第3章 第3节 函数的奇偶性，对称性与周期-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的 定义域内任意一个x, 都有 ,那么函 数f(x)是偶函数 关 于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的 定义域内任意一个x, 都有 ,那么函 数f(x)是奇函数 关 于 对称 奇、偶函数定义域的特点是关于原点 对称,函数的定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的必要不充分条件. 2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在 一个非零常数T,使得当x取定义域内的任 何值时,都有 ,那么就称函数y= f(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有 周期中存在一个 的正数,那么这个 正数就叫做f(x)的最小正周期. 不是所有的周期函数都有最小正周 期,如f(x)=5. 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x) =f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相 同的单调性,偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶 ±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若 f(x+a)= -f(x),则 T= 2a(a>0). (2)若f(x+a)= 1f(x) ,则T=2a(a>0). (3)若 f(x+a)= - 1f(x) ,则 T= 2a(a>0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数的奇偶性 角度一 判断函数的奇偶性 (2024·天津卷)下列函数是偶函数的 是 ( ) A.f(x)=e x-x2 x2+1 B.f(x)=cosx+x 2 x2+1 C.f(x)=e x-x x+1 D.f(x)=sinx+4xe|x| 【解析】 对于A,f(-x)=e -x-(-x)2 (-x)2+1 = e-x-x2 x2+1 ≠f(x),故f(x)不是偶函数;对于 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19 第三章 函数及其应用 B,f(-x)=cos (-x)+(-x)2 (-x)2+1 =cosx+x 2 x2+1 =f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的 定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x) 不 是 偶 函 数;对 于 D,f (- x)= sin(-x)+4(-x) e|-x| =-sinx-4x e|x| =-sinx+4x e|x| =-f(x),故f(x)是奇函数.故选B. 【答案】 B 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2, 那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇, 奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇; ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇, 一偶则偶”. [提醒] 对函数奇偶性的判断,不能用特 殊值法,如存在x0 使f(-x0)=-f(x0), 不能判断函数f(x)是奇函数. 角度二 函数奇偶性的应用 (1)(多选)设函数f(x)=e x-e-x 2 ,则 下列结论正确的是 ( ) A.|f(x)|是偶函数 B.-f(x)是奇函数 C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数 (2)(2025·贵州贵阳检测)若函数f(x)是 定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= log2(x+2)-1,则f(-6)= ( ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 (3)(一题多解)已知函数f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数 f(x)的最大值为 . 【解析】 (1)因为f(x)=e x-e-x 2 ,则f(-x) =e -x-ex 2 =-f (x).所以f(x)是奇函数, -f(x)是奇函数,因为f(|-x|)=f(|x|),所 以f(|x|)是偶函数,f(x)|f(x)|是奇函数,所 以f(|x|)f(x)是奇函数.故选ABC. (2)根 据 题 意 得f(-6)=-f(6)=1- log2(6+2)=1-3=-2.故选C. (3)解法一:当 x<0时,-x>0,所 以 f(-x)=x2+x. 又因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)= -f(-x)=-x2-x=- x+12 2 +14 , 所以当x<0时,函数f(x)的最大值为14. 解法 二:当 x>0 时,f(x)=x2 -x= x-12 2 -14 ,最 小 值 为 -14. 因 为 函 数 f(x)为奇函数,所以当x<0时,函数f(x) 的最大值为1 4. 【答案】 (1)ABC (2)C (3)14 已知函数奇偶性可以解决的3个问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为 已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化 到已知区间上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求 解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数 的恒等式,由系数的对等性得参数的方程 或方程(组),进而得出参数的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 20 名师大课堂 艺术生必备·数学 [针对训练] 1.(多选)下列函数是偶函数的是 ( ) A.f(x)=x2-cosx B.f(x)=3x-13x C.f(x)=x2+tanx D.f(x)=x·ln(x2+1-x) 2.(2023·新课标Ⅱ卷,5分)若f(x)=(x+ a)ln2x-12x+1 为偶函数,则a= ( ) A.-1 B.0 C.12 D.1 函数的周期性及其应用 (2025·全国一卷)已知f(x)是定义在 R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x)=5-2x,则f -34 = ( ) A.-12 B.- 1 4 C.14 D. 1 2 【解析】 通解:当x∈[-1,0]时,-x+2∈ [2,3],所以当x∈[-1,0]时,f(x)=f(-x)= f(-x+2)=5-2(-x+2)=1+2x,所以 f -34 =1-32=-12.故选A. 光速解:f -34 =f 34 =f 34+2 =5-2 × 34+2 =-12. 【答案】 A 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性时证明f(x+T)= f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且 周期为T,函数的周期性常与函数的其他 性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的 性质得到函数的整体性质,在解决具体问 题时,要注意结论:若T 是函数的周期,则 kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. [针对训练] 3.已知定义在R上的函数满足f(x+2)= - 1f(x) ,当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1.则 f(17)= ,f(20)= . 函数性质的综合应用 角度一 单调性与奇偶性的综合问题 已知定义域为(-1,1)的奇函数f(x) 是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(2 2,3) B.