第2章 第2节 二次函数与一元二次方程、不等式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知识必备 {x|x>x2或x<x1} x x≠- b 2a R {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 考点知能突破 针对训练 1.答案:-∞,43 ∪(5,+∞) 解析:将原不等式移项通分得3x-4 x-5≥0 , 等价于 (3x-4)(x-5)≥0, x-5≠0, 解得x>5或x≤43. 所以原不等式的解集为 x x≤43 或x>5 . 2.答案: 13 ,+∞ 解析:要 使y= mx2-(1-m)x+m有 意 义,即 mx2- (1-m)x+m≥0对∀x∈R恒成立, 则 m>0, (1-m)2-4m2≤0, 解得m≥13. 第三章 函数及其应用 第一节 函数的概念及其表示 基础知识必备 1.实数集 任意一个数x 唯一确定 A→B y=f(x) 取值范围A 3.解析法 4.对应关系 考点知能突破 针对训练 1.B 要使函数有意义,则 x-1>0, 2x-x2>0, 解得1<x<2.所以 函数f(x)= 3x x-1 +ln(2x-x2)的定义域为(1,2).故 选B. 2.A 令t=1-x1+x ,得x=1-t1+t , 所以f(t)= 1- 1-t1+t 2 1+ 1-t1+t 2= 2t 1+t2 ,所以f(x)= 2x1+x2 ,故 选A. 3.D 当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+ a-3a>0,解 得a>2.当a<0时,不 等 式a[f(a)- f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2.综上所述, a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞). 4.答案:8 解析:由题意得a>0. 当0<a<1时,由f(a)=f(a-1),得2a= a, 解得a=14 ,则f 1a =f(4)=8; 当a≥1时,由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 第二节 函数的单调性与最值 基础知识必备 1.f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 2.单调递增 单调递减 区间D 3.f(x)≤M f(x)≥m f(x0)=m 考点知能突破 针对训练 1.解:函数f(x)在[1,2]上单调递增.证明如下: 任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=ax22+ 1 x2 -ax21- 1 x1 =(x2-x1)a(x1+x2)- 1 x1x2 , 由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2 <4,-1<- 1x1x2 <-14. 因为1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12, 得a(x1+x2)- 1 x1x2 >0, 从而f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增. 2.答案:(1)C (2)0;22-3 解析:(1)因为f(x)=2x 2+3 1+x2 =2 (x2+1)+1 1+x2 =2+ 1 1+x2 , 且x2+1≥1⇒0< 1 1+x2 ≤1⇒2<2+ 1 1+x2 ≤3, 所以f(x)的值域为(2,3],故选C. (2)因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1, 所以f[f(-3)]=f(1)=0. 当x≥1时,f(x)=x+2x-3≥2 2-3 , 当且仅当x=2时,取等号,此时f(x)min=22-3<0; 当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0 时,取等号,此时f(x)min=0. 所以函数f(x)的最小值为2 2-3. 3.D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数, 满足f(2x-1)<f 13 ,所以0≤2x-1<13,解得12≤ x<23. 故选D. 4.B 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)= f(4-x),所以f 52 =f 32 ,f 72 =f 12 .又0< 1 2<1< 3 2<2 ,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f 12 < f(1)<f 32 ,即f 72 <f(1)<f 52 .故选B. 5.答案:-6 解析:由图象(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的单调递 增区间是 -a2 ,+∞ ,令-a2=3,得a=-6. 第三节 函数的奇偶性、对称性与周期性 基础知识必备 1.f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)最小 最小 考点知能突破 针对训练 1.AD 2.B 通解:设g(x)=ln2x-12x+1 ,易知g(x)的定义域 为 -∞,-12 ∪ 12,+∞ ,且g(-x)=ln-2x-1-2x+1= ln2x+12x-1=-ln 2x-1 2x+1=-g (x),所以g(x)为奇函数.若 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —203— 所以最多调整出500名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10a-3x500 x万元,从事原来产业的员工创造 的年总利润为10(1000-x)1+ x500 万元. 则 由 题 意 知,当 0<x≤500 时,恒 有 10a-3x500 x≤101000-x 1+ x500 , 整理得a≤ x250+ 1000 x +1 在0<x≤500时 恒成立. 因为 x 250+ 1000 x ≥2 x 250 ·1000 x =4 , 当且仅当 x 250= 1000 x , 即x=500时等号成立, 所以a≤5. 又因为a>0, 所以0<a≤5, 所以a的取值范围是(0,5]. 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式,再利 用基本不等式求得函数的最值; (2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数; (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意 义及其取值范围; (4)在应用基本不等式求函数最值时,若等 号取不到,可利用函数的单调性求解. [针对训练] 4.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积 为162m2 的三级污水处理池,平面图如图 所示,水池的深度为1m.如果水池四周墙 的建造费用为400元/m2,中间两道隔墙的 建造费用为248元/m2,池底建造费用为 80元/m2,水池的所有墙的厚度忽略不计, 则最低总造价为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0)的 图象 一元二次方 程ax2+bx +c=0(a>0) 的根 有两个相 异实数根 x1,x2 (x1<x2) 有两个相 等实数根 x1=x2= -b2a 没有实 数根 续表 ax2+bx+c >0(a>0) 的解集 ax2+bx+c <0(a>0) 的解集 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 第二章 不等式 【知识拓展】 1.