集合的基本运算及其性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第七讲：集合的基本运算及其性质 知识储备： 1.并集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” （2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.下图阴影部分为A∪B 并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 2、交集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” （2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.下图阴影部分为A∩B 交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝∩A＝，如果A⊆B，则A∩B＝A 3、补集的概念 ①全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. ②补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： 补集的性质：；；. 4摩根定律： 题型一：并集的运算 例1：（1）集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，集合，则=( ) A． B． C． D． （4）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 解析：（1）由题意得，.故选：A （2)因为集合，，所以.故选：A (3) , ,即， ，，即,,故选：D （4）集合，， 根据集合的并集的概念及运算，可得.故选：D. 题型二：利用并集求参 例2：已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A．1或-1 B．1 C．0 D．-1 （2）已知集合或，，若，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． （3）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．3 （4）已知集合，． ①当时，求A的非空真子集的个数； ②若，求实数的取值范围． 解析（1）因，则，而集合，， 则有或，解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，不符合题意，则，解得：，显然不符合题意， 所以实数a的值为-1.故选：D （2）因为集合或，，，所以．故选：B． （3）因为，所以． 因为，，所以或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，，符合题意．综上，或；故选：AD （4）①因为，，所以，A中共有7个元素， 则A的非空真子集的个数为； ②因为，所以，因为，故， 则，解得：，从而实数的取值范围为. 题型三：交集的运算 例3：（1）已知集合，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，则（ ） A．{－1，0，1} B．{0，1} C． D． （3）设，，则（    ） A． B． C． D． （4）已知集合，，则所有子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 解析：（1）因为，所以.故选：C. （2）因为，所以.故选：B. （3）由得，当，时 若，可得满足条件的有，故，故选：D （4）因为，， 所以，的所有子集的个数为.故选：B. 题型四：利用交集求参数. 例4：（1）.已知集合，，若，则（       ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 （2）设集合，，又，求实数_____． （3）已知，，，则实数的取值范围是______. （4）已知集合，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. 解析：（1）因为等价于, 解得或, 所以. 因为,所以,当时, 成立，此时; 当时, , 解可得,因为, 所以或,解得或.综上, 的值为或或.故选:D. （2）因为，所以且， 若，即代入得，不合题意； 若，即．当时，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，有符合题意；综上所述， ． （3）由题意 ，则 要使得，则或解得或 （4）①，且 ②， 题型五：补集的运算. 例5（1）已知全集，集合，则（ ） A． B．或 C．或 D． （2）（多选）设全集，集合，则的子集为（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，则（    ） A． B． C． D． （4）设全集，，若，，则这样的集合共有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 解析：(1)因为全集，集合，所以故选：D （2）因为，集合的子集有：，.故选：AD. （3）由，有∴可得：或故，或 ∴故选：C （4）且， 的子集有，，，，，，，， 的子集有个，，所以有个， 因为，所以存在一个即有一个相应的， 所以，，，， ，，，有个， 故选：D. 题型六：补集的运算. 例6.（1）设全集，集合，，则实数的值为（ ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 （2）设全集，，，求的值． (3)已知集合，，，求实数的值． （4)已知，，全集。若，求实数a的取值范围． 解析：（1）由集合知，，即，而，全集， 因此，，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为0.故选：A （2)∵全集，，， ∴①，②； 由①可得，解得或者； 由②可得，解得或者； 综上所述，． (3)由已知得：①且， 由解得，代入中不满足，故不成立； ②且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，，满足题意， 所以. (4)，当时，,解得符合题意， 当时，，或解得或. 题型七：交并补集综合运算. 例7：（1）已知集合或，，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，则（    ） A． B． C． D． （3）已知全集，，则集合B的真子集个数为（    ） A．63个 B．64个 C．127个 D．128个 （4）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． （5）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}， 求①；② 解析：（1）因为或，所以， 又，所以，故选：B. （2）由题可知集合A中元素表示被3除余1的自然数，又， 则.故选：A （3）根据可得， ， ，故合B的真子集个数为故选:C （4）， . 因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数. 所以对于A：.故A错误； 对于B、C：.故B正确；C错误；对于D：.故D错误. 故选：B （5）①因为，{或}， 所以{或}，所以{或}. ②因为，，{或} 所以，，所以. 例8：如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ） A． B． C． D． 解：如图所示， A. 对应的是区域1；       B. 对应的是区域2； C. 对应的是区域3；       D. 对应的是区域4.故选：B 例9.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________． 【解析】根据题意画出韦恩图，如图所示： 则（人． 例10：已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故可得或， 因为，， 故可得.故选：C. 例11.设全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）或，故． （2），因为，故． 例12：已知全集，集合. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）．.；（2） 【解析】（1）当时，，或， ．. （2） ，即.故实数的取值范围是. 例13：设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或或或或 【解析】由题意， （1）由可知，，即是方程的解， 所以， 即，解得：或， 当时，则，解得， 此时，满足， 当时，则，解得， 此时，满足. 所以实数的值是或； （2）， 所以 ， 对于方程， ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需且， 将2代入方程得，解得或， 将代入方程得，解得， 所以且且， 综上可知，的取值范围是： 或或或或 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲：集合的基本运算及其性质 知识储备： 1.并集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” （2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.下图阴影部分为A∪B 并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪＝∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 2、交集 （1）文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” （2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.下图阴影部分为A∩B 交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝∩A＝，如果A⊆B，则A∩B＝A 3、补集的概念 ①全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. ②补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： 补集的性质：；；. 4摩根定律： 题型一：并集的运算 例1：（1）集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，集合，则=( ) A． B． C． D． （4）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：利用并集求参 例2：已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A．1或-1 B．1 C．0 D．-1 （2）已知集合或，，若，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． （3）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．3 （4）已知集合，． ①当时，求A的非空真子集的个数； ②若，求实数的取值范围． 题型三：交集的运算 例3：（1）已知集合，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，则（ ） A．{－1，0，1} B．{0，1} C． D． （3）设，，则（    ） A． B． C． D． （4）已知集合，，则所有子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 题型四：利用交集求参数. 例4：（1）.已知集合，，若，则（       ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 （2）设集合，，又，求实数_____． （3）已知，，，则实数的取值范围是______. （4）已知集合，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. 题型五：补集的运算. 例5（1）已知全集，集合，则（ ） A． B．或 C．或 D． （2）（多选）设全集，集合，则的子集为（ ） A． B． C． D． （3）已知集合，则（    ） A． B． C． D． （4）设全集，，若，，则这样的集合共有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型六：补集的运算. 例6.（1）设全集，集合，，则实数的值为（ ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 （2）设全集，，，求的值． (3)已知集合，，，求实数的值． （4)已知，，全集。若，求实数a的取值范围． 题型七：交并补集综合运算. 例7：（1）已知集合或，，则（ ） A． B． C． D． （2）已知集合，则（    ） A． B． C． D． （3）已知全集，，则集合B的真子集个数为（    ） A．63个 B．64个 C．127个 D．128个 （4）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． （5）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}， 求①；② 例8：如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（       ） A． B． C． D． 例9.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________． 例10：已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例11.设全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 例12：已知全集，集合. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 例13：设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$