第3章 第7节 函数的图象-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调 递减区间是[1,3). (2)若f(x)的最小值为0, 则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1, 因此应有 a>0, 3a-1 a =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=12. 故实数a的值为12. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a ∈(1,+∞). (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什 么性质或利用函数的某个性质,都要在其 定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等 价性. [针对训练] 3.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范 围是 ( ) A.(0,1) B.0,12 C.12 ,1 D.(0,1)∪(1,+∞) 4.(多选)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x), 则 ( ) A.f(x)在(2,6)上单调递减 B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2 C.f(x)在(2,6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 5.已知函数f(x)=loga(ax2-x). (1)若a=12 ,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实 数a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第七节 函数的图象 1.利用描点法作函数的图象的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)化简函数的解析式. (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、最值等). (4)描点连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换: y=f(x) a>0,右移a个单位 a<0,左移|a|个单位→y= ; y=f(x) b>0,上移b个单位 b<0,下移|b|个单位→y= . (2)伸缩变换: y=f(x) 0<ω<1,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的1ω ω>1,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1ω →y = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 名师大课堂 艺术生必备·数学 y=f(x) A>1,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍 0<A<1,横坐标不变,纵坐标缩短为原来的A倍→y = . (3)对称变换: y=f(x) 关于x轴对称 →y= ; y=f(x) 关于y轴对称 →y= ; y=f(x) 关于原点对称 →y= . (4)翻折变换: y=f(x) 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 将y 轴右边的图象翻折到左边去 →y= ; y=f(x) 保留x轴上方图 将x 轴下方的图象翻折到上方去→y = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 作函数的图象、函数图象的识别与辨析 作出下列函数的大致图象. (1)y=2-xx+1 ;(2)y= 12 |x+1| ; (3)y=|log2x-1|;(4)y=x 2-2|x|-1. 【解】 (1)易知函数y=2-xx+1 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠-1},y=2-xx+1=-1+ 3 x+1. 由y=3x 的图象向左平移1个单位长 度,再向下平移1个单位长度即可得到函数 y=2-xx+1 的图象,如图①所示. (2)先作出y= 12 x ,x∈[0,+∞)的图象, 然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图 象 向 左 平 移1个 单 位 长 度,即 得 到 y= 1 2 |x+1| 的图象,如图②所示. (3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下 平移1个单位长度,保留x 轴上方的部分, 将x轴下方的图象翻折到x 轴上方,即得到 y=|log2x-1|的图象,如图③所示. (4)y=x2-2|x|-1= x2-2x-1(x≥0), x2+2x-1(x<0) 的 图象如图④所示. 作函数图象的一般方法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解 析式)是熟悉的函数时,就可根据这些函数 的特征描出图象的关键点直接作出; (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本 函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则 可利用图象变换作图,并应注意平移变换 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的 影响。 (多选)(2025·山东潍坊模拟)函数 f(x)= xx2+a 的图象可能是 ( ) 【解析】 函数f(x)= xx2+a , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 第三章 函数及其应用 若a=0,则f(x)=xx2 =1x ,故C中图象可能; 若a>0,则 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,且 f(0)=0,故B中图象可能; 若a<0,则x≠± -a,故A中图象可能, 故选A、B、C. 【答案】 ABC 辨别函数图象的策略 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位 置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从 函 数 的 单 调 性,判 断 图 象 的 变 化 趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从 函 数 的 周 期 性,判 断 图 象 的 循 环 往复; (5)从 函 数 的 特 征 点,排 除 不 合 要 求 的 图象. [针对训练] 1.(2025·湖北省部分重点中学4月联考)已 知函数f(x)= x2,x≥0, 1 x ,x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 g(x)=-f(-x),则 函数g(x)的图象大致是 ( ) 函数图象的应用 角度一 研究函数的性质 对于函数f(x)=lg(|x|+1),给出如 下三个命题: ①f(x)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,0) 上是减函数,在区间(0,+∞)上是增函数; ③f(x)没有最小值.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】 作出f(x)的图象,可 知f(x)在(-∞,0)上是减函 数,在(0,+∞)上是增函数;由 图象可知函数存在 最 小 值0.所 以①②正 确.故选B. 【答案】 B 对于已知解析式或易画出其在给定区间上 图象的函数,其性质常借助图象研究: ①从图象的最高点、最低点,分析函数的最 值、极值; ②从图象的对称性,分析函数的奇偶性; ③从图象的走向趋势,分析函数的单调性、 周期性. 角度二 解不等式 函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈ [0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0 在(-1,3)上的解集为 ( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 【解析】 作 出 函 数 f(x)的 图 象 如 图 所示. 当x∈(-1,0)时, 由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈(0,1) 时,由xf(x)>0得x∈⌀;当x∈(1,3)时, 由xf(x)>0得x∈(1,3).所以x∈(-1,0) ∪(1,3).故选C. 