(3,10) C.(2 2,4) D.(-2,3) 【解析】 由f(a-3)+f(9-a2)<0得 f(a-3)<-f(9-a2).又由奇函数性质得 f(a-3)<f(a2-9).因为f(x)是定义域为 (-1,1)的减函数,所以 -1<a-3<1, -1<a2-9<1, a-3>a2-9, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解 得2 2<a<3.故选A. 【答案】 A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 第三章 函数及其应用 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇 函数在关于原点对称的两个区间上具有相 同的单调性,偶函数在关于原点对称的两 个区间上具有相反的单调性. (2)解决不等式问题时一定要充分利用已 知的条件,把已知不等式转化成f(x1)> f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根据函 数的奇偶性与单调性,列出不等式(组),要 注意函数定义域对参数的影响. 角度二 周期性与奇偶性的综合问题 (2025·武昌区调研考试)(一题多解) 已知f(x)是定义域为 R的奇函数,且函数 y=f(x-1)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)= x3,则f 52 = . 【解析】 解法一:因为f(x)是 R上的奇函 数,y=f(x-1)为偶函数,所以f(x-1)= f(-x-1)=-f(x+1),所以f(x+2)= -f(x),f(x+4)=f(x),即f(x)的周期 T=4.因为0≤x≤1时,f(x)=x3,所 以 f 52 =f 52-4 =f -32 =-f 32 = -f1+12 =f -12 =-f 12 =-18. 解法二:因为f(x)是R上的奇函数,y=f(x- 1)为偶函数,所以f(x-1)=f(-x-1)= -f(x+1),所以f(x+2)=-f(x). 由题意知,当-1≤x<0时,f(x)=x3,故当 -1≤x≤1时,f(x)=x3.当1<x≤3时, -1<x-2≤1,f(x)=-(x-2)3, 所以f 52 =- 52-2 3 =-18. 【答案】 -18 函数性质综合应用的注意点 (1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单 调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象 的对称性. (2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查 求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变 换,将所求函数值的自变量转化到已知解 析式的函数定义域内求解。 (3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此 类问题通常先利用周期性转化到自变量所 在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. [针对训练] 4.函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数,且 f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是 减函数,则f(x) ( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间 [3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间 [3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间 [3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间 [3,4]上是减函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 名师大课堂 艺术生必备·数学 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {x|x>x2或x<x1} x x≠- b 2a R {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 考点知能突破 针对训练 1.答案:-∞,43 ∪(5,+∞) 解析:将原不等式移项通分得3x-4 x-5≥0 , 等价于 (3x-4)(x-5)≥0, x-5≠0, 解得x>5或x≤43. 所以原不等式的解集为 x x≤43 或x>5 . 2.答案: 13 ,+∞ 解析:要 使y= mx2-(1-m)x+m有 意 义,即 mx2- (1-m)x+m≥0对∀x∈R恒成立, 则 m>0, (1-m)2-4m2≤0, 解得m≥13. 第三章 函数及其应用 第一节 函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集 任意一个数x 唯一确定 A→B y=f(x) 取值范围A 3.解析法 4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1.B 要使函数有意义,则 x-1>0, 2x-x2>0, 解得1<x<2.所以 函数f(x)= 3x x-1 +ln(2x-x2)的定义域为(1,2).故 选B. 2.A 令t=1-x1+x ,得x=1-t1+t , 所以f(t)= 1- 1-t1+t 2 1+ 1-t1+t 2= 2t 1+t2 ,所以f(x)= 2x1+x2 ,故 选A. 3.D 当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解 得a>2.当a<0时,不 等 式a[f(a)- f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述, a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 4.答案:8 解析:由题意得a>0. 当0<a<1时,由f(a)=f(a-1),得2a= a, 解得a=14 ,则f 1a =f(4)=8; 当a≥1时,由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 第二节 函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 2.单调递增 单调递减 区间D 3.f(x)≤M f(x)≥m f(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下: 任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=ax22+ 1 x2 -ax21- 1 x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 1 x1x2 , 由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2 <4,-1<- 1x1x2 <-14. 因为1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12, 得a(x1+x2)- 1 x1x2 >0, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 2.答案:(1)C (2)0;22-3 解析:(1)因为f(x)=2x 2+3 1+x2 =2 (x2+1)+1 1+x2 =2+ 1 1+x2 , 且x2+1≥1⇒0< 1 1+x2 ≤1⇒2<2+ 1 1+x2 ≤3, 所以f(x)的值域为(2,3],故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(-3)]=f(1)=0. 当x≥1时,f(x)=x+2x-3≥2 2-3 , 当且仅当x=2时,取等号,此时f(x)min=22-3<0; 当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时,取等号,此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2 2-3. 3.D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数, 满足f(2x-1)<f 13 ,所以0≤2x-1<13,解得12≤ x<23. 