常用逻辑用语及常考题型总结讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第八讲：常用逻辑用语及常考题型总结 知识储备 要点1：充分必要条件 （1）如果，则是的充分条件，同时是的必要条件； （2）如果但，则是的充分不必要条件； （3）如果且，则是的充要条件； （4）如果且，则是的必要不充分条件； （5）如果且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合角度理解充分条件与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 （1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充要条件；（4）若，则是的充分不必要条件； （5）若，则是的必要不充分条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点2全称量词和存在量词 （1）全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 （2）全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对中任意一个，有成立 特称命题 存在中的一个，使成立 （3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ，非 ，非 题型一：充分条件、必要条件 例1.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 例2.“或”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 例3.若，则是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 例4.使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 例5.（多选）使成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 例6.不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 例7“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用充分条件、必要条件求参 例8.若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例9．集合，．若“”是“”的充分条件， 则实数b的取值范围是________． 例10.已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 例11.下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（       ） A． B． C． D． 例12.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例13.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____； 例14.已知集合，. （1）若，求实数t的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 例15.已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型三：全称量词和存在量词 例16.命题，则是（ ） A. B. C. D. 例17.命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 例18.若命题“，”为假命题，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例19.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例20.“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲：常用逻辑用语及常考题型总结 知识储备 要点1：充分必要条件 （1）如果，则是的充分条件，同时是的必要条件； （2）如果但，则是的充分不必要条件； （3）如果且，则是的充要条件； （4）如果且，则是的必要不充分条件； （5）如果且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合角度理解充分条件与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 （1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充要条件；（4）若，则是的充分不必要条件； （5）若，则是的必要不充分条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 要点2全称量词和存在量词 （1）全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 （2）全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对中任意一个，有成立 特称命题 存在中的一个，使成立 （3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ，非 ，非 题型一：充分条件、必要条件 例1.“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，故可得或， 若，则不一定有，故充分性不满足； 若，则一定有，故必要性成立， 综上所述：“”是“”的必要不充分条件.故选：. 例2.“或”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 解析：A 例3.若，则是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】当时可由基本不等式推得；当时解不等式可得，则可判定它们之间的逻辑关系. 【详解】当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=” 当时，则，可得即， 解得；所以“”是“”的充要条件.故选：. 例4.使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据充分条件的定义，由可以得出，B正确； 若，取，无法得到，A错误； C显然错误； 若，取，无法得到，D错误.故选：B. 例5.（多选）使成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】或， 故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB. 例6.不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 解：不等式即，即 ， 对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确； 而不是集合，的真子集，故错误， 故选：A 例7“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 解:由题知,不等式,恒成立,只需,故, 则选项是的必要不充分条件,即真包含于选项中,所以选D, 故选:D. 题型二：利用充分条件、必要条件求参 例8.若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解：不等式成立的充分条件是， 设不等式的解集为A，则， 当时，，不满足要求；当时，， 若，则，解得.故选：A. 例9．集合，．若“”是“”的充分条件， 则实数b的取值范围是________． 【答案】 【详解】试题分析：“a＝1”是“”的充分条件的意思是说当时，，现在，，由得或，即或，所以的范围是. 例10.已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】∵“”是”的必要条件，∴， 当时，，则； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知或，解得或， 综上可得，实数a的取值范围为． 例11.下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项. 【详解】若“是集合的真子集” 所以， 所以方程有实数解， 当时，由可得，符合题意， 当时，由可得， 所以且， 综上所述：的充要条件为； 即“是集合的真子集”成立充要条件为； 所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集， 由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确； 故选：D. 例12.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式确定集合，然后由必要不充分条件得是的真子集可得结论． 【详解】∵且或，，又是的必要不充分条件，∴，∴，故选：D. 例13.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____； 【答案】 【详解】由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集， 设，则满足，解得， 经验证当适合题意，所以的取值范围是． 例14.已知集合，. （1）若，求实数t的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由得解，所以， 又 若，分类讨论： 当，即解得，满足题意； 当，即，解得时， 若满足，则必有或；解得. 综上，若，则实数t的取值范围为. （2）由“”是“”的必要不充分条件，则集合， 若，即，解得， 若，即，即，则必有，解得， 综上可得,， 综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时， 例15.已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）当时，集合, 或 ，或 （2） 若，且 “”是“”充分不必要条件， 因为，则，解得.故的取值范围是: 题型三：全称量词和存在量词 例16.命题，则是（ ） A. B. C. D. 解析：C 例17.命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】命题“”的否定是“”.故选；D. 例18.若命题“，”为假命题，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，命题“，”为真命题，可得，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题， 所以，，即，解得. 故选：A 例19.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意为真命题，进而有在上恒成立即可求范围. 【详解】由题意为真命题， 所以在上恒成立，即. 例20.“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案. 【详解】，，只需在上的最大值小于等于， 其中，故，解得， 因为，但， 所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确； 其他三个选项均不是充分不必要条件. 故选：D 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$