【答案】 C 利用函数的图象研究不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函 数有关时,常将不等式问题转化为两函数 图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴 的位置关系问题,从而利用数形结合法 求解. 角度三 求参数的取值范围 已知函数f(x)= -x2+1,x<1, log2x,x≥1, 若关 于x的方程f(x)=k有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 名师大课堂 艺术生必备·数学 【解析】 画出函数y=f(x)与y=k的图 象,如图所示. 由图可知,当0<k<1时,y=k和y=f(x) 的图象有三个交点,即方程f(x)=k有三 个不同的实根. 【答案】 (0,1) 当参数的不等关系不易找出时,可将函数 (或方程)等价转化为方便作图的两个函 数,再根据题设条件和图象确定参数的取 值范围. [针对训练] 2.(多选)(2025·福建厦门双十中学月考)对 任意 两 个 实 数 a,b,定 义 min{a,b}= a,a≤b, b,a>b, 若f(x)=2-x2,g(x)=x2,F(x) =min{f(x),g(x)},则 ( ) A.F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个不同的实根 C.F(x)在区间[-1,1]上单调递增 D.F(x)有4个单调区间 3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若 方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则 实数k的取值范围是 ( ) A.0,12 B.12,1 C.(1,2) D.(2,+∞) 4.函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0, 若x·[f(x)-f(-x)]<0,则x的取值范 围为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把 使 的实数x叫做函数y=f(x)的 零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根 ⇔函数y=f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y=f(x)有 . 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线,并且 ,那么 函数y=f(x)在区间 内有零点,即 存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就 是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函 数零点存在性定理. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0) 的图象 与x轴 的交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 无 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 第三章 函数及其应用 5.解:(1)当a=12 时,f(x)=log12( 1 2x 2-x),由12x 2-x> 0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 利 用 复 合 函 数 单 调 性 可 得 函 数 f(x)的 增 区 间 为 (-∞,0),减区间为(2,+∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称 轴为x=12a. ①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数,则g(x)=ax2-x 在[2,4]上单调递减,且g(x)min> 0,即 1 2a≥4 , g(4)=16a-4>0, 此不等式组无解. ②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min>0, 即 1 2a≤2 , g(2)=4a-2>0, 解得a>12. 又a>1,所以a>1. 综上,实数a的取值范围为[1,+∞). 第七节 函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a) f(x)+b (2)f(ωx) Af(x) (3)-f(x) f(-x) -f(-x) (4)f(|x|) |f(x)| 考点知能突破 针对训练 1.D 先画出函数f(x)= x2,x≥0, 1 x ,x<0 的图象,如图(1)所示, 再根据函数f(x)与-f(-x)的图象关于坐标原点对称, 即可画出函数-f(-x)的图象,即g(x)的图象,如图(2) 所示.故选D. 2.ABD 根据函数f(x)=2-x2 与 g(x)=x2,画出函数F(x)=min {f(x),g(x)}的图象,如图.由图 象可知,函数F(x)=min{f(x), g(x)}的图象关于y 轴对称,所以 A项正确;函数F(x)的图象与x 轴有三个交点,所以方程F(x)=0有三个不同的实根,所 以B项正确;函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(- 1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单 调递减,所以C项错误,D项正确。 3.B 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直 线g(x)=kx与直线AB 平行时斜率为1,当直线g(x)=kx 过A点时斜率为12 ,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时, k的范围为 12 ,1 .故选B. 4.答案:(-3,0)∪(0,3) 解析:函 数 f(x)的 图 象 大 致 如 图 所示. 因为f(x)为奇函数,且x·[f(x)- f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知,不等式的解集为(-3,0) ∪(0,3). 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0 (2)x轴 零点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 考点知能突破 针对训练 1.D 因为f(x)=3x-x2,所以f(-1)=3-1-1=-23< 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C 当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x≤1 时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1.故选C. 3.C 由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一 个零点在区间(1,2)内, 所以 f (1)<0, f(2)>0, 即 -a<0,4-1-a>0, 解得0<a<3, 故选C. 4.答案:(0,1) 解 析:画 出 函 数 f (x)= 2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0 的 图 象,如 图 所示. 由于函数g(x)=f(x)-m 有3个 零点,结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案:-14 ,2 解析:因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点, 所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x 在[-1,1]上有解. 方程a=4x-2x 可变形为a= 2x-12 2 -14 , 因为x∈[-1,1],所以2x∈ 12 ,2 ,所以 2x-12 2 - 1 4∈ - 1 4 ,2 . 所以实数a的取值范围是 -14 ,2 . 第二课时 函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴 考点知能突破 针对训练 1.D 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5 千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最 高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最 少,故选项B错;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —403—