故选D. 4.B 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)= f(4-x),所以f 52 =f 32 ,f 72 =f 12 .又0< 1 2<1< 3 2<2 ,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f 12 < f(1)<f 32 ,即f 72 <f(1)<f 52 .故选B. 5.答案:-6 解析:由图象(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的单调递 增区间是 -a2 ,+∞ ,令-a2=3,得a=-6. 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)最小 最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B 通解:设g(x)=ln2x-12x+1 ,易知g(x)的定义域 为 -∞,-12 ∪ 12,+∞ ,且g(-x)=ln-2x-1-2x+1= ln2x+12x-1=-ln 2x-1 2x+1=-g (x),所以g(x)为奇函数.若 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —203— f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,则y=x+a也应为奇 函数,所以a=0,故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数,f(-1)= (a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13=- (a+1)ln3,所以(a -1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0,故选B. 3.答案:1 -13 解析:因 为 f(x+2)= - 1f(x) ,所 以 f(x+4)= - 1f(x+2)=f (x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2) =- 1f(2)=- 1 2×2-1=- 1 3. 4.B 由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区 间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.故 选B. 第四节 幂函数与二次函数 基础知识必备 2. -∞,-b2a -b2a,+∞ -∞,-b2a -b2a ,+∞ b=0 -b2a,4ac-b 2 4a 考点知能突破 针对训练 1.AD 因为幂函数y=xα 的图象过点(2,8),所以2α=8, 解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象过原点,所以A 选项中说法正确;函数y=x3是奇函数,所以B选项中说 法错误;函数y=x3 在 R上递增,所以C选项中说法错 误;函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A 因为二次函数f(x)=ax2+bx+5的图象的对称轴 是直线x=1,所以-b2a=1 ①. 又f(-1)=a-b+5= 11,所以a-b=6 ②.联立①②,解得a=2,b=-4,所以 a+b=-2,故选A. 3.D 当a=0时,f(x)为减函数,不符合题意;当a≠0时,函 数f(x)=ax2-2x+3的图象的对称轴为x=1a ,要使 f(x)在区间[1,3]上为增函数,则 a<0, 1 a≥3 或 a>0, 1 a≤1 , 解得 a≥1.故选D. 第五节 指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1) n am 1n am 没有意义 (2)①ar+s ②ars ③arbr 3.(2)上方 (0,+∞) 单调递增 单调递减 y=1 0< y<1 y>1 y>1 0<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解:(1)原式=1+14× 4 9 1 2 - 1100 1 2 =1+14× 2 3- 1 10=1+ 1 6- 1 10= 16 15. (2)原式= (a3b2a 1 3b 2 3) 1 2 ab2a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3=ab . 2.D 由f(x)=ax-b的图象可以观察出函数f(x)=ax-b在 定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以b<0. 故选D. 3.C 设t=x2+2x-1,则y= 12 t .因为0<12<1 ,所以 y= 12 t 为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2, 所以0<y= 12 t ≤ 12 -2 =4,故所求函数的值域为 (0,4].故选C. 4.C 因为x>0时,1<bx,所以b>1.因为x>0时,bx< ax,所以x>0时,ab x >1,所以ab >1 ,所以a>b.所以 1<b<a.故选C. 5.答案:{x|x>4或x<0} 解析:因为f(x)为偶函数, 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=2-x-4. 所以f(x)= 2x-4,x≥0, 2-x-4,x<0. 当f(x-2)>0时,有 x-2≥0, 2x-2-4>0 或 x-2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}. 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.logaN 2.(1)①N (3)①logaM+logaN ②logaM-logaN 3.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案:0 解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 2.A 由题意,a>0且a≠1,所以函数g(x)=lgax 单调递 减,故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)=1ax 的图象可知0<a<1,对于函 数g(x)=lgax ,g(1)=lga<0,故A正确,C错误. 3.C 由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1)<loga2a<0,所以0<a<1,且2a>1,所以a> 1 2. 故 a的取值范围是 12 ,1 .故选C. 4.BCD f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由 x-2>0, 6-x>0 得函数的定义域为(2,6).令t=(x-2)· (6-x),因为二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12 在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,且当x=4时, t=4,所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上 单 调 递 增,所 以 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 得 f(x)在(2,4)上单调递增,在[4,6)上单调递减,故A错 误.因为t∈(0,4],所以y=lnt∈(-∞,2ln2],即f(x)∈ (-∞,2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值,故B、C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6 -4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x- 2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) =f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D 正确.故选BCD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —303—