第3章 第4节 幂函数与二次函数-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第四节 幂函数与二次函数 1.幂函数的图象与性质 (1)常见的5种幂函数的图象 (2)性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义. ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和 (0,0),且在(0,+∞)上单调递增. ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1), 且在(0,+∞)上单调递减. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内, 一定不会出现在第四象限内. 学习笔记: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx +c(a>0) f(x)=ax2+bx +c(a<0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 4ac-b 2 4a ,+∞􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 -∞,4ac-b24a 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 单调性 在 上 单调递减; 在 上单 调递增 在 上 单调递增; 在 上 单调递减 奇偶性 当 时为偶函数,当b≠0 时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x=-b2a 成轴对称 图形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 幂函数的图象与性质 (1)已知点 33,3 在幂函数f(x)的图 象上,则f(x)是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 (2)已知a=3 4 5,b=4 2 5,c=12 1 5,则a,b,c的 大小关系为 ( ) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b (3)若幂函数y=x-1,y=xm 与y=xn 在第 一象限内的图象如图所示,则 m 与n 的取 值情况为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 第三章 函数及其应用 A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m C.-1<m<0<n D.-1<n<0<m<1 【解析】 (1)设f(x)=xα,由已知得 33 α = 3,解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该 函数为奇函数.故选A. (2)因为a=81 1 5,b=16 1 5,c=12 1 5,由幂函数 y=x 1 5在(0,+∞)上为增函数,知a>b>c, 故选C. (3)幂函数y=xα,当α>0时,y=xα 在(0, +∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上 凸,所以0<m<1;当α<0时,y=xα 在 (0,+∞)上为减函数,不妨令x=2,根据图 象可得2-1<2n,所以-1<n<0,综上所述, 故选D. 【答案】 (1)A (2)C (3)D 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只 有一个参数α,因此只需一个条件即可确 定其解析式. (2)若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α 必为偶数.当α是分数时,一般将其先化为 根式再判断. (3)若幂函数y=xα 在(0,+∞)上单调递增, 则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. [提醒] 在比较幂值的大小时,必须结合 幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调 性进行比较. [针对训练] 1.(多选)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过 点(2,8),下列说法正确的是 ( ) A.函数y=xα 的图象过原点 B.函数y=xα 是偶函数 C.函数y=xα 是单调减函数 D.函数y=xα 的值域为R 二次函数的图象与解析式 (一题多解)已知二次函数f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值 是8,试确定此二次函数的解析式. 【解】 解法一(利用一般式): 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, 4ac-b2 4a =8 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-4, b=4, c=7. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以所求二次函数的解析式 为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二(利用顶点式): 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2) =f(-1)=-1,所 以 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2+ (-1) 2 = 1 2 ,所以m=12. 又根据题意 函数有最大值8.所以n=8, 所以f(x)=ax-12 2 +8. 因为f(2)=-1, 所以a2-12 2 +8=-1,解得a=-4, 所以f(x)=-4x-12 2 +8=-4x2+4x+7. 法三(利用零点式): 由已 知 得 f(x)+1=0的 两 根 为 x1= 2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8, 即4a(-2a-1)-a 2 4a =8. 解得a=-4或a=0(舍去), 所以所求函数的解析式为f(x)=-4x2+ 4x+7. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 名师大课堂 艺术生必备·数学 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数的解析式,一 般用待定系数法,但所给条件不同选取的 求解方法也不同,选择规律如下: [针对训练] 2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+5的图象 过点P(-1,11),且其对称轴是直线x=1, 则a+b的值是 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 二次函数的性质及其应用 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数的实数a的取值范围; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 【解】 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象 的对称轴为直线x=-2a2=-a , 要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需 -a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. 故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 = x2+2x+3=(x+1)2+2,-4≤x≤0, x2-2x+3=(x-1)2+2,0<x≤6, 画出f(|x|)的图象(图略). 所以f(|x|)的单凋递减区间是[-4,-1) 和(0,1),单调递增区间是[-1,0]和[1,6]. 