第1章 第1节 集合-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备

第一节 集合 1.元素与集合 (1)集合元素的三个特征: 、 、 . (2)元素与集合的关系是 或 关系,用符号 或 表示. (3)集合的表示法: 、 、 . (4)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*(或N+) Z Q R N为自然数集(即非负整数集),包含 0,而N*和 N+ 的含义是一样的,表示正整 数集,不包含0. 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集 合 间 的 基 本 关 系 相等 集合 A 与集合B 中 的所有元素都相同 A=B 子集 集合 A 中任意一 个 元素 均 为 集 合B 中 的元素 真子 集 集合 A 中任意一 个 元素 均 为 集 合B 中 的元素,且集合B 中 至少有一个元素不是 集合A 中的元素 空集 空集是任何集合的 ,是任 何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交 集 属于A 属于B 的所有元素 组成的集合 {x|x∈ A, x ∈B} 并 集 所有属于A 属 于B的元素 组成的集合 {x|x∈ A, x∈B} 补 集 全 集 U 中 A 的所有元素 组成的集合 {x|x∈ U,且 x A} (1)子集的性质:A⊆A,⌀⊆A,(A∩B)⊆ A,(A∩B)⊆B. (2)交集的性质:A∩A=A,A∩⌀=⌀, A∩B=B∩A. (3)并集的性质:A∪B=B∪A,(A∪B)⊇A, (A∪B)⊇B,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A. (4)补集的性质:A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA) =⌀,∁U(∁UA)=A,∁AA=⌀,∁A⌀=A. (5)子集的个数:含有n个元素的集合共有 2n 个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1 个非空子集. (6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B= A⇔A⊇B. (7)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B) =(∁UA)∩(∁UB). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 集合的含义与表示 (2023·新课标Ⅱ卷,5分)设集合A= {0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a = ( ) A.2 B.1 C.23 D.-1 【解析】 依题意,有a-2=0或2a-2= 0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0, -2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2 =0时,解得a=1,此时A={0,-1},B= {-1,0,1},满 足 A⊆B.所 以a=1,故 选B. 【答案】 B 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)用描述法表示集合时,首先要搞清楚集 合中代表元素的含义,再看元素的限制条 件,明白集合的类型,是数集、点集还是其 他类型的集合. (2)集合中元素的三个性质中的互异性对 解题的影响较大,特别是含有字母的集合, 在求出字母的值后,要注意检验集合中的 元素是否满足互异性. [针对训练] 1.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= 0,ba ,b ,则 b-a= ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 集合间的基本关系 (1)(2025·全国一卷)已知集合U= {x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 ∁UA 中元素的个数为 ( ) A.0 B.3 C.5 D.8 (2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x |-m<x<m},若B⊆A,则m 的取值范围 为 . 【解析】 (1)U={1,2,3,4,5,6,7,8},A= {1,3,5},故∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA 中 有5个元素.故选C. (2)当m≤0时,B=⌀,显然B⊆A. 当m>0时,因为A={x|-1<x<3}, 当B⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图, 所以 -m≥-1, m≤3, -m<m. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以0<m≤1. 综上所述,m 的取值范围为(-∞,1]. 【答案】 (1)C (2)(-∞,1] 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素 表示出来,然后比较集合元素 的异同,从而找出集合之间的 关系 结构法 从元素的结构特点入手,结合 通分、化简、变形等技巧,从元 素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集 合,比较端点之间的大小关系, 从而确定集合与集合之间的 关系 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 名师大课堂 艺术生必备·数学 [针对训练] 2.(1)集 合 M = xx=n2+1 ,n∈Z ,N = yy=m+12 ,m∈Z ,则两集合M,N 的关 系为 ( ) A.M∩N=⌀ B.M=N C.M⊆N D.N⊆M (2)(多选)(2025·三亚模拟)定义集合运 算:A􀱋B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈ A,y∈B}.设A={2,3},B={1,2},则 下列说法正确的是 ( ) A.当x= 2,y= 2时,z=1 B.x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y) ×(x-y)有4个式子 C.A􀱋B 中有4个元素 D.A􀱋B 的真子集有7个 集合的基本运算 角度一 集合的运算 (2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x| -5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩ B= ( ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 【解析】 因为A={x|-5<x3<5}={x|- 3 5<x<35},B={-3,-1,0,2,3},所以 A∩B={-1,0},故选A. 