第3章 第6节 对数、对数函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数求 值域时,要借助换元法:令u=f(x),先求 出u=f(x)的值域,再利用y=au 的单调 性求出y=af(x)的值域. (2)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数单 调性的判断,首先确定定义域D,再分两种 情况讨论:当a>1时,若f(x)在区间(m, n)上(其中(m,n)⊆D)具有单调性,则函 数y=af(x)在区间(m,n)上的单调性与 f(x)在区间(m,n)上的单调性相同;当0 <a<1时,若f(x)在区间(m,n)上(其中 (m,n)⊆D)具有单调性,则函数y=af(x) 在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间 (m,n)上的单调性相反. [针对训练] 3.函数y= 12 x2+2x-1 的值域是 ( ) A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 4.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时, 1<bx<ax,则 ( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 5.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0), 则不等式f(x-2)>0的解集为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六节 对数、对数函数 1.对数的概念 如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做 以a 为底N 的对数,记作x= ,其 中a叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质: ①alogaN= ; ②loga b=b(a>0,且a≠1). (2)换底公式: logab= logcb logca (a,c均大于0且不等于1,b>0). (3)对数的运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)= ; ②loga M N= ; ③logaMn=nlogaM(n∈R). 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域: 值域:R 过定点 当x>1时,y>0 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0 当0<x<1时,y>0 在(0,+ ∞)上 是 在(0,+∞)上是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29 第三章 函数及其应用 4.反函数 指数函数y=ax 与对数函数y=logax 互为 反函数,它 们 的 图 象 关 于 直 线 对称. 1.换底公式的三个重要结论 ①logab= 1 logba ;②logambn= n mlogab ; ③logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图,作直线y=1,则该直线与四个函 数图象交点的横坐标 为相应的底数. 故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下 规律:在第一象限内与y=1相交的对 数函数从左到右底数逐渐增大. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对数式的化简与求值 (2024·全国甲卷)已知a>1且 1log8a - 1 loga4 =-52 ,则a= . 【解析】 根 据 题 意 有 11 3log2a - 12loga2 = -52 ,即3loga2- 1 2loga2 =-52 ,设t=loga2 (a>1),则t>0,故3t-12t=- 5 2 ,得t= 1 6 (t=-1舍去),所以loga2= 1 6 ,所以a 1 6= 2,所以a=64. 【答案】 64 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真 数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂 的底数最简,然后用对数运算法则化简 合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍 数,然后逆用对数的运算法则,化为同底 对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解 决有关指数、对数问题的有效方法,在运 算中应注意互化. [针对训练] 1.计算:2log23+2log31-3log7 +3ln1= . 对数函数的图象及其应用 (1)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值 域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象 大致是 ( ) (2)若方程4x=logax 在 0, 1 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 上有解,则实 数a的取值范围为 . 【解析】 (1)由于y=a|x|的值域为{y|y≥1}, 所以a>1,则y=loga|x|在(0,+∞)上是增 函数.又函数y=loga|x|的图象关于y轴对 称,因此y=loga|x|的图象应大致为选项B. (2)构造函数f(x)=4x 和g(x)=logax, 当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出 两个函数在 0,12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 上的图象,可知,只需两 图 象 在 0,12 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 上 有 交 点 即 可,则f 12 ≥g 12 , 即2≥loga 1 2 ,则a≤ 22 , 所以a的取值范围为 0,22 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . 【答案】 (1)B (2)0,22 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 30 名师大课堂 艺术生必备·数学 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函 数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标 轴的交点、最高点、最低点等)排除不符 合要求的选项. 2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为 相应的函数图象问题,利用数形结合法 求解. [针对训练] 2.(2025·安徽亳州二模)在同一个平面直角 坐标系中,函数f(x)=1ax 与g(x)=lgax 的 图象可能是 ( ) 对数函数的性质及其应用 角度一 比较对数值的大小 (2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b=4. 20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【解析】 由函数y=4.2x 单调递增可知,0 <a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c, 选B. 【答案】 B 比较对数值的大小的方法 角度二 解简单的对数不等式或方程 (一题多解)已知函数f(x)=logax(a>0 且a≠1)满足f 2a <f 3a ,则f2x-1 >0 的解集为 ( ) A.(0,1) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) 【解析】 解法一:因为函数f(x)=logax(a >0且a≠1)在(0,+∞)上为单调函数,而 2 a< 3 a 且f 2a <f 3a ,所以f(x)=logax 在(0,+∞)上单调递增,结合对数函数的图 象与性质可得f(2x-1)>0⇒2x-1>1,所 以x>1.故选C. 解法二:由f 2a <f 3a 知loga2a<loga3a, 所以loga2-1<loga3-1, 所以loga2<loga3,所以a>1. 