1.二次函数单调性问题的求解策略 (1)对于二次函数的单调性,关键是开口 方向与对称轴的位置,若开口方向或对 称轴的位置不确定,则需要分类讨论 求解. (2)利用二次函数的单调性比较大小,一 定要将待比较的两数通过二次函数的对 称性转化到同一单调区间上比较. 2.求二次函数在闭区间上最值的三种类型 及策略 (1)类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定 区间动. (2)策略:不论哪种类型,解题的关键都是 对称轴与区间的位置关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的位置关系进行分类 讨论. [针对训练] 3.函数f(x)=ax2-2x+3在区间[1,3]上为 增函数的充要条件是 ( ) A.a=0 B.a<0 C.0<a≤13 D.a≥1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 第三章 函数及其应用 f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,则y=x+a也应为奇 函数,所以a=0,故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,f(-1)= (a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13=- (a+1)ln3,所以(a -1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 3.答案:1 -13 解析:因 为 f(x+2)= - 1f(x) ,所 以 f(x+4)= - 1f(x+2)=f (x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2) =- 1f(2)=- 1 2×2-1=- 1 3. 4.B 由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区 间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.故 选B. 第四节 幂函数与二次函数 基础知识必备 2. -∞,-b2a -b2a,+∞ -∞,-b2a -b2a ,+∞ b=0 -b2a,4ac-b 2 4a 考点知能突破 针对训练 1.AD 因为幂函数y=xα 的图象过点(2,8),所以2α=8, 解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A 选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说 法错误;函数y=x3 在 R上递增,所以C选项中说法错 误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A 因为二次函数f(x)=ax2+bx+5的图象的对称轴 是直线x=1,所以-b2a=1 ①. 又f(-1)=a-b+5= 11,所以a-b=6 ②.联立①②,解得a=2,b=-4,所以 a+b=-2,故选A. 3.D 当a=0时,f(x)为减函数,不符合题意;当a≠0时,函 数f(x)=ax2-2x+3的图象的对称轴为x=1a ,要使 f(x)在区间[1,3]上为增函数,则 a<0, 1 a≥3 或 a>0, 1 a≤1 , 解得 a≥1.故选D. 第五节 指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1) n am 1n am 没有意义 (2)①ar+s ②ars ③arbr 3.(2)上方 (0,+∞) 单调递增 单调递减 y=1 0< y<1 y>1 y>1 0<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)原式=1+14× 4 9 1 2 - 1100 1 2 =1+14× 2 3- 1 10=1+ 1 6- 1 10= 16 15. (2)原式= (a3b2a 1 3b 2 3) 1 2 ab2a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3=ab . 2.D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在 定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以b<0. 故选D. 3.C 设t=x2+2x-1,则y= 12 t .因为0<12<1 ,所以 y= 12 t 为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2, 所以0<y= 12 t ≤ 12 -2 =4,故所求函数的值域为 (0,4].故选C. 4.C 因为x>0时,1<bx,所以b>1.因为x>0时,bx< ax,所以x>0时,ab x >1,所以ab >1 ,所以a>b.所以 1<b<a.故选C. 5.答案:{x|x>4或x<0} 解析:因为f(x)为偶函数, 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4. 所以f(x)= 2x-4,x≥0, 2-x-4,x<0. 当f(x-2)>0时,有 x-2≥0, 2x-2-4>0 或 x-2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.logaN 2.(1)①N (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN 3.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案:0 解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 2.A 由题意,a>0且a≠1,所以函数g(x)=lgax 单调递 减,故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)=1ax 的图象可知0<a<1,对于函 数g(x)=lgax ,g(1)=lga<0,故A正确,C错误. 3.C 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,所以a> 1 2. 故 a的取值范围是 12 ,1 .故选C. 4.BCD f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由 x-2>0, 6-x>0 得函数的定义域为(2,6).令t=(x-2)· (6-x),因为二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12 在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,且当x=4时, t=4,所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上 单 调 递 增,所 以 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在(2,4)上单调递增,在[4,6)上单调递减,故A错 误.因为t∈(0,4],所以y=lnt∈(-∞,2ln2],即f(x)∈ (-∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值,故B、C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6 -4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x- 2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) =f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D 正确.故选BCD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —303—