x)= f(x)=logax (x>0,a>0且a≠1) f'(x)= f(x)=lnx(x>0) f'(x)= 奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是 奇函数;周期函数的导数还是周期函数. 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). (2)[cf(x)]'=cf'(x). (3)[f(x)·g(x)]'= . (4)f (x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁'= . 5.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y= f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 导数的计算 (多选)下列结论中不正确的是 ( ) A.若y=cos1x ,则y'=-1xsin 1 x B.若y=sinx2,则y'=2xcosx2 C.若y=cos5x,则y'=-sin5x D.若y=12xsin2x ,则y'=xsin2x 【解析】 对于A,y=cos1x ,则y'=1x2 sin1x , 故错误;对于B,y=sinx2,则y'=2xcosx2,故 正确;对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5x, 故错误,对于D,y=12xsin2x ,则y'=12sin2x +xcos2x,故错误. 【答案】 ACD 函数求导应遵循的原则 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换 等对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导 数的四则运算法则,切忌记错记混. (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复 合层次,通过设中间变量,确定复合过程, 然后求导. [提醒] 当函数解析式中含有待定系数 (例如f'(x0),a,b)等),求导时把待定系 数看成常数,再根据题意求解即可. [针对训练] 1.(多选)下列求导运算不正确的是 ( ) A. 1lnx '=x B.(x2ex)'=2x+ex C.(xcosx)'=-sinx D.x-1x '=1+1x2 导数的几何意义 角度一 求切线方程 (1)曲线y=3(x2+x)ex 在点(0,0)处 的切线方程为 . (2)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点 (0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线 l的方程为 . 【解析】 (1)因为y'=3(2x+1)ex+3(x2+ x)ex =3(x2+3x+1)ex,所 以 曲 线 在 点 (0,0)处的切线的斜率k=y'|x=0=3,所以 所求的切线方程为y=3x. (2)因为点(0,-1)不在曲线f(x)=xlnx 上,所以设切点为(x0,y0). 又因为f'(x)=1+lnx,所以直线l的方程 为y+1=(1+lnx0)x. 所以由 y0=x0lnx0, y0+1=(1+lnx0)x0, 解得x0=1,y0=0. 所以直线l的方程为y=x-1, 即x-y-1=0. 【答案】 (1)y=3x (2)x-y-1=0 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在点x=x0 处的导 数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处 切线的斜率. (2)由点斜式方程求得切线方程为y- f(x0)=f'(x0)·(x-x0). [注意] “过”与“在”:曲线y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的 切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后 者P(x0,y0)不一定为切点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 名师大课堂 艺术生必备·数学 角度二 求切点坐标 若曲线y=xlnx上点P 处的切线平行 于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 . 【解析】 设切点P 的坐标为(x0,y0), 因为y'=lnx+1, 所以切线的斜率k=lnx0+1, 由题意知k=2,得x0=e, 代入曲线方程得y0=e. 故点P 的坐标是(e,e). 【答案】 (e,e) 求切点坐标的思路 (1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般 思路是先求函数的导数,再让导数等于切 线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐 标代入函数解析式求出切点的纵坐标。 (2)已知曲线外一点求切点的一般思路是 先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代 入曲线方程,已知点代入切线方程联立方 程求出切点坐标. 角度三 已知切线方程求参数 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) +a的切线,则a= . 【解析】 由题,令f(x)=ex+x,则f'(x)= ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令 g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)= 1x+1 ,设直 线y=2x+1与曲线y=g(x)相切于点(x0, y0),则 1 x0+1 =2,得x0=- 1 2 ,则y0=2x0 +1=0,所以0=ln -12+1 +a,所以a= ln2. 【答案】 ln2 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的 方程等得到关于参数的方程(组)或者参数 满足的不等式(组),进而求出参数的值或 取值范围. [提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. [针对训练] 2.已知函数y=x2 与y=lnx+a的图象在交 点处有公共的切线,则a= ( ) A.1+ln22 B. 1-ln2 2 C.1+ln22 D.1- ln2 2 3.已知函数f(x)=e2x,则过原点且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 . 4.