第3章 第1节 函数的概念及其表示-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第一节 函数的概念及其表示 1.函数的有关概念 函数的 定义 设A,B 是非空的 ,如果 对于集合A 中 ,按照某 种确定的对应关系f,在集合 B 中都有 的数y 和它对 应,那么就称f: 为从集 合A 到集合B 的一个函数 函数的 记法 ,x∈A 定义域 x叫做自变量,x的 叫做 函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的值域 2.同一个函数的概念 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也 相同,那么这两个函数是同一个函数. 判断两个函数是否相同,要抓住以下 两点:①定义域是否相同;②对应关系是否 相同,当解析式可以化简时,要注意化简过 程的等价性. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 列表法. 4.分段函数 在函数的定义域中,对于自变量x的不同取 值范围,有着不同的 ,这样的函数 通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分 组成,但它表示的是一个函数. 一个分段函数的解析式要把每一段都写在 同一个大括号内,各段函数的定义区间端 点应不重不漏. 1.常见的函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等 于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y= cosx的定义域均为R. (5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域 为{|x|x>0}. (6)y=tanx的定义域为 xx∈R且x≠kπ+π2 ,k∈Z . (7)函数f(x)=x0 的定义域为{x|x∈ R,且x≠0}. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0 时,值域为 4ac-b 2 4a ,+∞ ,当a<0时, 值域为 -∞,4ac-b 2 4a 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 . (3)y=kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0, +∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 求函数的定义域 (1)(2025·安徽宣城八校联考)函数 y= -x 2+2x+3 lg(x+1) 的定义域为 ( ) A.(-1,3] B.(-1,0)∪(0,3] C.[-1,3] D.[-1,0)∪(0,3] (2)(2025·华南师范大学附属中学月考)已 知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数 g(x)=f (2x-1) ln(1-x) 的定义域是 ( ) A.[0,1]B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1] 【解析】 (1)要 使 函 数 有 意 义,x 需 满 足 -x2+2x+3≥0, x+1>0, x+1≠1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-1<x<0或0< x≤3,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3]. 故选B. (2)由函数f(x)的定义域为[-1,1],得-1 ≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1; 又由1-x>0且1-x≠1,解得x<1且 x≠0.所以函数g(x)的定义域为(0,1),故 选B. 【答案】 (1)B (2)B 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域,其实质 就是以函数解析式中所含式子(运算)有 意义为准则,列出不等式或不等式组求 解.对于实际问题,定义域应使实际问题 有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b], 则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等 式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a, b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a, b]上的值域. [针对训练] 1.函数f(x)= 3x x-1 +ln(2x-x2)的定义域 为 ( ) A.(2,+∞) B.(1,2) C.(0,2) D.[1,2] 函数的解析式 (1)已知f 2x+1 =lgx,则f(x)的解 析式为 . (2)若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)- f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为 . (3)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)= 2x,则f(x)的解析式为 . 【解析】 (1)(换元法)令2x+1=t , 得x= 2t-1 ,因为x>0,所以t>1, 所以f(t)=lg 2t-1 , 即f(x)的解析式是f(x)=lg 2x-1 (x>1). (2)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c(a ≠0), 又f(0)=c=3,所以f(x)=ax2+bx+3. 所以f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2) +3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2, 所以 4a=4, 4a+2b=2, 解得 a=1,b=-1. 所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+3. (3)(解方程组法)因为2f(x)+f(-x)= 2x,① 将x换成-x得2f(-x)+f(x)=-2x,② 由①②消去f(-x),得3f(x)=6x, 所以f(x)=2x. 【答案】 (1)f(x)=lg 2x-1 (x>1) (2)f(x)=x2-x+3 (3)f(x)=2x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 第三章 函数及其应用 求函数解析式的常用方法 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x), 可将F(x)改写成关于g(x)的 表达式,然后以x 替代g(x), 便得f(x)的表达式 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函 数、二 次 函 数),可 用 待 定 系 数法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析 式,可用换元法,此时要注意新 元的取值范围 解方程 组法 已知 关 于 f(x)与 f 1x 或 f(-x)等的表达式,可根据已知 条件再构造出另外一个等式组 成方 程 组,通 过 解 方 程 组 求 出f(x) [针对训练] 2.(2025·广东濠江金山中学高三月考)已知 f1-x1+x =1-x 2 1+x2 ,则f(x)= ( ) A.2x 1+x2 B.- 2x 1+x2 C. x 1+x2 D.- x 1+x2 分段函数及其应用 角度一 分段函数求值 已 知 函 数 f(x)= log2x,x>0, 3x,x≤0, 则 ff 14 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 的值是 ( ) A.9 B.-9 C.19 D.- 1 9 【解析】 因为14>0 ,所以f 14 =log214= -2,又因为-2<0,所以ff 14 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =f(-2) =3-2=19. 【答案】 C 角度二 根据分段函数求参数的值 已知f(x)= 2x-2,x≥0, -x2+3,x<0, 若f(a) =2,则a的取值为 ( ) A.-1或2 B.±1或2 C.-1 D.2 【解析】 因为f(a)=2,所以当a≥0时,2a -2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2, 解得a=-1.综上,a的取值为-1或2.故 选A. 【答案】 A 角度三 根据分段函数解不等式 (2025·甘肃武威第六中学高三模拟) 设函数f(x)= log2(x+1),x≥0, -x,x<0, 则满足 f(x+1)<2的x的取值范围是 ( ) A.(-4,3) B.(-5,2) C.(-3,4) D.(-∞,-3)∪(4,+∞) 【解析】 因为f(x)= log2(x+1),x≥0, -x,x<0, 所以f(x+1)= log2(x+2),x≥-1, -(x+1),x<-1. 当x≥-1时,f(x+1)<2即log2(x+2)< 2,解得x<2,所以-1≤x<2;当x<-1 时,f(x+1)<2即 -(x+1)<2,解得x> -5,所以-5<x<-1.综上,当f(x+1)< 2时,x的取值范围是(-5,2).故选B. 