由f(2x-1)>0得loga(2x-1)>0, 所以2x-1>1,即x>1.故选C. 【答案】 C 解对数不等式的函数方法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y= logax 的单调性求解,如果a 的取值不确 定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式,需先将b化 为以a 为底的对数式的形式. 角度三 对数型函数的综合问题 已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值. 【解】 (1)因为f(1)=1,所以log4(a+5) =1,因此a+5=4,即a=-1, 所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0得-1<x<3, 即函数f(x)的定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3. 则g(x)在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上 单调递减. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 第三章 函数及其应用 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调 递减区间是[1,3). (2)若f(x)的最小值为0, 则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1, 因此应有 a>0, 3a-1 a =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=12. 故实数a的值为12. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a ∈(1,+∞). (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什 么性质或利用函数的某个性质,都要在其 定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等 价性. [针对训练] 3.若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范 围是 ( ) A.(0,1) B.0,12 C.12 ,1 D.(0,1)∪(1,+∞) 4.(多选)已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x), 则 ( ) A.f(x)在(2,6)上单调递减 B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2 C.f(x)在(2,6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 5.已知函数f(x)=loga(ax2-x). (1)若a=12 ,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实 数a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第七节 函数的图象 1.利用描点法作函数的图象的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)化简函数的解析式. (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、最值等). (4)描点连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换: y=f(x) a>0,右移a个单位 a<0,左移|a|个单位→y= ; y=f(x) b>0,上移b个单位 b<0,下移|b|个单位→y= . (2)伸缩变换: y=f(x) 0<ω<1,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的1ω ω>1,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1ω →y = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 名师大课堂 艺术生必备·数学 f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,则y=x+a也应为奇 函数,所以a=0,故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,f(-1)= (a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13=- (a+1)ln3,所以(a -1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 3.答案:1 -13 解析:因 为 f(x+2)= - 1f(x) ,所 以 f(x+4)= - 1f(x+2)=f (x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2) =- 1f(2)=- 1 2×2-1=- 1 3. 4.B 由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区 间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.故 选B. 第四节 幂函数与二次函数 基础知识必备 2. -∞,-b2a -b2a,+∞ -∞,-b2a -b2a ,+∞ b=0 -b2a,4ac-b 2 4a 考点知能突破 针对训练 1.AD 因为幂函数y=xα 的图象过点(2,8),所以2α=8, 解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A 选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说 法错误;函数y=x3 在 R上递增,所以C选项中说法错 误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A 因为二次函数f(x)=ax2+bx+5的图象的对称轴 是直线x=1,所以-b2a=1 ①. 又f(-1)=a-b+5= 11,所以a-b=6 ②.联立①②,解得a=2,b=-4,所以 a+b=-2,故选A. 3.D 当a=0时,f(x)为减函数,不符合题意;当a≠0时,函 数f(x)=ax2-2x+3的图象的对称轴为x=1a ,要使 f(x)在区间[1,3]上为增函数,则 a<0, 1 a≥3 或 a>0, 1 a≤1 , 解得 a≥1.故选D. 第五节 指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1) n am 1n am 没有意义 (2)①ar+s ②ars ③arbr 3.(2)上方 (0,+∞) 单调递增 单调递减 y=1 0< y<1 y>1 y>1 0<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)原式=1+14× 4 9 1 2 - 1100 1 2 =1+14× 2 3- 1 10=1+ 1 6- 1 10= 16 15. (2)原式= (a3b2a 1 3b 2 3) 1 2 ab2a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3=ab . 2.D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在 定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以b<0. 故选D. 3.C 设t=x2+2x-1,则y= 12 t .因为0<12<1 ,所以 y= 12 t 为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2, 所以0<y= 12 t ≤ 12 -2 =4,故所求函数的值域为 (0,4].故选C. 4.C 因为x>0时,1<bx,所以b>1.因为x>0时,bx< ax,所以x>0时,ab x >1,所以ab >1 ,所以a>b.所以 1<b<a.故选C. 5.答案:{x|x>4或x<0} 解析:因为f(x)为偶函数, 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4. 