(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线 y=ex+x+a的一条切线,则a= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 第四章 导数及其应用 汽油,故选项C错;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率 比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省 油,故选项D对. 2.答案:(1)120 (2)80 解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而 且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出 的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系 应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m 描述,将表中数据代入可得 a(60-120)2+m=116, a(100-120)2+m=84, 解得 a=0.01,m=80, 所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种 植成本取到最低值80元/100kg. 3.答案:10 解析:设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天 支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他 费 用 每 天 比 前 一 天 少200× 0.03=6(元),所以x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元).从而有y= 1 x (3x2-3x+300)+200×1.8=300x +3x+357≥417 ,当 且仅当300 x =3x ,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 第四章 导数及其应用 第一节 导数的概念及运算 基础知识必备 1.f (x0+Δx)-f(x0) Δx 常数A f (x0+Δx)-f(x0) Δx A (x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 2.lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx 3.0 nxn-1 cosx -sinx axlna ex 1xlna 1 x 4.(3)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (4)f' (x)g(x)-f(x)g'(x) [g(x)2] (g(x)≠0) 5.y'u·u'x 考点知能突破 针对训练 1.ABC 对于A: 1lnx '=- 1ln2x·(lnx)'=- 1xln2x, 对于B:(x2ex)'=(x2+2x)ex, 对于C:(xcosx)'=cosx-xsinx, 对于D:x-1x '=1+1x2.故选ABC. 2.A 函数y=x2 与y=lnx+a的导函数分别为y'=2x, y'=1x. 设切点的横坐标为t(t>0), 则 t2=lnt+a, 2t=1t. 解得a=1+ln22 .故选A. 3.答案:2ex-y=0 解析:设切点坐标为(t,e2t), 因为f(x)=e2x,所以f'(x)=2e2x,f'(t)=2e2t,则曲线 y=f(x)在点(t,e2t)处的切线方程为y-e2t=2e2t(x-t). 由于该直线过原点,故-e2t=-2te2t,得t=12 ,则过原点 且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2ex,即2ex-y =0. 4.答案:4 解析:设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标 为(x0,ex0+x0+a),由y=ex+x+a得y'=ex+1,所以 y'|x=x0=e x0+1=2,解得x0=0,所以切点坐标为(0,1+ a),又切点(0,1+a)在切线y=2x+5上,所以1+a=5, 解得a=4. 第二节 导数与函数的单调性 基础知识必备 1.单调递增 单调递减 常数函数 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=a(x-1)-1+1x= (x-1)(ax-1) x , 令f'(x)=0,则x1=1,x2= 1 a , ①若a=1,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增 函数; ②若0<a<1,则1a>1 , 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数, 当x∈ 1,1a 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 当x∈ 1a ,+∞ 时,f'(x)>0,f(x)是增函数; ③若a>1,则0<1a<1 , 当x∈ 0,1a 时,f'(x)>0,f(x)是 增 函 数,当 x∈ 1 a ,1 时,f'(x)<0,f(x)是减函数, 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 综上所述,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当0<a<1时,f(x)在(0,1)上是增函数,在 1,1a 上是 减函数,在 1 a ,+∞ 上是增函数; 当a>1时,f(x)在 0,1a 上是增函数,在 1a,1 上是 减函数,在(1,+∞)上是增函数. 2.C 因为函数f(x)=aex-lnx,所以f'(x)=aex-1x. 因 为函数f(x)=aex-lnx 在(1,2)单调递增,所以f'(x) ≥0在(1,2)恒成立,即aex-1x≥0 在(1,2)恒成立,易知 a>0,则0<1a≤xe x 在(1,2)恒成立.设g(x)=xex,则 g'(x)=(x+1)ex.当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调 递增,所以在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,所以1a≤e ,即a≥ 1 e=e -1,故选C. 3.A 因为f(x)=xsinx,所以f(-x)=(-x)sin(-x)= xsinx=f(x).所以函数f(x)是偶函数,所以f -π3 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —503—