【答案】 B 1.分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值:当出现f[f(a)]的形式 时,应从内到外依次求值; (2)求自变量的值:先假设所求的值在分 段函数定义区间的各段上,然后求出相 应自变量的值,切记要代入检验. 2.分段函数与方程、不等式问题的求解 思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解, 最后将讨论结果综合起来. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 名师大课堂 艺术生必备·数学 [针对训练] 3.已知函数f(x)= x2+x,x≥0, -3x,x<0, 若a[f(a)- f(-a)]>0,则实数a的取值范围为 ( ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 4.(2025·安徽安庆二模)已知函数f(x)= x+1,-1<x<0, 2x,x≥0. 若实数a满足f(a)= f(a-1),则f 1a = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 函数的单调性与最值 1.增函数、减函数 增函数 减函数 定 义 设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I: 如果∀x1,x2∈D 当x1<x2 时,都有 ,那么就 称函数f(x)在区 间D 上单调递增 当x1<x2时,都有 ,那么就 称函数f(x)在区 间D上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象 是 的 增函数与减函数形式的等价变形 (1)∀x1,x2∈D 且x1≠x2,则(x1-x2). [f(x1)-f(x2)]>0⇔ f(x1)-f(x2) x1-x2 >0 ⇔f(x)在D 上单调递增; (2)∀x1,x2∈D 且x1≠x2,则(x1-x2) [f(x1)-f(x2)]<0⇔ f(x1)-f(x2) x1-x2 <0 ⇔f(x)在D 上单调递减. 2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间 D 上 或 ,则称函数y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性, 叫做y= f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈ I,都有 ; (2)存 在 x0∈I, 使得f(x0)=M (3)对于任意x∈ I,都有 ; (4)存在x0∈I,使 得 结论 M 为最大值 m 为最小值 1.复合函数的单调性 函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f[φ (x)]的定义域上,如果y=f(u)与u= φ(x)的单调性相同,那么y=f[φ(x)] 单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的 单调 性 相 反,那 么y=f(φ(x))单 调 递减. 2.函数单调性的常用结论 (1)若f(x)、g(x)均为区间 A 上的增 (减)函数,则f(x)+g(x)也是区间 A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相 同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性 相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x), y= 1f(x) 在公共定义域内的单调性相反. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 第三章 函数及其应用 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {x|x>x2或x<x1} x x≠- b 2a R {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 考点知能突破 针对训练 1.答案:-∞,43 ∪(5,+∞) 解析:将原不等式移项通分得3x-4 x-5≥0 , 等价于 (3x-4)(x-5)≥0, x-5≠0, 解得x>5或x≤43. 所以原不等式的解集为 x x≤43 或x>5 . 2.答案: 13 ,+∞ 解析:要 使y= mx2-(1-m)x+m有 意 义,即 mx2- (1-m)x+m≥0对∀x∈R恒成立, 则 m>0, (1-m)2-4m2≤0, 解得m≥13. 第三章 函数及其应用 第一节 函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集 任意一个数x 唯一确定 A→B y=f(x) 取值范围A 3.解析法 4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1.B 要使函数有意义,则 x-1>0, 2x-x2>0, 解得1<x<2.所以 函数f(x)= 3x x-1 +ln(2x-x2)的定义域为(1,2).故 选B. 2.A 令t=1-x1+x ,得x=1-t1+t , 所以f(t)= 1- 1-t1+t 2 1+ 1-t1+t 2= 2t 1+t2 ,所以f(x)= 2x1+x2 ,故 选A. 3.D 当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解 得a>2.当a<0时,不 等 式a[f(a)- f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述, a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 4.答案:8 解析:由题意得a>0. 当0<a<1时,由f(a)=f(a-1),得2a= a, 解得a=14 ,则f 1a =f(4)=8; 当a≥1时,由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 第二节 函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 2.单调递增 单调递减 区间D 3.f(x)≤M f(x)≥m f(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下: 任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=ax22+ 1 x2 -ax21- 1 x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 1 x1x2 , 由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2 <4,-1<- 1x1x2 <-14. 因为1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12, 得a(x1+x2)- 1 x1x2 >0, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 2.答案:(1)C (2)0;22-3 解析:(1)因为f(x)=2x 2+3 1+x2 =2 (x2+1)+1 1+x2 =2+ 1 1+x2 , 且x2+1≥1⇒0< 1 1+x2 ≤1⇒2<2+ 1 1+x2 ≤3, 所以f(x)的值域为(2,3],故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(-3)]=f(1)=0. 当x≥1时,f(x)=x+2x-3≥2 2-3 , 当且仅当x=2时,取等号,此时f(x)min=22-3<0; 当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时,取等号,此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2 2-3. 3.D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数, 满足f(2x-1)<f 13 ,所以0≤2x-1<13,解得12≤ x<23. 故选D. 4.B 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)= f(4-x),所以f 52 =f 32 ,f 72 =f 12 .又0< 1 2<1< 3 2<2 ,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f 12 < f(1)<f 32 ,即f 72 <f(1)<f 52 .故选B. 5.答案:-6 解析:由图象(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的单调递 增区间是 -a2 ,+∞ ,令-a2=3,得a=-6. 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)最小 最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B 通解:设g(x)=ln2x-12x+1 ,易知g(x)的定义域 为 -∞,-12 ∪ 12,+∞ ,且g(-x)=ln-2x-1-2x+1= ln2x+12x-1=-ln 2x-1 2x+1=-g (x),所以g(x)为奇函数.若 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —203—