【答案】 A 角度二 利用集合的运算求参数或参数范围 (1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x <a},若A∩B≠⌀,则a的取值范围是( ) A.-1<a≤2 B.a>2 C.a≥-1 D.a>-1 (2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B ={0,1,2,4,16},则a的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 (1)因为 A∩B≠ ⌀,所以集合 A,B 有公共 元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1. (2)根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16}, 故a=4. 【答案】 (1)D (2)D 1.解决集合的基本运算问题一般应注意: 先看元素组成,对有些集合要先进行化 简,注意数形结合思想的应用.集合的运 算常借助于数轴和Venn图解决. 2.关于利用集合的运算求参数的值或取值 范围的方法:(1)与不等式有关的集合, 一般利用数轴解决,要注意端点值能否 取到; (2)若集合中的元素能一一列举,则先用 观察法得到不同集合中元素之间的关 系,再列方程(组)求解. [针对训练] 3.(2025·全国二卷)已知集合A={-4,0,1, 2,8},B={x|x3=x},则A∩B= ( ) A.{0,1,2} B.{1,2,8} C.{2,8} D.{0,1} 4.已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B =A,则m 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2) B.[2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二节 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的 条件,q 是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇒/p p是q的 条件 p⇒/q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 p⇒/q且q⇒/p 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 第一章 集合与常用逻辑用语 参考答案与解析 内文讲解 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 基础知识必备 1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ∉ (3)列举法 描述法 图示法 2.A⊆B A⫋B 子集 3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不属于 ∉ ∁UA 考点知能突破 针对训练 1.C 因为{1,a+b,a}= 0,ba ,b ,a≠0,所以a+b=0,则 b a =-1 ,所以a=-1,b=1.所以b-a=2. 2.(1)D 由题意知,对于集合 M,当n为偶数时,设n=2k(k ∈Z),则x=k+1(k∈Z);当n为奇数时, 设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+12 (k∈Z). 所以N⊆M. (2)BD A􀱋B={z|z=x2-y2,x∈A,y∈B}={1,0,2}, 故A􀱋B 中有3个元素,其真子集的个数为23-1=7,故 C错误,D正确. 当x= 2,y= 2时,z=0,故A错误. x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x-y)共有4 个算式,分别为:(2+1)×(2-1),(3+1)×(3-1),(3+ 2)×(3-2),(2+2)×(2-2),故B正确. 3.D 由题可得 B={-1,0,1},所以 A∩B={0,1},故 选D. 4.D 因为A∪B=A,所以B⊆A,即m∈A,得m2≥4,解得 m≥2或m≤-2. 第二节 常用逻辑用语 基础知识必备 1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充 分也不必要 2.(1)∀ (2)∃ 考点知能突破 针对训练 1.(1)B (2)ABC 2.D 3.答案:(1)C (2)3 解析:(1)选C.命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇔“∀x∈ [1,3],x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3], x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C. (2)由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件, 所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集, 即a≥3,故a的最小值为3. 第二章 不等式 第一节 不等式性质与基本不等式 基础知识必备 2.(2)a>c (3)> > (5)> 3.(1)a>0,b>0 (2)a=b 4.(1)2 p (2)q 2 4 考点知能突破 针对训练 1.BC 2.D 因为x<12 , 所以1 2-x>0 ,f(x)= 22x-1+x= 1 x-12 +x-12+ 1 2 =- 11 2-x + 12-x +12≤-2+12=-32, 当且仅当 1 1 2-x =12-x ,即x=-12 时取等号,故f(x) 有最大值-32. 故选D. 3.答案:12 解析:令x+1=m,y+2=n, 因为x>0,y>0, 所以m>0,n>0, 则m+n=x+1+y+2=8, 可以 1 x+1+ 1 y+2= 1 m + 1 n = 1m +1n ×18(m+n)= 1 8 nm +mn +2 ≥18·(2 1+2)=12. 当且仅当n m = m n , 即m=n=4时等号成立. 所以 1 x+1+ 1 y+2 的最小值为1 2. 4.答案:38880元 解析:设污水处理池的宽为x(x>0)m,则长为162x m , 则总造价y=400× 2x+2×162x +248×2x+80×162 =1296x+1296×100x +12960=1296× x+ 100 x + 12960≥1296×2 x×100x +12960=38880. 当且仅当x=100x (x>0),即x=10时,等号成立. 故当长为16.2m,宽为10m时,总造价最低,为38880元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —103—