所以f(x)= 2x-4,x≥0, 2-x-4,x<0. 当f(x-2)>0时,有 x-2≥0, 2x-2-4>0 或 x-2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.logaN 2.(1)①N (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN 3.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案:0 解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 2.A 由题意,a>0且a≠1,所以函数g(x)=lgax 单调递 减,故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)=1ax 的图象可知0<a<1,对于函 数g(x)=lgax ,g(1)=lga<0,故A正确,C错误. 3.C 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,所以a> 1 2. 故 a的取值范围是 12 ,1 .故选C. 4.BCD f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由 x-2>0, 6-x>0 得函数的定义域为(2,6).令t=(x-2)· (6-x),因为二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12 在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,且当x=4时, t=4,所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上 单 调 递 增,所 以 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在(2,4)上单调递增,在[4,6)上单调递减,故A错 误.因为t∈(0,4],所以y=lnt∈(-∞,2ln2],即f(x)∈ (-∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值,故B、C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6 -4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x- 2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) =f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D 正确.故选BCD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —303— 5.解:(1)当a=12 时,f(x)=log12( 1 2x 2-x),由12x 2-x> 0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 利 用 复 合 函 数 单 调 性 可 得 函 数 f(x)的 增 区 间 为 (-∞,0),减区间为(2,+∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称 轴为x=12a. ①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数,则g(x)=ax2-x 在[2,4]上单调递减,且g(x)min> 0,即 1 2a≥4 , g(4)=16a-4>0, 此不等式组无解. ②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min>0, 即 1 2a≤2 , g(2)=4a-2>0, 解得a>12. 又a>1,所以a>1. 综上,实数a的取值范围为[1,+∞). 第七节 函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a) f(x)+b (2)f(ωx) Af(x) (3)-f(x) f(-x) -f(-x) (4)f(|x|) |f(x)| 考点知能突破 针对训练 1.D 先画出函数f(x)= x2,x≥0, 1 x ,x<0 的图象,如图(1)所示, 再根据函数f(x)与-f(-x)的图象关于坐标原点对称, 即可画出函数-f(-x)的图象,即g(x)的图象,如图(2) 所示.故选D. 2.ABD 根据函数f(x)=2-x2 与 g(x)=x2,画出函数F(x)=min {f(x),g(x)}的图象,如图.由图 象可知,函数F(x)=min{f(x), g(x)}的图象关于y 轴对称,所以 A项正确;函数F(x)的图象与x 轴有三个交点,所以方程F(x)=0有三个不同的实根,所 以B项正确;函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(- 1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单 调递减,所以C项错误,D项正确。 3.B 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直 线g(x)=kx与直线AB 平行时斜率为1,当直线g(x)=kx 过A点时斜率为12 ,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时, k的范围为 12 ,1 .故选B. 4.答案:(-3,0)∪(0,3) 解析:函 数 f(x)的 图 象 大 致 如 图 所示. 因为f(x)为奇函数,且x·[f(x)- f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知,不等式的解集为(-3,0) ∪(0,3). 第八节 函数的应用 第一课时 函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0 (2)x轴 零点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=0 考点知能突破 针对训练 1.D 因为f(x)=3x-x2,所以f(-1)=3-1-1=-23< 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C 当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x≤1 时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1.故选C. 3.C 由题意,知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数一 个零点在区间(1,2)内, 所以 f (1)<0, f(2)>0, 即 -a<0,4-1-a>0, 解得0<a<3, 故选C. 4.答案:(0,1) 解 析:画 出 函 数 f (x)= 2x-1,x>0, -x2-2x,x≤0 的 图 象,如 图 所示. 由于函数g(x)=f(x)-m 有3个 零点,结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案:-14 ,2 解析:因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点, 所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x -2x 在[-1,1]上有解. 方程a=4x-2x 可变形为a= 2x-12 2 -14 , 因为x∈[-1,1],所以2x∈ 12 ,2 ,所以 2x-12 2 - 1 4∈ - 1 4 ,2 . 所以实数a的取值范围是 -14 ,2 . 第二课时 函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y轴 x轴 考点知能突破 针对训练 1.D 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5 千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最 高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最 少,故选项B错;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —403—