第1章 第2节 常用逻辑用语-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一 谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p ⇒q”,即“p⇒q”⇔“若p,则q”为真命题. 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等 在 逻 辑 中 通 常 叫 做 全 称 量 词。用 符 号 “ ”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一 个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号 “ ”表示. 3.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词 的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的 否定 全称 量词 命题 对 M 中 任 意 一 个 x,有 p(x) 成立 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, 􀱑p(x) 存在 量词 命题 存在 M 中 的 元 素 x,使 p(x) 成立 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M, 􀱑p(x) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充分条件、必要条件及充要条件的判断 (2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3” 是“3a=3b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由函数y=x3 单调递增可知,若a3 =b3,则a=b;由函数y=3x 单调递增可知, 若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的 充要条件,故选C. 【答案】 C 充分必要条件的判断方法 利用定 义判断 直接判断“若p,则q”“若q,则 p”的真假.在判断时,确定条件 是什么、结论是什么 从集合的 角度判断 利用集合中包含思想判定,即 可解决充分必要性的问题 利用等价 转化法 条件和结论带有否定性词语的 命题,常转化为其逆否命题来判 断真假 小积累:利用集合判断法判断充分条件、必 要条件 若p以集合A 的形式出现,q以集合B 的 形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x| q(x)},则: ①若A⊆B,则p是q的充分条件; ②若B⊆A,则p是q的必要条件; ③若A⫋B,则p是q的充分不必要条件; ④若B⫋A,则p是q的必要不充分条件; ⑤若A=B,则p是q的充要条件; ⑥若A⊈B 且B⊈A,则p是q的既不充分 也不必要条件. [针对训练] 1.(1)(2025·江西南昌模拟)若 集 合 A= {2,4},B={1,m2},则“A∩B={4}”是“m= 2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)下列叙述中不正确的是 ( ) A.若a≠0,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的 充要条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ac2>bc2”的充要条件是 “a>b” C.“a<0”是“方程x2+x+a=0有一个正 根和一个负根”的充分不必要条件 D.“a>1”是“1a<1 ”的充分不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 名师大课堂 艺术生必备·数学 全称量词命题、存在量词命题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R, |x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则 ( ) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 【解析】 因为∀x∈R,|x+1|≥0,所以命 题p为假命题,所以􀱑p 为真命题.因为x3 =x,所以x3-x=0,所以x(x2-1)=0,即 x(x+1)(x-1)=0,解得x=-1或x=0 或x=1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命 题q为真命题,所以􀱑q为假命题,所以􀱑p 和q都是真命题,故选B. 【答案】 B 1.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是 真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x,证明p(x)成立;判定存在量词命题是 真命题,只要在限定集合内找到一个x =x0,使p(x0)成立即可. 2.含量词的命题中参数的取值范围问题, 可根据命题的含义,利用函数的最值 求解. [针对训练] 2.下列四个命题: p1:对任意x∈R,都有2x>0; p2:存在x∈R,使得x2+x+1<0; p3:对任意x∈R,都有sinx<2x; p4:存在x∈R,使得cosx>x2+x+1. 其中的真命题是 ( ) A.p1,p2 B.p2,p3 C.p3,p4 D.p1,p4 充分、必要条件的应用 已知条件p:集合P={x|x2-8x-20 ≤0},条件q:非空集合S={x|1-m≤x≤1 +m}.若p 是q 的必要条件,求 m 的取值 范围. 【解】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}. 由p是q的必要条件,知S⊆P, 则 1-m≤1+m, 1-m≥-2, 1+m≤10, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,p是q的必要条件, 即所求m 的取值范围是[0,3]. 根据充分、必要条件求解参数 范围的方法及注意事项 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要 条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出关于参数的 不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围时,一定要注意区 间端点值的检验,尤其是利用两个集合之 间的关系求解参数的取值范围时,不等式 是否能够取等号决定端点值的取舍,处理 不当容易出现漏解或增解的现象. [针对训练] 3.(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题 的一个充分不必要条件是 ( ) A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10 (2)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充 分条件,则a的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 第一章 集合与常用逻辑用语 参考答案与解析 内文讲解 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 基础知识必备 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 2.A⊆B A⫋B 子集 3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不属于 ∉ ∁UA 考点知能突破 针对训练 1.C 因为{1,a+b,a}= 0,ba ,b ,a≠0,所以a+b=0,则 b a =-1 ,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.(1)D 由题意知,对于集合 M,当n为偶数时,设n=2k(k ∈Z),则x=k+1(k∈Z);当n为奇数时, 设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+12 (k∈Z). 所以N⊆M. (2)BD A􀱋B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}={1,0,2}, 故A􀱋B 中有3个元素,其真子集的个数为23-1=7,故 C错误,D正确. 当x= 2,y= 2时,z=0,故A错误. x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x-y)共有4 个算式,分别为:(2+1)×(2-1),(3+1)×(3-1),(3+ 2)×(3-2),(2+2)×(2-2),故B正确. 3.D 由题可得 B={-1,0,1},所以 A∩B={0,1},故 选D. 4.D 因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得 m≥2或m≤-2. 第二节 常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充 分也不必要 2.(1)∀ (2)∃ 考点知能突破 针对训练 1.(1)B (2)ABC 2.D 3.答案:(1)C (2)3 解析:(1)选C.命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈ [1,3],x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3], x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件, 所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集, 即a≥3,故a的最小值为3. 第二章 不等式 第一节 不等式性质与基本不等式 基础知识必备 2.(2)a>c (3)> > (5)> 3.(1)a>0,b>0 (2)a=b 4.(1)2 p (2)q 2 4 考点知能突破 针对训练 1.BC 2.D 因为x<12 , 所以1 2-x>0 ,f(x)= 22x-1+x= 1 x-12 +x-12+ 1 2 =- 11 2-x + 12-x +12≤-2+12=-32, 当且仅当 1 1 2-x =12-x ,即x=-12 时取等号,故f(x) 有最大值-32. 故选D. 3.答案:12 解析:令x+1=m,y+2=n, 因为x>0,y>0, 所以m>0,n>0, 则m+n=x+1+y+2=8, 可以 1 x+1+ 1 y+2= 1 m + 1 n = 1m +1n ×18(m+n)= 1 8 nm +mn +2 ≥18·(2 1+2)=12. 当且仅当n m = m n , 即m=n=4时等号成立. 所以 1 x+1+ 1 y+2 的最小值为1 2. 4.答案:38880元 解析:设污水处理池的宽为x(x>0)m,则长为162x m , 则总造价y=400× 2x+2×162x +248×2x+80×162 =1296x+1296×100x +12960=1296× x+ 100 x + 12960≥1296×2 x×100x +12960=38880. 当且仅当x=100x (x>0),即x=10时,等号成立. 故当长为16.2m,宽为10m时,总造价最低,为38880元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —103—