倒数性质的四个必备结论 (1)a>b,ab>0⇒1a< 1 b. (2)a<0<b⇒1a< 1 b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac> b d. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b< 1 x< 1 a. 2.简单分式不等式 (1)f (x) g(x)≥0 (≤0)⇔ f(x)g(x)≥0(≤0), g(x)≠0. (2)f (x) g(x)>0 (<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). 3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时,不要忘 记讨论当a=0时的情形. 4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件 要结合其对应的函数图象确定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒 成立⇔ a=b=0, c>0, 或 a>0,Δ<0. (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒 成立⇔ a=b=0, c<0, 或 a<0,Δ<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一元二次不等式的解法 (1)已知函数f(x)= x2+2x,x≥0, -x2+2x,x<0, 则 不等式f(x)>3的解集为 . (2)已知不等式ax2-bx-1>0的解集是 x|-12<x<-13 ,则不等式x2-bx-a ≥0的解集是 . (3)解关于x的不等式:12x2-ax>a2(a∈R). 【解】 (1)由 题 意,得 x≥0, x2+2x>3 或 x<0, -x2+2x>3, 解得x>1.故填{x|x>1}. (2)由题意,知-12 ,-13 是方程ax2-bx-1 =0的两个根,且a<0, 所以 -12+ (-13 )=ba , -12× (-13 )=-1a , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=-6, b=5. 故不等式x2-bx-a≥0为x2-5x+6≥0, 解得x≥3或x≤2.故填{x|x≥3或x≤2}. (3)因为12x2-ax>a2, 所以12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0. 令(4x+a)(3x-a)=0, 解得x1=- a 4 ,x2= a 3. ①当a>0时,-a4< a 3 , 解集为 xx<-a4 或x>a3 ; ②当a=0时,x2>0, 解集为{x|x∈R,且x≠0}; ③当a<0时,-a4> a 3 , 解集为 xx<a3 或x>-a4 . 综上 所 述,当a>0时,不 等 式 的 解 集 为 xx<-a4或x>a3 ;当a=0时,不等式 的解集为{x|x∈R,且x≠0};当a<0时,不 等式的解集为 xx<a3 或x>-a4 . 1.解一元二次不等式的方法和步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10 名师大课堂 艺术生必备·数学 2.解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于 0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化 为一次不等式或二次项系数为正的一元二 次不等式; (2)判断一元二次不等式所对应的方程实 根的个数,即讨论判别式Δ与0的关系; (3)确定方程无实根或有两个相同实根时, 可直接写出解集;确定方程有两个相异实 根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定 解集形式. [针对训练] 1.不等式2x+1x-5≥-1 的解集为 . 一元二次不等式恒成立问题 角度一 在R上恒成立问题 (2025·黑龙江大庆实验中学期中)若 不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任 意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2] 【解析】 当a-2=0,即a=2时,-4<0恒 成立;当a-2≠0,即a≠2时, 有 a-2<0, Δ=[-2(a-2)]2-4×(a-2)×(-4)<0, 解得-2<a<2.综上,实数a的取值范围是 (-2,2]. 【答案】 D 角度二 在给定区间上恒成立问题 设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若 对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成 立,则m 的取值范围是 . 【解析】 f(x)<-m+5可化为 mx2-mx +m-6<0,令g(x)=mx2-mx+m-6= m x-12 2 +34m-6 ,m≠0,x∈[1,3].要 使g(x)<0在[1,3]上恒成立,则g(x)在 [1,3]上的最大值小于零. 当m>0时,易知g(x)在[1,3]上是增函数, 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,解得m< 6 7 ,则0<m<67 ; 当m<0时,易知g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)=m-6<0, 解得m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是 m0<m<67 或m<0 . 【答案】 m0<m<67 或m<0 角度三 给定参数范围的恒成立问题 对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+ (m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x的取 值范围. 【解】 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m= (x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意 知,在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, 所以 g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0, g(1)=x-2+x2-4x+4>0, 解得x<1或x>3. 故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意 m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零. 1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问 题的求解方法: (1)若f(x)>0在集合A 中恒成立,即 集合A 是不等式f(x)>0的解集的子 集,可以先求解集,再由子集的含义求解 参数的值(或取值范围). (2)转化为函数的值域问题,即已知函数 f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成 立⇒f(x)min≥a,即 m≥a;f(x)≤a恒 成立⇒f(x)max≤a,n≤a. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元, 谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就 是主元,求谁的范围,谁就是参数. [针对训练] 2.若函数y= mx2-(1-m)x+m的定义域 为R,则m 的取值范围是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 第二章 不等式